Finite Differenzen Und Elemente: Numerische Lösung Von Variationsproblemen Und Partiellen Differentialgleichungen

ISBN-13: 9783540501923 / Niemiecki / Miękka / 1988 / 300 str.

Dietrich Marsal

Opis

Das vorliegende Werk ist ein Lehr- und Arbeitsbuch fur den Selbstunterricht, fur die Rechenpraxis und fur Ubungen. Es richtet sich an jeden Interessierten, mag er Physiker oder Ingenieur, Analytiker oder Numeriker, Chemiker oder Geowissenschaftler sein, mag er grosse oder geringe Vorkenntnisse besitzen. Im Teil uber finite Differenzen soll der Leser von einfachsten Aufgaben bis hin zu komplexen Problemen und Techniken (numerische Dispersion, upstream-weighting, Vorkonditionierung von Gleichungssystemen usw.) gefuhrt werden, und zwar von der analytischen Fassung der Aufgabe bis zum fertigen, knappen, fur dieses Buch entwickelten Programm (in Fortran 77 geschrieben). Der Teil uber finite Elemente setzt keine Strukturmechanik voraus. Er spricht Leser an, die finite Elemente als Alternative zu finiten Differenzen betrachten und nur Kenntnisse aus der Differential- und Integralrechnung mehrerer Variablen mitbringen. Deshalb wird die Finite-Element-Methode in einfacher Weise aus dem Grundgedanken des Ritzschen Prinzips entwickelt, und zwar von der Differentialgleichung uber die zugehorige Variationsaufgabe zum algebraischen Gesamtgleichungssystem."

