Übungen Zur Mathematik Für Ingenieure: Anwendungsorientierte Übungsaufgaben Aus Naturwissenschaft Und Technik Mit Ausführlichen Lösungen

ISBN-13: 9783528043551 / Niemiecki / Miękka / 1990 / 360 str.

Lothar Papula

Opis

Die Darstellung anwendungsorientierter mathematischer Methoden in Vorlesungen und Obungen gehbrt zum festen Bestandteil des Grundstudiums der technischen Disziplinen im Hochschulbereich. Von besonderer Bedeutung sind dabei die voriesungsbegJeitenden iibungen, in denen der Studierende die in der Vorlesung vermittelten mathematischen Grundkenntnisse anwenden und vertiefen soli. Die Erfahrung zeigt nun, daB die Behand lung und Lbsung mathematischer Obungsaufgaben oft mit enormen Schwierigkeiten verbunden sind, insbesondere dann, wenn diese anwendungs- und praxisorientiert fonnuliert werden. Die Entwicklung und der Erwerb der Fahigkeit, die im Grundstudium vermittelten mathematischen Kenntnisse auf einfache Problemstellungen aus Natur wissenschaft und Technik erfolgreich anwenden zu kbnnen, ist jedoch ein wesentliches Ziel der Grundausbildung und so mit zugleich Voraussetzung fUr ein erfolgreiches Studium. Das vorliegende Werk Obungen zur Mathematik fur Ingenieure enthiilt 187 ausschliel lich anwendungsorientierte Obungsaufgaben, die ausfilhrlich formuliert und vollstdndig gelbst werden (Lbsungen mit allen Zwischenschritten). Die ausgewahlten Problemstellungen entstammen den speziellen Grundvoriesungen der technischen Disziplinen wie Elektro technik. Maschinenbau und Physik. Die Obungen haben somit durchaus den Charakter von Anwendungsbeispielen und zeigen die erfolgreiche Anwendung der Ingenieurmathe matik auf (meist einfache) Problemstellungen aus Naturwissenschaft und Technik. Das Obungsbuch folgt in Aufbau und Stoffauswahl dem bewahrten Lehrbuch Mathematik fUr Ingenieure 1,2. Die beim selbstandigen Lbsen der Obungsaufgaben benbtigten physikalischen Grundlagen sind im Anhang einzeln aufgefuhrt. Das Obungsbuch ist daher unabhdngig von weiterer physikalischer Literatur verwendbar. Der allen Anwendungs beispielen gemeinsame Aufbau wird in der Anleitung filr den Benutzer ausfUhrlich beschrieben.

Spis treści

I Vektorrechnung.- 1 Kraftzerlegung am Keil: Zerlegung eines Vektors in Komponenten.- 2 Zusammengesetzte Bewegung einer Fähre: Vektoraddition.- 3 Kräftegleichgewicht an einem belasteten Rollensystem: Vektoraddition.- 4 Zweifach gelagerte Welle bei Belastung: Komponentenrechnung.- 5 Stabkräfte (Reaktionskräfte) in einem Ausleger: Vektoraddition.- 6 Schwerpunkt eines Massenpunktsystems: Vektoraddition.- 7 Überlagerung elektrischer Felder: Vektoraddition.- 8 Kraftwirkung zwischen stromdurchflossenen Leitern: Vektorprodukt.- 9 Stabkräfte (Reaktionskräfte) in einem belasteten Dreibein: Räumliche Vektoraddition, Gaußscher Algorithmus.- 10 Arbeit an einer Punktladung in einem elektrischen Feld: Skalarprodukt.- 11 Durchbiegung eines Balkens bei Belastung durch mehrere Kräfte: Skalarprodukt.- 12 Moment einer Kraft in einem Kugelgelenk: Vektorprodukt, Richtungswinkel.- 13 Umfangsgeschwindigkeit einer rotierenden Zylinderscheibe: Vektorprodukt, Ableitung eines Vektors.- 14 Drehmoment einer stromdurchflossenen Leiterschleife im Magnetfeld: Vektorprodukt.- 15 Kräftefreie Bewegung eines Elektrons in einem elektromagnetischen Feld: Vektorprodukt, Richtungswinkel.