Übungsbuch Analysis : Auf einen Blick: Grenzbereich, Differenzialrechnung, Integration und Co. Folgen und Reihen verständlich erklärt. Schritt für Schritt die besten Lösungswege. Einfache und schwere

ISBN-13: 9783527711406 / Niemiecki / Miękka / 2015 / 336 str.

Mark Ryan

Spis treści

Über den Autor 7

Einführung 17

Über dieses Buch 17

Konventionen in diesem Buch 18

Mit diesem Buch arbeiten 18

Törichte Annahmen über den Leser 18

Wie dieses Buch aufgebaut ist 19

Teil I: Voraussetzungen für die Analysis ein Rückblick 19

Teil II: Grenzwerte und Stetigkeit 19

Teil III: Differenziation 20

Teil IV: Integration, Folgen und Reihen 20

Teil V: Der Top–Ten–Teil 20

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 21

Wie es weitergeht 21

Teil I Voraussetzungen für die Analysis ein Rückblick 23

Kapitel 1 Noch einmal zu den Grundlagen: Algebra und Geometrie 25

Der Frust mit den Brüchen 25

Algebraisches Allgemeinwissen: Was Ihnen bei jeder Misswahl abverlangt wird . . . 26

Geometrie: Wer soll das je brauchen? 28

Lösungen für diese einfachen Elementaraufgaben 30

Kapitel 2 Irre Funktionen und knifflige Trigonometrie 37

Funktionen näherkommen 37

Trigonometrische Übungen 40

Lösungen für Funktionen und Trigonometrie 42

Teil II Grenzwerte und Stetigkeit 47

Kapitel 3 Ein Graph sagt mehr als tausend Worte: Grenzwerte und Stetigkeit 49

Definitionen verdauen: Grenzwert und Stetigkeit 50

Genauer betrachtet: Grafische Darstellung von Grenzwert und Stetigkeit 51

Lösungen für Grenzwerte und Stetigkeit 53

Kapitel 4 Haarige Grenzwertprobleme 57

Grenzwerte mithilfe von Algebra lösen 58

Den Taschenrechner verwenden: Nützliches »Schummeln« 61

Ein Grenzwert–Sandwich 61

Hinaus in die Weite: Grenzwerte an der Unendlichkeit 63

Lösungen für Grenzwertaufgaben 65

Teil III Differenziation 75

Kapitel 5 Das große Ganze: Grundlagen der Differenziation 77

Die Ableitung: Der Analysisausdruck für Steigung und Änderungsrate 77

Der wunderbare Differenzenquotient 79

Lösungen für die Grundlagen der Differenziation 81

Kapitel 6 Regeln, Regeln, Regeln: Das Handbuch für die Differenziation 87

Regeln für Anfänger 87

Die Produkt– und die Quotientenregel 88

Weiter mit der Kettenregel 90

Und was passiert mit den y? Implizite Differenziation 92

Wir arbeiten uns nach oben: Ableitungen höherer Ordnung 94

Lösungen für die Differenziationsaufgaben 95

Kapitel 7 Scharfe Kurven mithilfe der Ableitung analysieren 105

Der Test auf die erste Ableitung und lokale Extrema 105

Der Test auf die zweite Ableitung und lokale Extrema 108

Auf zum Mount Everest: Absolute Extrema 110

Smiley oder Schmollmund? Krümmung und Wendepunkte 113

Der Mittelwertsatz: Alles wird gut! 116

Lösungen für Ableitungen und Kurvenformen 118

Kapitel 8 Mithilfe der Differenziation praktische Probleme lösen 137

Optimierungsprobleme: Von Suppen und Nüssen 137

Problematische Beziehungen: Verkettete Änderungsraten 140

Ein Tag auf der Rennbahn: Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung 144

