Grundzüge der Mathematischen Logik

ISBN-13: 9783642948152 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 504 str.

Heinrich Scholz;Gisbert Hasenjaeger

Spis treści

§ 1. Prolegomena.- § 2. Einführung in die Satzlogik.- § 3. Einführung in die Regellogik. Der Zusammenhang von Satzlogik und Regellogik.- § 4. Aufgabe und Charakter einer mathematischen Logik.- § 5. Grundlagen einer metasprachlichen Aussagentheorie.- § 6. Zur Logik und Symbolik der Metasprache.- § 7. Zeichen für Zeichen.- Erstes Hauptstück: Aussagenkalkül.- A) Konstituierung des Aussagenkalküls.- § 10. Der Aussagenkalkül (AK) auf semiotischer Basis.- § 11. Semantische Begründung des Aussagenkalküls.- B) Semantik.- I. Allgemeine Semantik.- § 12. Grundlegende Theoreme zur Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit eines A-Ausdrucks.- § 13. Gleichheiten im Aussagenkalkül.- § 14. Operatorentheorie der Bewertungsfunktoren.- § 15. Verallgemeinerungen der Assoziativität, Kommutativität und Distributivität.- II. Spezielle Semantik.- § 16. Die Regeln der A-Einsetzung und der A-Ersetzung.- § 17. Aequivalenztheoreme.- § 18. Monotoniegesetze.- § 19. Grundgesetze der Konjunktion und der Alternative.- § 20. Prämissentheorie.- § 21. Theorie der Verneinung.- § 22. Definierbarkeitsmöglichkeiten.- § 23. Reduktions- und Reduzierbarkeitstheoreme. Die verneinungstechnische Umformung von A-Ausdrücken.- § 24. Die Dualität im Aussagenkalkül.- § 25. Das kanonische Darstellbarkeitstheorem.- § 26. Das Repräsentantentheorem des Aussagenkalküls.- § 27. Das Boolesche Darstellbarkeitstheorem.- § 28. Das Haubersche Theorem.- § 29. Noch einmal die Regel der A-Ersetzung.- III. Begriff und Theorie der mengenrelativen Erfüllung Seite.- § 30. Der mengenrelative Erfüllungsbegriff im Aussagenkalkül.- § 31. Das finitäre Erfüllungstheorem im Aussagenkalkül.- C) Deduktionstheoretische Betrachtungen.- § 32. Einführung der semantischen Folgerungsrelation ?A.- § 33. Einige grundlegende kalkülunabhängige Eigenschaften Von ?A.- § 34. Einige grundlegende kalkülabhängige Eigenschaften von ?A.- § 35. Der Operator Fl?A.- § 36. Ein Identitätskriterium für Folgerungsoperatoren.- § 37. Die Koinzidenz von Widerspruchsfreiheit und Erfüllbarkeit im Aussagenkalkül.- Zweites Hauptstück: Prädikatenkalkül.- A) Allgemeine Grundlegung.- § 50. Subjekte und Individuen, Prädikate und Attribute.- § 51. Zur Attributentheorie.- § 52. Der Prädikatenkalkül auf semiotischer Basis.- § 53. Die genauen Ausdrucksbestimmungen des Prädikatenkalküls mit Funktionalen (PFK).- B) Semantik.- I. Allgemeine Semantik.- I1. Grundlegung.- § 54. Die semantisch definierten P-Sätze.- § 55. Das erste Koinzidenztheorem des PFK.- § 56. Verallgemeinerte Umbelegungen.- § 57. Semantisch definierte Attribute.- § 58. Grundlegende Allgemeingültigkeitskriterien für P-Ausdrücke. Die Permanenz des AK im PFK.- § 59. Grundlagen der Quantorentheorie.- § 60. Gleichheiten im PFK.- § 61. Termeinsetzung und freie Umbenennung.- § 62. Die Einsetzungsregel für P-Variablen.- § 63. Die Eliminierbarkeit der Quantoren in endlichen Bereichen.- I2. Quasisyntaktische Fortsetzung.- § 64. Übergang zu einer quasisyntaktischen Semantik.- § 65. Theorie der gliedweisen Quantifizierung.- § 66. Die Ersetzungsregel im PFK.- § 67. Die Regel der gebundenen Umbenennung.- § 68. Externe und interne Verneinung von pränexen P-Ausdrücken.- § 69. Die Dualität im PFK.- § 70. Distributionstheoreme.- § 71. Theorie der Quantifikatorenverschiebung und Quantifikatorenbegrenzung.- § 72. Die Permutierbarkeit der Quantifikatoren.- § 73. Pränexe Aequivalente und Normalformen.- § 74. Totalpränexe P-Ausdrücke.- § 75. Die Skolemschen Normalformen und ihre Verschärfung für den PFK..