- 16 Fachwerk im statischen Gleichgewicht: Vektoraddition, Vektorprodukt, lineares Gleichungssystem.- 17 Komplanare Kraftvektoren: Vektoraddition, Richtungswinkel, Spatprodukt.- 18 Spannungsstoß in einer Leiterschleife durch elektromagnetische Induktion: Vektor- und Spatprodukt.- 19 Bewegung von Ladungsträgern in einem Magnetfeld: Ableitungen eines Vektors, Skalar- und Spatprodukt.- II Funktionen und Kurven.- 1 Reihenschaltung aus n gleichen Spannungsquellen: Diskrete Funktion.- 2 Zeitversetzter freier Fall zweier Kugeln: Lineare Funktion.- 3 Zugspannung in einem rotierenden Stab: Quadratische Funktion.- 4 Sortiervorrichtung: Parameterdarstellung, quadratische Funktion.- 5 Aufeinander abrollende Zahnräder (Epizykloide): Parameterdarstellung einer Kurve.- 6 Fallbeschleunigung in und außerhalb eines Erdkanals: Lineare Funktion, gebrochenrationale Funktion.- 7 Verteilung der Stromdichte in einem stromdurchflossenen Hohlzylinder: Gebrochenrationale Funktion.- 8 Kapazität eines Kondensators mit geschichtetem Dielektrikum: Gebrochenrationale Funktion.- 9 Magnetfeld in der Umgebung einer stromdurchflossenen elektrischen Doppelleitung: Gebrochenrationale Funktion.- 10 Kennlinie einer Glühlampe: Interpolationsformel von Newton, kubische Funktion, Homer-Schema.- 11 Doppelschieber: Parameterdarstellung, Kegelschnittgleichung.- 12 Rollbewegung einer Zylinderwalze längs einer schiefen Ebene: Wurzelfunktion.- 13 Ballistisches Pendel: Zusammengesetzte Funktion.- 14 Sinusförmige Wechselspannung: Allgemeine Sinusfunktion.- 15 Momentane (zeitabhängige) Leistung eines Wechselstroms: Sinus- und Kosinusfunktionen.- 16 Überlagerung gleichfrequenter Schwingungen gleicher Raumrichtung: Sinus- und Kosinusfunktionen.- 17 Lissajous-Figuren: Parameterdarstellung, Sinus- und Kosinusfunktionen, Wurzelfunktionen.- 18 Schwebungen: Trigonometrische Funktionen.- 19 Fliehkraft- oder Zentrifugalkraftregler: Trigonometrische Funktionen, Arkuskosinusfunktion.- 20 Ladestrom in einer RC-Parallelschaltung: Exponentialfunktion (Abklingfunktion).- 21 RC-Glied mit Rampenspannung: Exponentialfunktion (Sättigungsfunktion).- 22 Aperiodischer Grenzfall einer Schwingung: Kriechfunktion (Exponentialfunktion).- 23 Barometrische Höhenformel: Logarithmusfunktion.- 24 Zusammenhang zwischen Fallgeschwindigkeit und Fallweg: Hyperbelfunktionen.- III Differentialrechnung.- 1 Induktionsspannung in einer Leiterschleife: Elementare Differentiation.- 2 Elektronenstrahl-Oszilloskop: Elementare Differentiation, Tangentengleichung.- 3 Querkraft- und Momentenverlauf längs eines belasteten Trägers: Elementare Differentiation.- 4 Rotierende Zylinderscheibe in einer zähen Flüssigkeit: Differentiation (Kettenregel).- 5 Kurbeltrieb: Differentiation (Kettenregel).- 6 Zusammenhang zwischen Fallbeschleunigung und Fallweg: Differentiation (Kettenregel).- 7 Periodische Bewegung eines Massenpunktes: Differentiation eines zeitabhängigen Ortsvektors.- 8 Rollkurve oder gewöhnliche Zykloide: Differentiation eines zeitabhängigen Ortsvektors.- 9 Linearisierung einer Halbleiter-Kennlinie: Linearisierung einer Funktion.- 10 Linearisierung der Widerstandskennlinie eines Thermistors (Heißleiters): Linearisierung einer Funktion.- 11 Gruppenschaltung von Batterien: Extremwertaufgabe.- 12 Wurfparabel eines Wasserstrahls: Extremwertaufgabe.- 13 Scheibenpendel mit minimaler Schwingungsdauer: Extremwertaufgabe.