Ökonometrische Methoden

ISBN-13: 9783540049500 / Niemiecki / Miękka / 1970 / 254 str.

Dieter Hochstadter; Gatz Uebe

Opis

Die vorliegende Arbeit beruht auf einer Ausarbeitung einer einseme strigen Vorlesung tiber "Hkonometrie," die der erste Autor im SS 1969 an der Universitat Karlsruhe gehalten hat. Es war damals nicht mog lich, den Studenten ein deutschsprachiges Textbuch zu empfehlen, das in etwa den dargebotenen Stoff enthielt. Dagegen existieren in der englischen Literatur hervorragende Lehrbticher, es seien nur die Werke von Goldberger und Johnston erwahnt. In Zusammenarbeit mit GBtz Uebe entstand daher diese Arbeit, die sich in erster Linie an Studenten wendet, um ihnen das Studium der Methoden der Hkonometrie zu erleichtern. Daher lehnt sich diese Darstellung sowohl im Aufbau wie auch im Inhalt sehr stark an die oben bereits zitierten Werke an. Viele Dinge werden bewu3t etwas ausftihrlicher und breiter dargestellt, um eine leicht lesbare Einftibrung in dieses Gebiet zu bringen. Um an dererseits den Umfang des Bandes nicbt zu stark zu vergro3ern, wurde angenommen, da3 der Leser bereits Kenntnis der Statistik und Wahr scheinlichkeitstbeorie besitzt. Sollte dies nicht der Fall sein, so sei auf eines der in der Literaturangabe erwahnten Werke verwiesen."

Spis treści

A Ökonometrische Einzelgleichungsmodelle.- I Statistische Hilfsmittel.- 1. Die nichtexperimentelle Natur ökonometrischer Zeitreihen.- 2. Schätzwerte und Schätzfunktionen.- 3. Stochastische Eigenschaften der beobachteten Größen.- 3.1 Dichte und Verteilung einer Zufallsvariablen.- 3.2 Normalverteilte Zufallsvariablen.- 3.2.1 Die Normalverteilung.- 3.2.2 Aus der Normalverteilung ableitbare Verteilungen.- 3.3 Wünschenswerte Eigenschaften eines Schätzwertes.- 3.3.1 Erwartungstreue.- 3.3.2 Kleinste Varianz.- 3.3.3 Linearität.- 3.3.4 Konsistenz.- 3.3.5 Wirksamkeit.- 3.3.6 Suffizienz.- 4. Zwei Verfahren zur Bestimmung von Schätzfunktionen.- 4.1 Das verteilungsfreie Verfahren der kleinsten Quadrate.- 4.2 Das verteilungsabhängige Maximum-Likelihood Verfahren von R. A. Fisher.- 5. Die Güte der Schätzwerte.- 5.1 Die Varianz eines geschätzten Parameters.- 5.1.1 Die Varianz von Maximum-Likelihood Schätzwerten.- 5.1.2 Die Varianz für die Schätzwerte der Koeffizienten einer Normalverteilung.- 5.2 Der Vertrauensbereich.- 5.2.1 Der Ansatz eines Vertrauensbereiches.- 5.2.2 Beispiel eines normalverteilten Vertrauensbereiches.- 6. Testen von Hypothesen.- 6.1 Das grundlegende Problem des Hypothesenprüfens.- 6.2 Bewertung falscher Entscheidungen.- II Das klassische lineare Regressionsmodell für zwei Variable.- A. Der lineare Ansatz.- 1. Das Modell.- 2. Die Interpretation der Störvariablen.- 3. Die Anwendungsbreite des linearen Modells.- 3.1 Umformungen durch Variablentransformationen.- 3.2 Linearisierte Beziehungen.- 4. Das Schätzproblem.- B. Die Methode der kleinsten Quadrate.- 1. Die Schätzwerte ?? und ??.- 2. Die Linearität der Schätzwerte.- 3. Die Einführung des Erwartungswertes der Störvariablen — die Unverzerrtheit der Schätzwerte -.- 3.1 Der Erwartungswert der Störvariablen.- 3.2 Die Linearität von ?? in den Störvariablen.