Zahlen

ISBN-13: 9783540126669 / Niemiecki / Miękka / 1983 / 294 str.

H. -D Ebbinghaus; H. Hermes; F. Hirzebruch

Opis

Das Grundwissen Mathematik, welches jeder Mathematiker im Laufe seines Studiums erwirbt, wird erst durch die Vielfalt von Beztigen zwischen den einzelnen mathematischen Theorien zu einem einheitlichen Ganzen. Querverbindungen zwischen den Einzeldisziplinen lassen sich oft durch die historische Entwicklung aufzeigen. Es ist ein Leitgedanke dieser Reihe, dem Leser deutlich zu machen, daB Mathematik nicht aus isolierten Theorien besteht, die nebeneinander entwickelt werden, sondern daB vielmehr Mathematik als Ganzes angesehen werden muB. Das vorliegende Buch tiber Zahlen weicht von den weiteren minden dieser Reihe dadurch ab, daB hier sieben Autoren und ein Redakteur dreizehn Kapitel zusammentrugen. In Gesprachen miteinander stimmten die Verfasser ihre Beitra ge aufeinander ab, und der Redakteur bemtihte sich, diese Harmonisierung durch kritische Lektlire und Rticksprache mit den Autoren zu fordern. Die anderen Bande dieser Reihe konnen unabhangig yom vorliegenden Band studiert werden. Es ist nicht moglich, an dieser Stelle alle Kollegen zu nennen, die uns durch Hinweise unterstlitzten. Hervorheben mochten wir jedoch Herrn Gericke (Frei burg), der vielfach half, die historische Entwicklung richtig darzustellen. K. Peters (damals Springer-Verlag) hatte erheblichen Anteil daran, daB die ersten Herausgeber- und Autorentreffen zustande kamen. Diese Zusammenktinfte wurden durch die finanzielle Untersttitzung der Stiftung Volkswagenwerk und des Springer-Verlages sowie durch die Gastfreundschaft des Mathematischen For schungsinstitutes in Oberwolfach ermoglicht. Ihnen allen gilt unser Dank."