- 14 Leistungsanpassung eines Verbraucherwiderstandes: Extremwertaufgabe.- 15 Resonanzfall bei einer erzwungenen Schwingung: Extremwe rtberechnung.- 16 Optimale Beleuchtung eines Punktes durch eine Lichtquelle: Extremwertaufgabe.- 17 Gaußsche Normalverteilung: Extremwerte, Wendepunkte.- 18 Elektrische Feldstärke in der Umgebung einer elektrischen Doppelleitung: Kurvendiskussion.- 19 Ungestörte Überlagerung zeitabhängiger Impulse: Kurvendiskussion.- 20 Überlagerung von Sinusschwingungen gleicher Raumrichtung, aber unterschiedlicher Frequenz: Kurvendiskussion.- 21 Fallgeschwindigkeit mit und ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes: Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital.- 22 Erzwungene Schwingung im Resonanzfall: Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital.- 23 Eintauchtiefe einer Boje in Salzwasser: Tangentenverfahren von Newton.- 24 Freihängendes Seil (Seilkurve, Kettenlinie): Tangentenverfahren von Newton.- IV Integralrechnung.- 1 Seiltrommel mit Lasten: Elementare Integration (Grundintegral).- 2 Induktionsspannung in einer im Magnetfeld rotierenden Metallscheibe: Elementare Integration (Grundintegral).- 3 Rollbewegung einer Kugel längs einer schiefen Ebene: Elementare Integrationen (Grundintegrale).- 4 Oberflächenprofil einer rotierenden Flüssigkeit: Elementare Integration (Grundintegral).- 5 Resultierende eines ebenen parallelen Kräftesystems: Elementare Integrationen (Grundintegrale).- 6 Querkraft und Biegemoment längs eines Balkens mit linear ansteigender Last (Dreieckslast): Elementare Integrationen (Grundintegrale).- 7 Fliehkraft- oder Zentrifugalkraftregler: Elementare Integration (Grundintegral).- 8 Massenträgheitsmoment eines Rotationskörpers (elliptischer Querschnitt): Elementare Integration (Grundintegral).- 9 Zugstab mit konstanter Zugspannung: Elementare Integrationen (Grundintegrale).- 10 Magnetischer Fluß durch eine Leiterschleife: Elementare Integrationen (Grundintegrale).- 11 Kapazität eines Koaxialkabels: Elementare Integration (Grundintegral).- 12 Übergangswiderstand einer Kugel: Elementare Integration (Grundintegral).- 13 Arbeit im Gravitationsfeld der Erde: Elementare Integration (Grundintegral).- 14 Elektrischer Widerstand eines kegelstumpfförmigen Kontaktes: Integration mittels Substitution.- 15 Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes: Integration mittels Substitution.- 16 Aufladung eines Kondensators: Integration mittels Substitution.- 17 Rotation einer Scheibe in einer Flüssigkeit: Integration mittels Substitution.- 18 Kapazität einer elektrischen Doppelleitung: Integration mittels Substitution.- 19 Effektivwert eines Wechselstroms: Integration mittels Substitution.- 20 Bogenlänge einer Epizykloide: Integration mittels Substitution.- 21 Fallgesetze bei Berücksichtigung des Luftwiderstandes: Integration mittels Substitution.- 22 Mittlere Geschwindigkeit von Gasmolekülen: Partielle Integration.- 23 Durchschnittliche Leistung eines Wechselstroms: Integration mittels Substitution bzw. partieller Integration.- 24 Induktivität einer elektrischen Doppelleitung: Integration durch Partialbruchzerlegung des Integranden, Integration mittels Substitution.- 25 Schwingungsdauer eines Fadenpendels: Numerische Integration nach Simpson.- V Taylor- und Fourier-Reihen.