- 3.3 Die Erwartungstreue von.- 3.4 Die Linearität von ?? in den Störvariablen.- 3.5 Die Erwartungstreue von ??.- 4. Die Einführung der Kovarianzen der Störvariablen.- 4.1 Die Annahmen.- 4.2 Bemerkungen.- 4.3 Beweis zur kleinsten Varianz der Schätzwerte ?? und ?? im homoskedastischen Fall.- 4.3.1 Die Varianzen von ?? und ??.- 4.3.2 Die Kovarianz von ?? und ??.- 4.3.3 Die Größe der Varianzen.- 4.3.3.1 Beweisverfahren I.- 4.3.3.2 Beweisverfahren II.- 4.4 Der Schätzwert ??2 für die Varianz der Störvariablen.- 5. Das Bestimmtheitsmaß — der Korrelationskoeffizient.- 5.1 Das Gütekriterium des Korrelationskoeffizienten.- 5.2 Der Zusammenhang mit dem Schätzwert ??.- 5.3 Die Zerlegung in erklärte und unerklärte Teile.- 6. Ein Zwischenergebnis.- 6.1 Die Verteilungsfreiheit der Methode der kleinsten Quadrate.- 6.2 Entwicklungsschema der Annahmen und Ergebnisse für die Methode der kleinsten Quadrate.- 6.3 Übersicht der wichtigsten Beziehungen.- 6.4 Ein Beispiel — eine Konsumfunktion für die Bundesrepublik Deutschland.- C. Die Maximum-Likelihood Methode.- 1. Die Einführung einer Verteilung für die Störvariablen.- 2. Der Sonderfall der normalverteilten Störvariablen.- 3. Die Übereinstimmung mit den SELS-Ergebnissen.- 4. Zusätzliche Ergebnisse.- 4.1 Der verzerrte Schätzwert ??2 für die Varianz der Störvariablen.- 4.2 Normalverteilung der Koeffizienten ?? und ??.- D. Statistische Prüfverfahren für die Schätzwerte.- 1. Ableitung der ?2-Verteilung der Summe der quadratischen Abweichungen.- 1.1 Eine Testgröße aus den beobachteten Werten.- 1.2 ?-Verteilung der Summe der quadratischen Abweichungen.- 2. Ein Satz über lineare und quadratische Formen der Störvariablen.- 2.1 Lineare Formen der Störvariablen.- 2.2 Eine quadratische Form der Störvariablen.- 2.3 Diagonalisierung der Matrix der quadratischen Glieder.- 2.4 Formulierung des Satzes.- 2.5 Beweis des Satzes.- 2.6 Übertragung des Satzes auf die Regression.- 2.7 Rückblick.- 3. Student’s t-Test für die Schätzwerte ?? und ??.- 3.1 Die Verteilung der beteiligten Größen.- 3.2 Die t-verteilten Testgrößen.- 3.3 Vertrauensbereiche für die Schätzwerte ?? und ??.- 3.3.1 Der Vertrauensbereich für eine beliebige stochastische Größe.- 3.3.2 Anwendung auf die t-verteilten Größen ???, ???.- 4. Der varianzanalytische Ansatz — Snedecor’s F-Test.- 4.1 Die Konstruktion F-verteilter Größen.- 4.2 Der Test des einzelnen Koeffizienten ?? oder ??.- 4.3 Ein Test für das Bestimmtheitsmaß.- 4.4 Der gemeinsame Test zweier Koeffizienten.- 5. Übersicht der wichtigsten Beziehungen.- 6. Erste Fortsetzung des Beispiels.- E. Erweiterung des Modells.- 1. Prognose.- 1.1 Das allgemeine Problem der Prognose.- 1.2 Der Prognosewert besitzt die BLUE-Eigenschaft.- 1.2.2 Linearität in den ursprünglichen Beobachtungswerten und kleinste Varianz des Prognosewertes.- 1.3 Übertragung der verteilungsabhängigen Ergebnisse.- 1.4 Untersuchung einer zusätzlichen Beobachtung.- 1.5 Übersicht der wichtigsten Beziehungen.- 2. Zweite Fortsetzung des Beispiels.- III Das allgemeine lineare Regressionsmodell.- A. Der lineare Ansatz.- B. Die Methode der kleinsten Quadrate.- 1. Der Schätzwert für den Koeffizientenvektor ?.