Spis treści

Finite Differenzen.- 0 Allgemeine Grundlagen.- 0.1 Zur Schreibweise.- 0.2 Synonyma des Wortes “Definitionsbereich”.- 0.3 Nebenbedingungen.- 0.4 Zur Klassifizierung partieller Differentialgleichungen.- 0.5 Iteration.- 0.6 Matrizen und Gauß-Elimination.- 0.7 Gestaffelte Systeme, Dreiecksmatrizen, LR-Zerlegung.- 1 Grundlagen der Differenzenmethode.- 1.1 Prinzip und einfachste Formeln.- 1.2 Die Formel von Taylor.- 1.3 Approximation der ersten Ableitung.- 1.4 Approximation der zweiten Ableitung.- 1.5 Explizite und implizite Systeme.- 1.6 Stabile und instabile Systeme.- 1.7 Stabilität im Sinne John von Neumanns.- 1.8 Elliptische, parabolische und hyperbolische Gleichungen.- 1.9 Gitter und Randbedingungen.- 1.10 Unregelmäßige Gitter. Mehrgitterverfahren Lokale Netzverfeinerung.- 1.11 Höhere Ableitungen auf quadratischen Gittern.- 1.12 Differenzenformeln hoher Genauigkeit.- 1.13 Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten Eichung/history matching. Stream weighting.- 1.14 Numerische Dispersion 1.- 1.15 Numerische Dispersion 2.- 1.16 Neun-Punkte Formeln für den Laplace Operator.- 1.17 Herleitung der Neun-Punkte Formel D(p,u).- 1.18 Praktische Fragen.- 1.19 Fehlernormen.- 1.20 Diskretisierung der selbstadjungierten Form (Kux)x.- 1.21 Das Liebmannsche Mittelungsverfahren: Ein elementares klassisches Beispiel der Differenzenmethode.- 1.22 Literatur.- 2 Parabolische Gleichungen I.- 2.1 Zusammenfassung.- 2.2 Lineare tridiagonale Systeme Das Programm Algorithmus TRIDIA.- 2.3 Nichtlineare tridiagonale Systeme.- 2.4 Implizite Lösung von uxx + Q(x,t) = cut.- 2.5 Randbedingungen.- 2.6 Das Programm implizit.f77.- 2.7 Die Crank-Nicolson Variante CN. Das Programm cranknic.f77.- 2.8 Die Gleichung uxx + uyy + Q(x,y,t) = cut · ADIP.- 2.9 Das ADIP-Programm adipr.f77 auf Rechteckgebieten.- 2.10 Die Gleichung uxx + uyy + uzz + Q(x,y,z,t) = cut.- 2.11 Nichtlinearitäten, Nichtrechteckgebiete und Anisotropie.- 2.12 Explizite Lösung der 2- und 3-dimensionalen Gleichung.- 2.13 Literatur.- 3 Elliptische Gleichungen.- 3.1 Zusammenfassung.- 3.2 Bandmatrizen Der Gauß-Algorithmus BANDMATRIX.- 3.3 Direkte Lösung der Gleichungen von Laplace und Poisson mit hoher Genauigkeit.- 3.4 Das Programm poissonl.f77.- 3.5 Ein einfaches Mehrgitterverfahren für die Gleichungen von Poisson und Laplace.- 3.6 Das Programm multigrid.f77.- 3.7 Die Gleichung von Helmholtz.- 3.8 Fehlerabschätzung nach Richardson.- 3.9 Die nichtlineare selbstadjungierte elliptischparabolische Gleichung auf inhomogenen, unregelmäßig berandeten Gebieten.- 3.10 Die selbstadjungierte elliptische bzw. parabolische Differenzengleichung.- 3.11 Die Koeffizienten S und T.- 3.12 Die Randbedingungen.- 3.13 Das Programm adjung.f77.- 3.14 Lösung elliptischer Gleichungen mit adjung.f77.- 3.15 Die Austauschbarkeit elliptischer und parabolischer Programme.- 3.16 Douglas-Rachford iterativ (DRI).- 3.17 Die Biharmonische ?4u = ?2(?2u)=0.- 3.18 Literatur.- 4 Hyperbolische Gleichungen.- 4.1 Zusammenfassung.- 4.2 Charakteristiken.- 4.3 Die Gleichung a(x,y)uxx?c(x,y)uyy = g(x,y)u+f(x,y) mit a(x,y)>0 und c(x,y)>0.- 4.4 Die Wellengleichungen utt = ?uxx + f, utt = ?(uxx + uyy) + f und utt = p(uxx + uyy + uzz) + f mit µ = c2.- 4.5 Die Bestimmung der zulässigen Maschenweiten für Wellengleichungen. Das Kriterium von Courant, Friedrichs und Lewy.- 4.6 Das Programm welle.f77 für 2D-Wellengleichungen.- 4.7 Die Charakteristiken der quasilinearen Gleichung erster Ordnung.- 4.8 Die Charakteristiken quasilinearer Systeme erster Ordnung.- 4.9 Die Lösung hyperbolischer kanonischer Systeme.- 4.10 Beweis der Konvergenz der Näherungslösung.- 4.11 Systeme vom Telegraphengleichungstyp.- 4.12 Gleichungen und Systeme vom Typ ut = ??(x,t)vx.- 4.13 Das Programm utvx.f77.- 4.14 Numerische Längsdispersion 1.- 4.15 Das Lax-Wendroff Schema.- 4.16 Das Programm laxwf.f77.- 4.17 Numerische Längsdispersion 2.- 4.18 Integration der Gleichung ux + vy = 0.- 4.19 Literatur.- 5 Parabolische Gleichungen II.- 5.1 Zusammenfassung.- 5.2 Die SOR-Methode zur Lösung linearer Gleichungen Die Verfahren von Jacobi und Gauß-Seidel.- 5.3 Neun-Punkte Formel des Operators (Tux)x + (Tuy)y Minimalisierung der numerischen Querdispersion.- 5.4 Mehrdimensionale Grundgebiete beliebiger und wechselnder Gestalt. Gitterabtastung. Dreidimensionale Differentialgleichungen auf beliebigen Bereichen.- 5.5 Das Generalprogramm gebiet.f77 für selbstadjungierte Gleichungen auf beliebigen zweidimensionalen Definitionsbereichen mit Dispersionsminimalisierung.- 5.6 Das Arbeiten mit dem Generalprogramm gebiet.f77.- 5.7 Die Konvektions-Diffusionsgleichung auf beliebigen dreidimensionalen Definitionsbereichen. ?-Parameter.- 5.8 Numerische Dispersion selbstadjungierter Gleichungen und solcher vom Konvektions-Diffusionstyp.- 5.9 Automatische Zeitschrittwahl und Abschätzung der Stabilität und Dispersion nichtlinearer Gleichungen.- 5.10 Iteration nichtlinearer Gleichungen. Das Verfahren von Newton und Raphson.