Zahlentheorie

ISBN-13: 9783642368356 / Angielski / Miękka / 2013 / 509 str.

Opis

(Autor) Harald Scheid / Andreas Frommer (Titel) Zahlentheorie (copy) Die "Konigin der Mathematik," wie Gau die Zahlentheorie nannte, sah man lange als zwar schonstes, aber auch nutzlosestes Gebiet der Mathematik an. In jungster Zeit hat sich diese Einschatzung, bedingt durch die Verfugbarkeit schneller Computer stark geandert. Insbesondere benotigt man heute zahlentheoretische Methoden in der Kodierungstheorie und in der Kryptographie. Das Buch setzte einige Kenntnisse aus einem Grundstudium der Mathematik voraus. Es bietet zahlreiche Anwendungsbeispiele sowie eine umfangreiche Sammlung von Aufgaben mit Losungshinweisen. (Biblio)

Recenzje

(...) das Buch [darf] wärmstens allen Studierenden empfohlen werden, die es als Begleitung einer Einführung in die Zahlentheorie lesen wollen oder sich selbstständig in eines der behandelten Themen einarbeiten wollen.

Zentralblatt MATH, 2009

Spis treści

1 Teilbarkeit ganzer Zahlen 1.1 Die Teiler einer ganzen Zahl 1.2 Primzahlen 1.3 Primfaktorzerlegung 1.4 Eine Formel von Legendre und die Sätze von Tschebyscheff 1.5 Irrationalitätsbeweise 1.6 Der größte gemeinsame Teiler 1.7 Das kleinste gemeinsame Vielfache 1.8 Kettenbrüche 1.9 Periodische Kettenbrüche 1.10 Farey-Folgen 1.11 Die Folge der Fibonacci-Zahlen 1.12 Aufgaben 1.13 Lösungen der Aufgaben 2 Integritätsbereiche 2.1 Teilbarkeit in Integritätsbereichen 2.2 Euklidische Ringe 2.3 Die ganzen gaußschen Zahlen 2.4 Ganzalgebraische Zahlen zweiten Grades 2.5 Die pellsche Gleichung 2.6 Aufgaben 2.7 Lösungen der Aufgaben 3 Restklassen 3.1 Kongruenzen und Restklassen 3.2 Teilbarkeitskriterien 3.3 Der Satz von Fermat 3.4 Primitive Restklassen 3.5 Dezimalbrüche 3.6 Ewiger Kalender 3.7 Magische Quadrate 3.8 Primzahlkriterien und Pseudoprimzahlen 3.9 Mersennesche und fermatsche Primzahlen 3.10 Aufgaben 3.11 Lösungen der Aufgaben 4 Zahlentheoretische Algorithmen 4.1 Codierung 4.2 Prüfzeichen 4.3 Krypthograhie 4.4 Öffentliche Chiffriersysteme 5 Kongruenzen und diophantische Gleichungen 5.1 Lineare und diophantische Gleichungen und Kongruenzen 5.2 Quadratische diophantische Gleichungen und Kongruenzen 5.3 Quadratische Reste 5.4 Mersennesche und fermatsche Primzahlen 5.5 Darstellung von Zahlen als Quadratsummen 5.6 Pythagoreische Zahlentripel; die Fermatsche Vermutung 5.7 Rationale Punkte auf algebraische Kurven 5.8 Binäre quadratische Formen 5.9 Ternäre quadratische Formen; der Drei-Quadrate-Satz 5.10 Figurierte Zahlen 5.11 Der Gitterpunktsatz von Minkowski 5.12 Aufgaben 5.13 Lösungen der Aufgaben 6 Zahlentheoretische Funktionen 6.1 Das Dirichlet-Produkt 6.2 Multiplikative Funktionen 6.3 Dirichlet-Reihen 6.4 Mittelwerte zahlentheoretischer Funktionen 6.5 Weitere Produkte zahlentheoretischer Funktionen 6.6 Die Teilersummenfunktion 6.7 Aufgaben 6.8 Lösungen der Aufgaben 7 Der Primzahlsatz 7.1 Der Primzahlsatz und der direchletsche Primzahlsatz 7.2 Die selbergsche Formel 7.3 Beweis des Primzahlsatzes 7.4 Anmerkungen, Folgerungen 7.5 Primzahlen in arithmetischen Progressionen 7.6 Zufallsprimzahlen und stochastische Argumentationen 7.7 Aufgaben 7.8 Lösungen der Aufgaben 8 Elemente der Additiven Zahlentheorie 8.1 Problemstellungen der Additiven Zahlentheorie 8.2 Partitionen 8.3 Ein spezielles Partitionsproblem 8.4 Anzahl der Darstellungen als Quadratsummen 8.5 Die Dichte einer Menge natürlicher Zahlen 8.6 Der Satz von Goldbach-Schnirelmann 8.7 Der Satz von Waring-Hilbert 8.8 Wesentliche Komponenten 8.9 Das Münzenproblem und das Briefmarkenproblem 8.10 Aufgaben 8.11 Lösungen der Aufgaben 9 Siebmethoden 9.1 Allgemeine Bemerkungen über Siebverfahrne 9.2 Die Siebmethode von Selberg 9.3 Primzahlen in arithmetischen Progressionen 9.4 Primzahlzwillinge 9.5 Zur goldbachschen Vermutung 9.6 Quadratsummen und Stammbruchsummen 9.7 Aufgaben 9.8 Lösungen der Aufgaben Literatur Symbolverzeichnis Namensverzeichnis Sachverzeichnis

O autorze

Prof. Dr. Harald Scheid und Prof. Dr. Andreas Frommer lehren an der Bergischen Universität Wuppertal.

Von Prof. Dr. Harald Scheid sind bei Springer Spektrum außerdem erschienen:

- H. Scheid und W. Schwarz, Elemente der Arithmetik und Algebra, 5. Auflage

- H. Scheid und W. Schwarz, Elemente der Geometrie, 4. Auflage

- H. Scheid und W. Schwarz, Elemente der Linearen Algebra und der Analysis, 1. Auflage

Blurb

Die Zahlentheorie beschäftigt sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... Viele ihrer Problemstellungen, wie z. B. das Primzahlzwillingsproblem oder die berühmte Fermat'sche Vermutung, lassen sich in allgemeinverständlicher Form angeben, zu ihrer Behandlung benötigt man aber meistens anspruchsvolle Methoden der Algebra und der Analysis. Diese Zweige der Mathematik verdanken ihre Entwicklung nicht zuletzt der Faszination, welche die Zahlentheorie zu allen Zeiten ausgeübt hat. Die "Königin der Mathematik", wie Gauß die Zahlentheorie genannt hat, sah man lange als zwar schönstes, aber auch nutzlosestes Gebiet der Mathematik an. In jüngster Zeit hat sich diese Einschätzung, bedingt durch die Verfügbarkeit schneller Computer, stark geändert. Insbesondere benötigt man heute zahlentheoretische Methoden in der Kodierungstheorie und in der Kryptographie. Das Buch setzt einige Kenntnisse aus einem Grundstudium der Mathematik voraus. Es bietet zahlreiche Anwendungsbeispiele sowie eine umfangreiche Sammlung von Aufgaben mit Lösungshinweisen. Die vorliegende stark überarbeitete und erweiterte 4. Auflage enthält ein zusätzliches Kapitel über zahlentheoretische Algorithmen.