- II. Theorie der numerischen Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit im PFK.- § 76. Homomorphismen und Isomorphismen in bezug auf Funktionen, Attribute und Belegungen. Das zweite und dritte Koinzidenztheorem des PFK.- § 77. Begriff und Grundlegung der Theorie der k-zahligen Allgememgultigkeit und Erfüllbarkeit.- § 78. Numerische Gleichheiten im PFK.- § 79. Das Theorem von Löwenheim und Skolem.- § 80. Repräsentantentheorie des PFK.- III. Das Entscheidungsproblem im PFK.- § 81. Die Entscheidbarkeit der Menge der offenen P-Ausdrücke.- § 82. Die Entscheidbarkeit der Mengen der k-zahlig identischen und der k-zahlig erfüllbaren P-Ausdrücke für endliche k.- § 83. Die Entscheidbarkeit der einstelligen P-Ausdrücke ohne Funktionale.- § 84. Widerlegung einer Leibnizischen Reduzierbarkeitshypothese.- § 85. Die Entscheidbarkeit von Menge komplizierterer P-Ausdrücke ohne Funktionale. Die Krisis des allgemeinen Entscheidungsproblems. Übergang zur Syntax.- C) Syntax.- I. Allgemeine Syntax.- § 90. Die P-Ableitbarkeit und die P-Beweisbarkeit.- § 91. Semantische Folgerungen.- § 92. Grundlegende Eigenschaften erster Ordnung von ?P.- § 93. Die Grundregeln der P-Beweisbarkeit. Die Permanenz des AK im PFK*.- § 94. Die Unabhängigkeit der Grundregeln der P-Ableitbarkeit und der P-Beweisbarkeit.- § 95. Grundlegende Eigenschaften zweiter Ordnung von ?P.- § 96. Der Operator Fl?P.- § 97. Die Widerspruchsfreiheit des PFK*.- II. Spezielle Syntax.- § 98. Die syntaktische Theorie der gliedweisen Quantifizierung und die syntaktische Ersetzungsregel.- § 99. Grundlagen der syntaktischen Quantorentheorie.- § 100. Termeinsetzung. Freie und gebundene Umbenennung.- § 101. Die Einsetzungsregel für P-Variablen.- § 102. Externe und interne Verneinung von pränexen P-Ausdrücken. Die Dualität im PFK*.- § 103. Gleichheiten im PFK*.- § 104. Die syntaktische Quantifizierungstheorie im engeren Sinne.- D) Beziehungen zwischen Semantik und Syntax im PFK.- I. Die Bolzanosche Folgerungsrelation im PFK.- § 105. Einführung der Bolzanosche Folgerungsrelation ?P.- § 106. Die wissenschaftstheoretische Bedeutung von ?P.- § 107. Die Unterschiede zwischen ?P und ?P und ihre Überwindung. Das Deduktionstheorem.- II. Die semantische Vollständigkeit des PFK*.- § 108. Definition der semantischen Vollständigkeit für den PFK*.- § 109. Die mengenbestimmte Implikationsbeziehung lmplP.- § 110. Konstruktion einer maximal widerspruchsfreien Menge M?.- § 111. Die grundlegenden Eigenschaften von M?.- § 112. Ein abzählbares Modell von M?.- § 113. Mengen- und folgerungstheoretische Folgerungen.- § 114. Die semantische Vollständigkeit des PFK* und ihre Derivate.- § 115. Syntaktische Aequivalente der Identitäts- und Erfüllbarkeitsyerbundenheit im PFK.- Drittes Hauptstück: Prädikatenkalkül mit Identität (I-Kalkül).- A) Allgemeine Grundlegung.- § 120. Der universelle Charakter der Identität und Verschiedenheit.- § 121. Die Ausdrucksbestimmungen des I-Kalküls mit Funktionalen (IFK).- B) Semantik.- I. Allgemeine Semantik.- § 122. Die semantischen Satzbestimmungen des IFK.- § 123. Ein grundlegendes Allgemeingültigkeitskriterium für I-Ausdrücke. Die Permanenz des AK im IFK.- § 124. Leibniz-Ausdrücke und das Leibniz-Prinzip.- § 125. Die Permanenz des PFK im IFK.- II. Spezielle Semantik.- § 126. Die Sonderstellung der I-Formeln.- § 127. Gleichheiten im IFK.- § 128. Mindest-, Höchst- und Anzahlformeln.- § 129. Mindest-, Höchst- und Anzahlausdrücke.- § 130. Komplexe Mindestzahlausdrücke und-formein.- III. Theorie der numerischen Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit.- § 131. Theorie der k-zahligen Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit im IFK.- § 132. Numerische Gleichheiten im IFK.- § 133. Das Theorem von Löwenheim und Skolem im IFK.