- 1 Fallgeschwindigkeit mit und ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes: Grenzwertbestimmung mittels Reihenentwicklung.- 2 Elektrischer Widerstand zwischen zwei koaxialen Zylinderelektroden: Potenzreihenentwicklung, Näherungspolynome.- 3 Temperaturabhängigkeit der Dichte eines Festkörpers: Potenzreihenentwicklung, lineare Näherungsfunktion.- 4 Magnetische Feldstärke in der Mitte einer stromdurchflossenen Zylinderspule: Potenzreihenentwicklung, Näherungspolynom.- 5 Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft: Potenzreihenentwicklung, lineare Näherungsfunktion.- 6 Spiegelgalvanometer: Potenzreihenentwicklung, lineare Näherungsfunktion.- 7 Kapazität einer elektrischen Doppelleitung: Potenzreihenentwicklung, Näherungsformel.- 8 Relativistische Masse und Energie eines Elektrons: Potenzreihenentwicklung, Näherungspolynom.- 9 RC-Schaltung mit Rampenspannung: Potenzreihenentwicklung, Näherungsfunktionen.- 10 Freihängendes Seil (Seilkurve, Kettenlinie): Lösen einer Gleichung mittels Reihenentwicklung, Näherungsparabel.- 11 Gaußsche Normalverteilung: Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden.- 12 Schwingungsdauer eines Fadenpendels: Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden.- 13 Fourier-Zerlegung einer periodischen Folge rechteckiger Spannungsimpulse: Fourier-Reihe, Amplitudenspektrum.- 14 Fourier-Reihe einer Kippspannung (Sägezahnimpuls): Fourier-Reihe.- 15 Fourier-Zerlegung eines „angeschnittenen“ Wechselstroms: Fourier-Reihe.- VI Lineare Algebra.- 1 Widerstands- und Kettenmatrix eines linearen Vierpols: Orthogonale Matrix.- 2 Vierpolgleichungen für ein symmetrisches T-Glied: Matrizenrechnung, inverse Matrix, orthogonale Matrix.- 3 Symmetrische ?-Schaltung: Multiplikation von Matrizen.- 4 Kettenschaltung von Vierpolen: Multiplikation von Matrizen.- 5 Durchbiegung eines Trägers bei Belastung durch mehrere Kräfte: Multiplikation von Matrizen (Falk-Schema).- 6 Eigenkreisfrequenzen einer Biegeschwingung: Determinantengleichung.- 7 Elektromagnetische Induktion in einem durch ein Magnetfeld bewegten elektrischen Leiter: Dreireihige Determinante.- 8 Kritische Drehzahlen einer zweifach gelagerten Welle: Homogenes lineares Gleichungssystem, Determinantengleichung.- 9 Widerstandsmessung mit der Wheatstoneschen Brücke: Homogenes lineares Gleichungssystem, Determinanten.- 10 Torsionsschwingung einer Welle: Dreireihige Determinante.- 11 Verzweigter Stromkreis: Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Cramersche Regel.- 12 Beschleunigte Massen in einem Rollensystem: Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Cramersche Regel.- 13 Berechnung der Zweigströme in einem elektrischen Netzwerk: Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Cramersche Regel.- 14 Netzwerkanalyse nach dem Maschen-stromverfahren: Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Gaußscher Algorithmus.- 15 Berechnung der Zweigstrome in einem elektrischen Netzwerk: Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Gaußscher Algorithmus (Matrizenform).- 16 Berechnung der Ströme in einer Netzmasche: Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Gaußscher Algorithmus.- 17 Modifizierter Gerber -Träger: Inhomogenes lineares Gleichungssystem, Gaußscher Algorithmus.- VII Komplexe Zahlen und Funktionen.- 1 Resonanz im Parallelschwingkreis: Komplexe Rechnung.- 2 Ohmscher Spannungsteiler: Komplexe Rechnung.