Hyperbolische Strukturen in Kreisinversionsfraktalen

ISBN-13: 9783668077362 / Niemiecki / Miękka / 2015 / 116 str.

Gunther Kraut

Opis

Diplomarbeit aus dem Jahr 2007 im Fachbereich Mathematik - Geometrie, Note: 1,3, Technische Universitat Munchen (Fakultat fur Mathematik), Sprache: Deutsch, Abstract: In den 70er Jahren fuhrte Benoit Mandelbrot den Begriff Fraktal ob der "gebrochenen Dimension" dieser Gebilde ein. Allerdings hat sich bis heute noch keine einheitliche Definition durchgesetzt, die alle Objekte, die klarerweise als Fraktale angesehen werden sollten, umfasst. Es wird am haufigsten verlangt, dass die fraktale Dimension - oftmals die Hausdorff-Dimension - eines Fraktals groer ist als seine topologische Dimension. Zudem wird Selbstahnlichkeit beziehungsweise Skaleninvarianz gefordert. Fraktale konnen auf unterschiedliche Weise erzeugt werden. Es besteht jedoch immer die Notwendigkeit, zwischen kurzer Rechenzeit und detailgenauer Darstellung abzuwagen. Ein exaktes Verstandnis fur die Struktur des jeweiligen Fraktals ermoglicht es, beides zu vereinen. In der ersten Abbildung der Arbeit ist ein Fraktal zu sehen, das durch Kreisinversionen an acht symmetrisch angeordneten Kreisen entsteht. Das sichtbare fraktale Muster ist eine Approximation der Grenzpunkte des durch die Kreisinversionen definierten iterierten Funktionensystems. Im Rahmen dieser Diplomarbeit wird ein Programm entwickelt, das es ermoglicht, direkt die Grenzpunkte - das heit den Orbit eines bestimmten Startkreises unter der Transformationsgruppe - zu erzeugen. Dies soll nicht zufallig, sondern exakt bis zu einer festgelegten Genauigkeit erfolgen. Die Genauigkeit bezieht sich dabei auf die Groe der Kreise, die die Grenzpunktmenge bilden. Das im Fraktal entstehende Muster verandert sich sehr stark in Abhangigkeit von dem Radius des mittig liegenden Kreises. Wie entsprechende spezielle Radien numerisch bestimmt werden konnen und in welchen Situationen der Orbit disjunkt ist, ist wesentlicher Inhalt dieser Arbeit. In Kapitel 2 werden zunachst die mathematischen Grundlagen des projektiven Raumes CP1 sowie der Kreisinversion er