- 2. Die Linearität des Schätzvektors.- 3. Die Einführung des Erwartungswertes der Störvariablen — Die Unverzerrtheit des Schätzvektors -.- 4. Die Einführung der Kovarianzmatrix der Störvariablen.- 4.1 Die Kovarianzmatrix der Schätzvektoren.- 4.2 Der Standardfall der positiv-definiten Kovarianzmatrix.- 4.3 Das klassische Problem (K).- 4.4 Das Problem der Heteroskedastizität (H).- 4.5 Das allgemeine Problem der Autokorrelation (A).- 4.5.1 Die Annahmen der Autokorrelation.- 4.6 Ein Sonderfall: Der autoregressive Prozeß.- 4.6.1 Der autoregressive Ansatz.- 4.6.2 Die Bestimmung der stochastischen Eigenschaften der Störvariablen u.- 4.6.2.1 Der Erwartungswert.- 4.6.2.2 Die Kovarianzmatrix.- 4.6.2.3 Eine Näherungslösung für die Transformationsmatrix.- 4.6.3 Die Bestimmung des Autokorrelationskoeffizienten ?.- 4.6.3.1 Zwei Extremfälle für den Autokorrelations — koeffizienten.- 4.6.3.2 Ersetzung der Störvariablen durch die Residuen in der Kovarianzmatrix.- 4.6.3.3 Ersetzung der Störvariablen durch die Residuen im autoregressiven Prozeß.- 4.6.4 Der von Neumann — Durbin — Watson Test.- 4.6.5 Zusammenfassung.- 4.7 Übersicht zu den Transformationen.- 4.8 Die Eigenschaft bester Schätzwert für den klassischen Fall.- 4.9 Die BLUE-Eigenschaften des klassischen Falls und der darauf transformierten Fälle.- 4.9.1 Die zentrale Rolle des klassischen Modells.- 4.9.2 Ein Beispiel für die Wirksamkeit der Transformation.- 4.10 Der Schätzwert ??2 für die Varianz der Störvariablen im klassischen Fall.- 4.11 Das Bestimmtheitsmaß.- 4.11.1 Das Bestimmtheitsmaß für die gesamte Regression.- 4.11.2 Die partiellen Korrelationskoeffizienten.- 5. Übersicht der wichtigsten Beziehungen.- 6. Dritte Fortsetzung des Beispiels.- C. Die Maximum Likelihood Methode.- 1. Die Einführung einer Verteilung für die Störvariablen.- 2. Der Sonderfall der normal-verteilten Störvariablen im klassischen Modell.- 3. Die Übereinstimmung mit den SELS-Ergebnissen.- 4. Zusätzliche Ergebnisse.- 4.1 Der verzerrte Schätzwert ??2 für die Varianz der Störvariablen.- 4.2 Normalverteilung des Schätzvektors ?.- D. Statistische Prüfverfahren für den Schätzvektor.- 1. Ableitung der ?2-Verteilung mit (n-k)-Freiheitsgraden für die Summe der quadratischen Abweichungen.- 2. Einschub: Die idempotente Matrix M.- 3. Die Unabhängigkeit der Verteilung des Schätzvektors ? von der Verteilung der Quadratsumme der Residuen.- 4. Der Übergang zu t-verteilten Testgrößen für den Schätzvektor.- 4.1 Vertrauensbereiche aus den t-verteilten Testgrößen.- 4.2 Abschließende Bemerkungen zum t-Test.- 5. Der varianzanalytische Ansatz — Snedecor’s F-Test.- 5.1 Die Konstruktion F-verteilter Testgrößen.- 5.2 Der Test eines einzelnen Koeffizienten.- 5.3 Ein Test für das Bestimmtheitsmaß.- 5.4 Der gemeinsame Test für mehrere Koeffizienten.- 5.4.1 Hinzufügen einer zusätzlichen unabhängigen Variablen.- 5.4.2 Hinzufügen mehrerer zusätzlicher unabhängiger Variabler.- 6. Übersicht über die wichtigsten Beziehungen.- 7. Vierte Fortsetzung des Beispiels.- E. Erweiterung des Modells um zusätzliche Beobachtungswerte.- 1. Prognose.- 1.1 Das allgemeine Problem der Prognose.- 1.2 BLUE-Eigenschaften des Prognosewertes Y?O.