Spis treści

A. Von den natürlichen zu den komplexen Zahlen.- 1. Natürliche, ganze und rationale Zahlen.- § 1. Historisches.- 1. Ägypten und Babylonien.- 2. Griechenland.- 3. Indisch-arabische Rechenpraxis.- 4. Neuzeit.- § 2. Natürliche Zahlen.- 1. Definition der natürlichen Zahlen.- 2. Rekursionssatz und Einzigkeit von ?.- 3. Addition, Multiplikation und Anordnung der natürlichen Zahlen.- 4. Peanos Axiome.- § 3. Ganze Zahlen.- 1. Die additive Gruppe ?.- 2. Der Integritätsring ?.- 3. Die Anordnung in ?.- § 4. Rationale Zahlen.- 1. Historisches.- 2. Der Körper ?.- 3. Die Anordnung in ?.- Literatur.- 2. Reelle Zahlen.- § 1. Historisches.- 1. Hippasus und das Pentagon.- 2. Eudoxos und die Proportionenlehre.- 3. Irrationalzahlen in der neuzeitlichen Mathematik.- 4. Präzisierungen des 19. Jahrhunderts.- § 2. Dedekindsche Schnitte.- 1. Die Menge ? der Schnitte.- 2. Die Anordnung in ?.- 3. Die Addition in ?.- 4. Die Multiplikation in ?.- § 3. Fundamentalfolgen.- 1. Historisches.- 2. Das Cauchysche Konvergenzkriterium.- 3. Der Ring der Fundamentalfolgen.- 4. Der Restklassenkörper F/N der Fundamentalfolgen modulo den Nullfolgen.- 5. Der vollständig geordnete Restklassenkörper F/N.- § 4. Intervallschachtelungen.- 1. Historisches.- 2. Intervallschachtelungen und Vollständigkeit.- § 5. Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen.- 1. Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen im reellen Zahlkörper.- 2. Vollständigkeitssätze.- 3. Einzigkeit und Existenz der reellen Zahlen.- Literatur.- 3. Komplexe Zahlen.- § 1. Genesis der komplexen Zahlen.- 1. Cardano (1501–1576).- 2. Bombelli (1526–1572).- 3. Descartes (1596–1650), Newton (1643–1727) und Leibniz (1646–1716).- 4. Euler (1707–1783).- 5. Wessel (1745–1818) und Argand (1768–1822).- 6. Gauss (1777–1855).- 7. Cauchy (1789–1857).- 8. Hamilton (1805–1865).- 9. Ausblick.- § 2. Der Körper ?.- 1. Definition durch reelle Zahlenpaare.- 2. Die imaginäre Einheiti.- 3. Geometrische Darstellung.- 4. Nichtanordbarkeit des Körpers ?.- 5. Darstellung durch reelle 2×2 Matrizen.- § 3. Algebraische Eigenschaften des Körpers ?.- 1. Die Konjugierung ? ? ?, z ? z?.- 2. Körperautomorphismen von ?.- 3. Das natürliche Skalarprodukt Re(wz?) und die euklidische Länge |z|.- 4. Produktregel und „Zwei-Quadrate-Satz“.- 5. Quadratische Gleichungen.- § 4. Geometrische Eigenschaften des Körpers ?.- 1. Die Identität 2 + 2 = |w|2|z|2.- 2. Cosinussatz und Dreiecksungleichung.- 3. Zahlen auf Geraden und Kreisen. Doppelverhältnis.- 4. Sehnenvierecke und Doppelverhältnis.- 5. Satz von Ptolemäus.- 6. Simsonsche Gerade.- § 5. Die Gruppen O(?) und SO(2).- 1. Abstandstreue Abbildungen von ?.- 2. Die Gruppe O(?).- 3. Die Gruppe SO(2) und der Isomorphismus S1?SO(2).- 4. Rationale Parametrisierung eigentlich orthogonaler 2×2 Matrizen.- § 6. Polarkoordinaten und n-te Wurzeln.- 1. Polarkoordinaten.- 2. Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten.- 3. Moivresche Formel.- 4. Einheitswurzeln.- 4. Fundamentalsatz der Algebra.- § 1. Zur Geschichte des Fundamentalsatzes.- 1. Girard (1595–1632) und Descartes (1596–1650).- 2. Leibniz (1646–1716).- 3. Euler (1707–1783).- 4. d’Alembert (1717–1783).- 5. Lagrange (1736–1813) und Laplace (1749–1827).- 6. Die Kritik durch Gauss.- 7. Die vier Beweise von Gauss.- 8. Argand (1768–1822) und Cauchy (1789–1857).- 9. Fundamentalsatz der Algebra: einst und jetzt.- 10. Kurzbiographie von Carl Friedrich Gauss.- § 2. Beweis des Fundamentalsatzes nach Argand.- 1. Der Cauchysche 0 für 0 < y < ? und die Gleichung ei?/2 = i.- 6. Der Polarkoordinatenepimorphismus p: ??S1.- 7. Die Zahl ? und Umfang und Inhalt eines Kreises.- § 4. Klassische Formeln für ?.- 1. Die Leibnizsche Reihe für ?.- 2. Das Vietasche Produkt für ?.- 3. Das Eulersche Sinusprodukt und das Wallissche Produkt für ?.- 4. Die Eulerschen Reihen für ?2, ?4.- 5. Die Weierstrasssche Definition von ?.- 6. Irrationalität von ? und Kettenbruchentwicklung.- 7. Transzendenz von ?.- B. Reelle Divisionsalgebren.- Repertorium. Grundbegriffe aus der Theorie der Algebren.- 1. Reelle Algebren.- 2. Beispiele reeller Algebren.- 3. Unteralgebren und Algebra-Homomorphismen.- 4. Bestimmung aller eindimensionalen Algebren.- 5. Divisionsalgebren.- 6. Konstruktion von Algebren mittels Basen.- 6. Hamiltonsche Quaternionen.- § 1. Die Quaternionenalgebra ?.- 1. Die Algebra ? der Quaternionen.- 2. Die Matrixalgebra ? und der Isomorphismus F: ? ? ?.- 3. Der Imaginärraum von ?.