- § 134. Die Boolesche Algebra im IFK.- § 135. Repräsentantentheorie des IFK.- IV. Die Entscheidbarkeit der Menge der einstelligen I-Ausdrücke ohne Funktionale.- § 136. Überblick.- § 137. Die grundlegenden Eigenschaften der Identität und Verschiedenheit.- § 138. Die identitätstheoretischen Aequivalente für H (x) und H (xn).- § 139. Begriff und Theorie der numerischen Normalformen.- § 140. Hilfstheoreme zur Ausschaltung der P-Variablen.- § 141. Kontrapränexe Normalformen für einstellige I-Ausdrücke ohne Funktionale.- § 142. Von den kontrapränexen Normalformen zu den I-Formeln.- § 143. Von den I-Formeln zu den numerischen Normalformen.- C) Syntax.- I. Allgemeine Syntax.- § 150. Die I-Ableitbarkeit und die I-Beweisbarkeit.- § 151. Semantische Folgerungen. Die Widerspruchsfreiheit des IFK*.- § 152. Die Permanenz des PFK* im IFK*.- § 153. Gleichheiten im IFK*.- II. Spezielle Syntax.- § 154. Das Leibniz-Prinzip.- § 155. Zur syntaktischen Verschärfung des Entscheidungsverfahrens in den §§ 136 bis 143.- § 156. Die Aequivalente zu H(x) und H(xn).- § 157. Die Aequivalente zu ?z(z?x1? ··· ?z?xn ? H (z)).- § 158. Beziehungen zwischen verschiedenen Anzahlen.- § 159. Mindest- und Höchstzahl-Ausdrücke und -Formeln.- D) Beziehungen zwischen Syntax und Syntax im IFK.- I. Folgerungsbegriffe.- § 160. Die Bolzanosche Folgerungsrelation für den IFK.- §161. ?Iund ?I. Das Deduktionstheorem.- II. Widerspruchsfreiheit und Erfüllbarkeit im IFK.- § 162. Grundlagen.- § 163. Ein höchstens abzählbares Modell für die Henkin-Menge M?.- III. Folgerungen.- § 164. Mengen- und folgerungstheoretische Folgerungen.- § 165. Die semantische Vollständigkeit des IFK* und ihre Derivate.- § 166. Syntaktische Aequivalente der Identitäts- und Erfüllbarkeitsverbundenheit im IFK.- § 167. Zur Charakterisierung der natürlichen Zahlen im IFK.- Viertes Hauptstück: Einführung in die Stufenlogik.- A) Die Logik der zweiten Stufe.- § 200. Die Bedürfnisse der Mathematik.- § 201. Die Logik der zweiten Stufe (PFL(2)).- § 202. Ein Kalkül für die Logik der zweiten Stufe.- § 203. Ein Kalkül für die PFL(2) mit Auswahlprotonen.- § 204. Ableitungen aus den Auswahlprotonen.- § 205. Zum Repräsentantenproblem der PFL(2).- § 206. Das Theorem von Löwenheim-Skolem.- § 207. Eine konstruktive Attributentheorie.- B) Die volle Typentheorie.- § 208. Die Hierarchie der Typen.- § 209. Reduktionen der Typenhierarchie.- § 210. Ein funktionentheoretischer Kalkül.- § 211. Modelle der Arithmetik.- § 212. Ein mengentheoretischer Kalkül.- C) Erweiterungen der Typenlogik.- § 213. Der Rang als Verallgemeinerung der Stufe.- § 214. Die Objekte der Typentheorie in der RL?.- § 215. Eine semantische Axiomatisierung der RL? bzw. RL?+1.- § 216. Ein Kalkül zweiter Stufe für die Logik RL? bzw. RL?+1.- § 217. Kalküle erster Stufe für die Logiken RL? und RL?+1.- § 218. Zur Russellschen Antinomie.- § 219. Logiken unendlichen Ranges und mengentheoretische Logiken.- Fünftes Hauptstück: Die Theoreme von Church und Gödel.- § 230. Einleitung: Unmöglichkeitstheoreme.- § 231. Charakterisierung von arithmetischen Attributen im PFK*.- § 232. Vorläufige Definition von 1D518. Das Diagonalverfahren.- § 233. Die Arithmetisierung: Definition von H(m).- § 234. Reguläre Definitionen zur Arithmetisierung.- § 235. Die regulären Definitionen von echt regulären Attributen.- § 236. Argumente für die Angemessenheit der regulären Definitionen als Normalform für Aufzählungsverfahren.- § 237. Die Unentscheidbarkeit des Prädikatenkalküls.- § 238. Die Nichtaxiomatisierbarkeit der Stufenlogik.- Anhang: Regellogik.- § 250. Einführung in die Regellogik.- § 251. Der aussagenlogische Sequenzenkalkül (ASK).- § 252. Erweiterung zum Konsequenzenkalkül für die PL (PSK).- Namen- und Sachverzeichnis.