- 3 Berechnung des Scheinwiderstandes eines Netzwerkes: Komplexe Rechnung.- 4 Wechselstrommeßbrücke: Komplexe Rechnung.- 5 Wechselstromparadoxon: Komplexe Rechnung.- 6 Komplexer Wechselstromkreis: Komplexe Rechnung.- 7 Überlagerung gleichfrequenter: Komplexe Zeiger.- 8 Leitwertorskurve einer RC-Parallelschaltung: Ortskurve einer parameterabhängigen.- 9 Widerstands- und Leitwertortskurve einer RL-Reihenschaltung: Ortskurven parameterabhängiger komplexer Größen.- VIII Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren Variablen.- 1 Potential und elektrische Feldstärke im elektrostatischen Feld zweier Punktladungen: Partielle Ableitungen 1. Ordnung.- 2 Statisch unbestimmt gelagerter Balken: Partielle Ableitungen.- 3 Kapazität einer Kondensatorschaltung: Totales oder vollständiges Differential.- 4 Schwingungsgleichung der Mechanik: Totales oder vollständiges Differential.- 5 Selbstinduktivität einer elektrischen Doppelleitung: Linearisierung einer Funktion.- 6 Leistungsanpassung beim Wechselstromgenerator: Extremwertaufgabe.- 7 Eine Anwendung des Gaußschen Fehlerintegrals: Extremwertaufgabe.- 8 Flächeninhalt und Flächenschwerpunkt eines Kreisabschnittes (Kreissegmentes): Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten.- 9 Magnetischer Fluß durch eine Leiterschleife: Doppelintegral in Polarkoordinaten.- 10 Stromstärke in einem Leiter bei ortsabhängiger Stromdichte: Doppelintegral in Polarkoordinaten.- 11 Normierung der Gaußschen Normalverteilungsdichte funktion: Doppelintegral in Polarkoordinaten.- 12 Schwerpunkt, Hauptachsen und Hauptflächenmomente 2. Grades (Hauptflächenträgheitsmomente) einer trapezförmigen Fläche: Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten.- 13 Volumen und Schwerpunkt eines Tetraeders: Dreifachintegrale in kartesischen Koordinaten.- 14 Massenträgheitsmoment eines Speichenrades: Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten.- 15 Schwerpunkt eines rotationssymmetrischen Körpers mit elliptischem Querschnitt und zylindrischer Bohrung: Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten.- 16 Massenträgheitsmomente eines homogenen Kegels: Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten.- 17 Magnetische Feldstärke in der Umgebung eines stromdurchflossenen linearen Leiters: Linienintegrale.- 18 Magnetische Feldstärke in der Achse eines stromdurchflossenen kreisförmigen Leiters: Linienintegral.- 19 Elektrisches Feld einer Linienquelle: Partielle Ableitungen, konservatives Vektorfeld, Linienintegral.- IX Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 1 Raketengleichung: Dgl 1. Ordnung vom Typ y? =f (x) (Integration mittels Substitution).- 2 RL-Schaltkreis mit einer Gleichstromquelle: Homogene lineare Dgl 1. Ordnung (Trennung der Variablen).- 3 Seilkräfte und Seilreibung: Homogene lineare Dgl 1. Ordnung (Trennung der Variablen).- 4 Fallbewegung einer Kugel in einer zähen Flüssigkeit: Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Variation der Konstanten).- 5 RC-Schaltkreis mit einer Gleichspannungsquelle: Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Variation der Konstanten).- 6 RC-Wechselstromkreis: Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Aufsuchen einer partikulären Lösung).- 7 Biegelinie eines beidseitig eingespannten Balkens bei konstanter Streckenlast: Dgl 2. Ordnung vom Typ y? = f (x) (direkte Integration).