Auf die Linie achten: Tangenten und Normalen 147

Intelligente lineare Annäherung (Approximation) 150

Lösungen zur Problemlösung mit Differenziation 152

Teil IV Integration, Folgen und Reihen 177

Kapitel 9 Und jetzt zur Integration 179

Die Fläche von Rechtecken aufaddieren: Kinderleicht! 179

Sigma–Notation und Riemann–Summen: Streber an den Start! 181

Nah ist nicht genug: Das bestimmte Integral und die exakte Fläche 187

Fläche mit der Trapezregel und mit der Regel von Simpson bestimmen 189

Lösungen für die Einführung in die Integration 193

Kapitel 10 Integration: Umgekehrte Differenziation 203

Die furchtbar fade Flächenfunktion 203

Trommelwirbel! Der Hauptsatz der Differenzial– und Integralrechnung 206

Stammfunktionen finden: Raten und Prüfen 209

Die Substitutionsmethode: Verwandlungen 210

Lösungen für die Aufgaben zur umgekehrten Differenziation 213

Kapitel 11 Integrationsregeln für Kenner 221

Partielle Integration: So wird s gemacht! 221

Trigonometrische Integrale transformieren 225

Trigonometrische Substitution: Ihr Glückstag! 226

Partizipieren an partiellen Brüchen 229

Lösungen für Integrationsregeln 233

Kapitel 12 Wer braucht schon Freud? Integrale zur Problemlösung 255

Den Durchschnittswert einer Funktion bestimmen 255

Die Fläche zwischen Kurven bestimmen 256

Volumen unregelmäßiger Körper: Nein, das werden Sie sicher nie brauchen! 258

Bogenlänge und Mantelflächen 265

Gute Heilerfolge mit der Regel von L H opital 268

Uneigentliche Integrale in die Schranken weisen 270

Lösungen zur Integration für die Problemlösung 273

Kapitel 13 Folgen: Vom Kindergarten zur höheren Mathematik 287

Testen Sie Ihren IQ! 287

Eine Neuauflage des Grenzwerts 291

Lösungen zu Folgen 295

Kapitel 14 Unendliche Reihen: Willkommen an den äußeren Grenzen! 299

Der raffinierte Test auf den n–ten Term 299

Drei grundlegende Reihen testen 300

Äpfel und Birnen . . . und Bananen: Drei Vergleichstests 302

Und jetzt noch die beiden »R«–Tests 305

Er liebt mich, er liebt mich nicht: Alternierende Reihen 307

Lösungen für unendliche Reihen 309

Teil V Der Top–Ten–Teil 321

Kapitel 15 Zehn Dinge, die Sie über Grenzwerte, Stetigkeit und unendliche Reihen wissen sollten 323

Die 33333–Mnemotechnik 323

Erste 3 über dem »l«: Die Definition eines Grenzwerts (Limes) besteht aus drei Teilen 323

Fünfte 3 über dem »l«: Es gibt drei Fälle, in denen es keinen Grenzwert (Limes) gibt 323

Zweite 3 über dem »i«: Die Definition der Stetigkeit besteht aus drei Teilen 324

Vierte 3 über dem »i«: Es gibt drei Fälle, in denen keine Stetigkeit vorliegt 324

Dritte 3 über dem »m«: Es gibt drei Fälle, in denen es keine Ableitung gibt 324

Die 13231–Mnemotechnik 324

Erste 1: Der Test auf den n–ten Term für Divergenz 325

Zweite 1: Der Test auf den n–ten Term für die Konvergenz alternierender Reihen 325

Erste 3: Die drei Tests mit Namen 325

Zweite 3: Die drei Vergleichstests 325

Die 2 in der Mitte: Die beiden R–Tests 325

Kapitel 16 Zehn Dinge, die Sie sich über die Differenziation merken sollten 327

Der Differenzenquotient 327

Die erste Ableitung ist eine Rate 327

Die erste Ableitung ist eine Steigung 328

Extrema, Vorzeichenwechsel und die erste Ableitung 328

Die zweite Ableitung und Konkavität 328

Wendepunkte und Vorzeichenwechsel in der zweiten Ableitung 328

Die Produktregel 328

Die Quotientenregel 329

Lineare Annäherung 329

Psst! eine praktische Methode, sich die Ableitungen von trigonometrischen Funktionen zu merken 329

Kapitel 17 Zehn Dinge, die Sie sich über die Integration merken sollten 331

Die Trapezregel 331

Die Mittelpunktsregel 331

Simpson–Regel 331

Das unbestimmte Integral 332

Der Hauptsatz der Differenzial– und Integralrechnung, I. 332

Der Hauptsatz der Differenzial– und Integralrechnung, II. 332

Das bestimmte Integral 333

Die Höhe eines Rechtecks ist gleich oben minus unten 333

Fläche unter der x–Achse ist negativ 333

Stückweise integrieren 333

Stichwortverzeichnis 335

O autorze

Mark Ryan ist Mathematiklehrer und unterrichtet seit 1989 Schüler verschiedener Altersstufen. Außerdem ist er Gründer und Besitzer eines Mathe-Lernzentrums in Illinois und Autor des Buchs ?Analysis für Dummies?.