- 1.2.1 Unverzerrtheit des Prognosewertes.- 1.2.2 Linearität und kleinste Varianz des Prognosewertes.- 1.3 Übertragung der verteilungsabhängigen Ergebnisse.- 1.4 Untersuchung einer zusätzlichen Beobachtung.- 1.5 Übersicht der wichtigsten Beziehungen.- 2. Fünfte Fortsetzung des Beispiels.- IV Multikollinearität.- 1. Existenz und Folgen der Multikollinearität.- 2. Erkennen der Multikollinearität.- 2.1 Kenntnis der Multikollinearität.- 2.2 Fehlende Kenntnis der Multikollinearität.- 2.2.1 Übergroße Kovarianzwerte.- 2.2.2 Vergleich der partiellen Bestimmtheitsmaße.- 2.3 Genauere Tests auf Multikollinearität.- 2.3.1 Frisch’s Büschelkartenanalyse.- 2.3.2 Tintner’s Eigenwertmethode.- 3. Sechste Fortsetzung des Beispiels.- V Verzögerte Variable.- 1. Der allgemeine Fall verzögerter Variablen.- 2. Ein einfacher Fall der Verzögerung.- 2.1 Der Ansatz.- 2.2 Ein nicht-stochastischer Anfangswert Y1.- 2.2.3 Ein stochastischer Anfangswert Y1.- 2.3.1 Mittelwert und Varianz der Beobachtung.- 2.3.2 Die Likelihood Funktion.- 2.3.3 Die Schätzgleichungen.- 2.3.4 Konsistenz der Schätzwerte.- 2.3.5 Eine typische Situation in ökonometrischen Problemen.- 3. Das Modell von Koyck — Geometrisch abnehmender Einfluß der Vergangenheit -.- 3.1 Der Ansatz.- 3.2 Aufbau der Schätzsysteme.- 3.3 Vergleich der Schätzsysteme.- 3.4 Nichtkonsistenz des Schätzsystems.- 3.5 Die Koyck-sche Korrektur des Schätzsystems.- 3.6 Zusammenfassung.- VI Beobachtungsfehler in den Variablen.- 1. Die Einführung von Beobachtungsfehlern in den Ansatz.- 2. Inkonsistente SELS-Schätzungen.- 2.1 Vergleich der Schätzsysteme.- 2.2 Der Schätzwert für ß.- 3. Maximum-Likelihood Schätzwerte.- 3.1 Der Ansatz bei Normalverteilung.- 3.2 Die Auswertung der Schätzgleichungen.- 3.3 Sonderfälle der Lösung.- 3.3.1 Der Varianzparameter ? verschwindet.- 3.3.2 Der Varianzparameter ? wird unendlich groß.- 3.3.3 Die „wahre“ Beziehung ist nicht-stochastisch.- 3.3.4 Die Varianzen der Beobachtungsfehler sind numerisch bekannt.- 4. Schätzwerte nach der Momentenmethode von Pearson.- 4.1 Der Ansatz.- 4.2 Eine Beispielslösung.- 5. Gruppierungsverfahren.- 5.1 Das Verfahren von Wald.- 5.2 Das Verfahren von Bartlett.- B Ökonometrische Gleichungssysteme.- VII Das lineare ökonometrische Gleichungssystem.- 1. Wirklichkeitsnähe ökonometrischer Systeme.- 2. Der allgemeine Ansatz eines linearen ökonometrischen Gleichungssystems.- 3. Der Unterfall des Einzelgleichungsmodells.- VIII Das Identifikationsproblem.- 1. Die Schätzmöglichkeiten für eine Struktur.- 2. Eine nicht-identifizierbare Struktur.- 3. Einführen von zusätzlichen Variablen zur Identifikation.- 4. Einführen von zusätzlichen stochastischen Eigenschaften.- 4.1 Unabhängigkeit der Störvariablen.- 4.2 Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsdichte für die endogenen Variablen einer ersten Struktur.- 4.2.1.1 Die Bildung der reduzierten Form einer Struktur.- 4.2.1.2 Die Wahrscheinlichkeitsdichte der endogenen Variablen.- 4.2.2 Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte für die endogenen Variablen einer zweiten Struktur.- 4.2.3 Identifikation der gemeinsamen reduzierten Form.- 5. Folgerung aus den Beispielen.