- 8 Knicklast nach Euler: Homogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung).- 9 Radialbewegung einer Masse in einer geraden, rotierenden Führung: Homogene lineare Dgl 2. Ordnung.- 10 Elektromagnetischer Schwingkreis: Homogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung).- 11 Biegeschwingung einer elastischen Blattfeder: Homogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung).- 12 Scheibenpendel (physikalisches Pendel): Homogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung).- 13 Vertikale Schwingungen eines Körpers in einer Flüssigkeit: Homogene lineare Dgl 2. Ordnung (gedämpfte Schwingung).- 14 Schwingung eines rotierenden Federpendels: Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung (Schwingungsgleichung, Aufsuchen einer partikulären Lösung).- 15 Drehspulinstrument: Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung (aperiodische Schwingung, Aufsuchen einer partikulären Lösung).- 16 Erzwungene mechanische Schwingung: Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung (erzwungene Schwingung, Aufsuchen einer partikulären Lösung).- 17 Gleichung einer Seilkurve (Kettenlinie): Nichtlineare Dgl 2. Ordnung (Substitutionsmethode, Trennung der Variablen).- 18 Torsionsschwingungen einer zweifach besetzten elastischen Welle: System linearer Dgln 2. Ordnung.- 19 Elektronenbahn im homogenen Magnetfeld: System linearer Dgln 2. Ordnung.- X Fehler- und Ausgleichsrechnung.- 1 Widerstandsmoment eines kreisringförmigen Rohrquerschnittes gegen Torsion (Verdrehung): Absoluter und prozentualer Maximalfehler.- 2 Kombinierte Parallel-Reihenschaltung elastischer Federn: Absoluter und prozentualer Maximalfehler.- 3 Selbstinduktivität einer elektrischen Doppelleitung: Fehlerfortpflanzung nach Gauß.- 4 Wirkleistung eines Wechselstroms: Absoluter Maximalfehler.- 5 Widerstandsmessung mit der Wheatstoneschen Brücke: Mittelwert und mittlerer Fehler des Mittelwertes, Fehlerfortpflanzung nach Gauß.- 6 Massenträgheitsmoment eines dünnen Stabes: Auswertung von Meßreihen, Fehlerfortpflanzung nach Gauß.- 7 Widerstandskennlinie eines Thermistor (Heißleiters)s: Ausgleichskurve (Exponentialfunktion).- 8 Kennlinie eines nichtlinearen Widerstandes (Glühlampe): Ausgleichskurve (kubische Funktion).- XI Laplace Transformation.- 1 Ausschaltvorgang in einem RL-Schaltkreis: Homogene lineare Dgl 1. Ordnung.- 2 RC-Wechselstromkreis: Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (Faltungssatz).- 3 RL-Schaltkreis mit Rampenspannung: Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung.- 4 RC-Schaltkreis mit einem rechteckigen Spannungsimpuls: Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung (1. Verschiebungssatz).- 5 Erzwungene mechanische Schwingung im Resonanzfall: Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung.- 6 Erzwungene Schwingung eines mechanischen Systems: Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung.- 7 Elektromagnetischer Reihenschwingkreis: Integro-Differentialgleichung (Ableitungs- und Integralsatz für Originalfunktionen).- 8 Spannungsübertragung bei einem Vierpol: System von linearen Dgln 1. Ordnung (Partialbruchzerlegung der Bildfunktion).- Anhang: Physikalische Grundlagen.

O autorze

Dr. Lothar Papula, früher Dozent an der Universität Frankfurt/M., ist heute Professor für Mathematik an der Fachhochschule Wiesbaden. Er erhielt 2004 den Mathematikum-Preis.