- 5.11 Tensorgleichungen. Gleichungen mit gemischten Ableitungen.- 5.12 Wandernde Fronten. Stream weighting 1.- 5.13 Freie Ränder. Stream weighting 2.- 5.14 Ein Kurzprogramm für selbstadjungierte Gleichungen auf beliebigen dreidimensionalen Bereichen mit allgemeinen Randbedingungen, harmonischer Mittelung und upstream weighting. Lösung explizit.- 5.15 Nichtkartesische Koordinaten mit unregelmäßigen Gitterabständen, unendliche Definitionsbereiche, logarithmische Unstetigkeiten und Anfangs-Sprungunstetigkeiten.- 5.16 Systeme parabolischer oder elliptischer Gleichungen.- 5.17 Eine Bemerkung zu Gleichungen der Form f(vxx, vyy, vzz, vx, vy, vz, ut)=0.- 5.18 Zusammengesetzte Medien. Phasenübergänge.- 5.19 Literatur.- 6 Große lineare Gleichungssysteme.- 6.1 Einleitung.- 6.2 Vorteile und Nachteile expliziter Lösungsverfahren.- 6.3 Vorteile und Nachteile der Mehrgitterverfahren.- 6.4 Vorteile und Nachteile von ADIP und Douglas-Rachford iterativ (DRI).- 6.5 Vorteile und Nachteile von SOR.- 6.6 Vorteile und Nachteile von Gauß-Seidel (GS) und dem Eliminationsverfahren von Gauß (GE).- 6.7 Vorteile und Nachteile des Verfahrens von Jacobi (J).- 6.8 Gradienten(artige) Methoden mit ihren Vor- und Nachteilen.- 6.9 Schlußworte zur Besprechung der Vor- und Nachteile der einzelnen Lösungsverfahren.- 6.10 Definitionen: positiv definite, unzerlegbare, diagonal dominierte Matrizen.- 6.11 Anwendung auf selbstadjungierte Gleichungen, Konvergenz iterativer Verfahren und Gauß-Elimination.- 6.12 Spärlich besetzte Bandmatrizen.- 6.13 Das speicherplatzsparende Programm gauss.f77.- 6.14 Die Gradientenmethode CG (conjugate gradient algorithm) für positiv definite Systeme.- 6.15 Die Gradientenmethode CGS (conjugate gradients squared) für Navier-Stokes Gleichungen und andere asymmetrische Probleme.- 6.16 Vorkonditionierung (preconditioning).- 6.17 Platzsparendes Abspeichern der Koeffizientenmatrix.- 6.18 Einfachindizierung der Gitterpunkte bei Anwendung direkter Verfahren und Gradientenmethoden.- 6.19 Literatur.- Finite Elemente.- 7 Einführung in die Methode der finiten Elemente.- 7.1 Finite Elemente und ihre Knoten.- 7.2 Variationsaufgaben. Die Verfahren von Ritz und Galerkin.- 7.3 Vergleich der Differenzenmethode mit der finiten Elementmethode bei Lösung partieller Differentialgleichungen.- 7.4 Die Überführung von Variationsaufgaben in Differentialgleichungen. Natürliche Randbedingungen.- 7.5 Der Arbeitsablauf bei der Ritz-Variante.- 7.6 Die Berechnung von ?J/?Ur.- 7.7 Eindimensionale Elemente.- 7.8 Die Lösung eindimensionaler Variationsaufgaben.- 7.9 Die Entfernung von Innenknoten.- 7.10 Die wichtigsten Eulerschen Gleichungen zu Variationsaufgaben.- 7.11 Variationsaufgaben zu gewöhnlichen Differentialgleichungen.- 7.12 Variationsaufgaben zu elliptischen Differentialgleichungen in der Ebene und im Raum.- 7.13 Literatur.- 8 Die Lösung von Variationsaufgaben I.- 8.1 Einleitung.- 8.2 Rechteckelemente.- 8.3 Dreidimensionale Blockelemente.- 8.4 Numerische Integration auf Intervall-, Rechteck- und Blockelementen.- 8.5 Dreieckelemente.- 8.6 Dreieckelemente mit drei oder sechs Knoten.- 8.7 Tetraederelemente.- 8.8 Die Behandlung nichtlinearer Randwertprobleme. Minimalflächen.- 8.9 Bemerkungen zur Programmierung und Gebietsaufteilung.- 8.10 Literatur.- 9 Die Lösung von Variationsaufgaben II.- 9.1 Allgemeine finite Elemente.- 9.2 Schiefwinklige 4-Knoten-Viereckelemente.- 9.3 Windschiefe dreidimensionale Blöcke.- 9.4 Die numerische Integration über schiefwinklige Vierecke und windschiefe dreidimensionale Blöcke.- 9.5 Dreieckelemente mit gekrümmten Rändern 1.- 9.6 Dreieckelemente mit gekrümmten Rändern 2.- 9.7 Dreieckelemente mit einem gekrümmten Rand.- 9.8 Integration über krummlinig berandete Dreiecke.- 9.9 Viereckelemente mit gekrümmten Rändern.- 9.10 Vergleich der praktischen Eigenschaften der Elemente.- 9.11 Die Biharmonische und andere Gleichungen vierter Ordnung.- 9.12 Intervallelemente mit stetiger erster Ableitung. Die Variationsaufgabe der gewöhnlichen Differentialgleichung vierter Ordnung.- 9.13 Literatur.- 10 Gemischte Randbedingungen. Der Galerkin-Prozeß.- 10.1 Einleitung.- 10.2 Die Normalableitung.- 10.3 Natürliche Randbedingungen. Verschwinden der Normalableitung auf dem Rand.- 10.4 Gemischte Randbedingungen für Gleichungen mit zwei Ortsvariablen.- 10.5 Durchführung der Lösung für gemischte Randbedingungen.- 10.6 Gemischte Randbedingungen für Gleichungen mit drei Ortsvariablen.- 10.7 Die Berücksichtigung einfacher Nebenbedingungen.- 10.8 Der Galerkin-Prozeß.- 10.9 Lineare und nichtlineare parabolische, hyperbolische und gemischte Gleichungen und nichtlineare elliptische Probleme.- 10.10 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 10.11 Literatur.- Fortran 77 Programme.- implicit.f77.- subprgl.f77.- cranknic.f77.- adipr.f77.- subprg2.f77.- poissoni.f77.- pmat.f77.- multigrid.f77.- adjung.f77.- welle.f77.- utvx.f77.- laxwf.f77.- gebiet.f77.- gauss.f77.