- 6. Der stochastische Zusammenhang zwischen Struktur und reduzierter Form.- 6.1 Struktur und reduzierte Form.- 6.2 Mittelwert und Kovarianzmatrix für die Störvariablen der reduzierten Form.- 6.3 Mittelwert und Kovarianzmatrix für die endogenen Variablen.- 6.4 Die Wahrscheinlichkeitsdichte der endogenen Variablen.- 6.5 Likelihoodfunktion äquivalenter Strukturen.- 7. Das Identifikationsproblem bei Ausschluß von Koeffizienten.- 7.1 Umordnen des Systems für eine Gleichung.- 7.2 Bestimmung der Koeffizienten der Struktur.- 7.3 Die Identifikationskriterien für vollständige Strukturen.- 7.4 Vergleich der beiden Identifikationskriterien.- IX Schätzverfahren für Gleichungssysteme.- 1. Einteilung der Schätzverfahren.- 2. Übertragung des Einzelgleichungsmodells.- 2.1 Der Sonderfall eines rekursiven Modells.- 2.2 Die stochastischen Eigenschaften des rekursiven Modells.- 2.3 Die sukzessive Schätzung des rekursiven Modells.- 2.4 Die Häufigkeit des Einzelgleichungsansatzes.- 3. Die Methode der indirekten kleinsten Quadrate.- 3.1 Der Schätzwert aus den Identifikationsgleichungen.- 3.2 Die Schätzung der reduzierten Form.- 3.3 Die Beschränkung auf exakt identifizierte Strukturen.- 3.4 Konsistenz der Schätzung.- 4. Schätzverfahren bei Überidentifikation.- 4.1 Verfahren bei beschränkter Information.- 4.1.1 Das zweistufige Verfahren der kleinsten Quadrate.- 4.1.1.1 Zerlegung des Schätzproblems.- 4.1.1.2 Umformung der Strukturgleichung zum Schätzsystem.- 4.1.1.3 Stufe 1: Schätzung der Teilmatrix C1R der reduzierten Form.- 4.1.1.4 Stufe 2: Schätzung der Strukturkoeffizienten A1R und B1,*.- 4.1.1.5 Der Sonderfall der Übereinstimmung von TLS und ILS.- 4.1.1.6 Die Notwendigkeit der Identifikation.- 4.1.1.7 Konsistenz der TLS-Schätzwerte.- 4.1.2 Rückführung auf ein exakt identifiziertes Schätzsystem — Das eigentliche Verfahren bei beschränkter Information -.- 4.1.2.1 Der Ansatz der Schätzung.- 4.1.2.2 Das Schätzproblem.- 4.1.2.3 Die Begründung über die Zerlegung des Bestimmtheitsmaßes.- 4.1.2.4 Die Begründung über einen Maximum-Likelihood Ansatz bei unabhängigen, normal-verteilten Störvariablen.- 4.1.3 Das Schätzsystem.- 4.1.3.1 Der Lagrange Ansatz.- 4.1.3.2 Die Schätzwerte für C*,*, C*,** und ?.- 4.1.3.3 Die Zerlegung der Residuen.- a) Ableitung der Summanden.- b) Die Regression auf die erste Teilmenge der exogenen Variablen.- c) Die Regression auf beide Teilmengen der exogenen Variablen.- c1) Der Schätzansatz.- c2) Inversion einer zweifach unterteilten Matrix.- c3) Die Residuen auf alle exogenen Variablen.- 4.1.3.4 Berücksichtigung der Nebenbedingung.- 4.1.3.5 Zusammenfassung des eigentlichen Verfahrens bei beschränkter Information.- 4.2 Verfahren bei voller Information.- 4.2.1 Der Unterschied der Verfahren bei voller und beschränkter Information.- 4.2.2 Die dreistufige Methode der kleinsten Quadrate.- 4.2.2.1 Ableitung einer Schätzgleichung.- 4.2.2.2 Unterschiede in der Identifizierbarkeit.- 4.2.2.3 Anwendbarkeit des SELS-Ansatzes.- 4.2.2.4 Übertragung des SELS-Ansatzes auf das System.- 4.2.2.5 Bestimmung eines Schätzwertes für die Kovarianzmatrix der Störvariablen.- 4.2.2.6 Zusammenfassung.- X. Literaturverzeichnis.