- 4. Quaternionenprodukt, Vektorprodukt und Skalarprodukt.- 5. Zur Nichtkommutativität von ?. Zentrum.- 6. Die Endomorphismen des ?-Vektorraumes ?.- 7. Quater-nionenmultiplikation und Vektoranalysis.- § 2. Die Algebra ? als euklidischer Vektorraum.- 1. Konjugierung und Linearform Re.- 2. Eigenschaften des Skalarproduktes.- 3. Der „Vier-Quadrate-Satz“.- 4. Konjugierungs- und Längentreue von Automorphismen.- 5. Die Gruppe S3 der Quaternionen der Länge 1.- 6. Die spezielle unitäre Gruppe SU(2) und der Isomorphismus S3 ? SU(2).- § 3. Die orthogonalen Gruppen O(3), O(4) und Quaternionen.- 1. Orthogonale Gruppen.- 2. Die Gruppe O(?). Satz von Cayley.- 3. Die Gruppe O(Im?). Satz von Hamilton.- 4. Die Epimorphismen S3 ? SO(3) und S3 × S3 ? SO(4).- 5. Drehachse und Drehwinkel.- 6. Eulersche Parameterdarstellung der SO(3).- 7. Isomorphiesätze von Frobenius und Hopf.- § 1. Hamiltonsche Tripel in alternativen Algebren.- 1. Die rein-imaginären Elemente einer Algebra.- 2. Hamiltonsche Tripel.- 3. Existenz Hamiltonscher Tripel in alternativen Algebren.- 4. Alternative Algebren.- § 2. Satz von Frobenius.- 1. Lemma von Frobenius.- 2. Beispiele quadratischer Algebren.- 3. Quaternionen-Lemma.- 4. Satz von Frobenius (1877).- § 3. Satz von Hopf.- 1. Topologische Redeweisen für reelle Algebren.- 2. Die Quadratabbildung A ? A, x ? x2.- 3. Satz von Hopf.- 4. Der ursprüngliche Hopfsche Beweis.- 5. Beschreibung aller 2-dimensionalen Algebren mit Einselement.- 8. Cayley-Zahlen oder alternative Divisionsalgebren.- § 1. Alternative quadratische Algebren.- 1. Die Bilinearform.- 2. Satz über die Bilinearform.- 3. Satz über die Konjugie-rungsabbildung.- 4. Der euklidische Vektorraum 𝒜 und die orthogonale Gruppe O(𝒜).- § 2. Existenz und Eigenschaften der Cayley-Algebra O.- 1. Konstruktion der quadratischen Algebra O der Oktaven.- 2. Imaginärraum, Linearform, Bilinearform und Konjugierung von O.- 3. O als alternative Divisionsalgebra.- 4. „Acht-Quadrate-Satz“.- 5. Die Gleichung O = ? ??p.- 6. Multiplikationstafel für O.- § 3. Einzigkeit der Cayley-Algebra.- 1. Verdopplungssatz.- 2. Anwendung des Verdopplungssatzes.- 3. Einzigkeit der Cayley-Algebra (Zorn 1933).- 4. Beschreibung von O durch Zornsche Vektormatrizen.- 9. Kompositionsalgebren. Satz von Hurwitz.- § 1. Kompositionsalgebren.- 1. Historisches zur Kompositionstheorie.- 2. Beispiele.- 3. Kompositionsalgebren mit Einselement.- 4. Struktursatz für endlich-dimensionale Kompositionsalgebren mit Einselement.- § 2. Mutation von Kompositionsalgebren.- 1. Mutationen von Algebren.- 2. Mutationssatz für endlich-dimensionale Kompositionsalgebren.- 3. Satz von Hurwitz (1898).- 10. Divisionsalgebren und Topologie.- § 1. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist eine Potenz von 2 190.- 1. Ungerade Abbildungen und der Satz von Hopf.- 2. Homologie und Kohomo-logie mit Koeffizienten in F2.- 3. Beweis des Satzes von Hopf.- 4. Historische Bemerkungen zur Homologie- und Kohomologietheorie.- 5. Charakteristische Homologieklassen nach Stiefel.- § 2. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist gleich 1, 2, 4 oder 8.- 1. Die mod 2-Invariante ?(f).- 2. Parallelisierbarkeit der Sphären und Divisionsalgebren.- 3. Vektorraumbündel.- 4. Charakteristische Kohomologieklassen nach Whitney.- 5. Der Ring der Vektorraumbündel.- 6. Die Bottsche Periodizität.- 7. Charakteristische Klassen von direkten Summen und Tensorprodukten.- 8. Schluß des Beweises.- 9. Historische Anmerkungen.- § 3. Ergänzungen.- 1. Definition der Hopfschen Invarianten.- 2. Die Hopfsche Konstruktion.- 3. Der Satz von Adams über die Hopfsche Invariante.- 4. Zusammenfassung.- 5. Der Satz von Adams über Vektorfelder auf Sphären.- Literatur.- C. Ausblicke.- 11 Non-Standard Analysis.- § 1. Einführung.- § 2. Der Non-Standard Zahlbereich *?.- 1. Konstruktion von *?.- 2. Eigenschaften von *?.- § 3. Gemeinsamkeiten von ? und *?.- § 4. Differential- und Integralrechnung.- 1. Differentiation.- 2. Integration.- Epilog.- Literatur.- 12. Zahlen und Spiele.- § 1. Einleitung.- 1. Der traditionelle Aufbau der reellen Zahlen.- 2. Die Conwaysche Methode,.- 3. Übersicht.- § 2. Conwayspiele.- 1. Diskussion der Dedekindschen Postulate.- 2. Conways Modifikation der Dedekindschen Postulate.- 3. Conwayspiele.- § 3. Spiele.- 1. Der Spielbegriff.- 2. Beispiele für Spiele.- 3. Ein Induktionsprinzip für Spiele.- § 4. Zur Theorie der Spiele.- 1. Gewinnstrategien.- 2. Positive und negative Spiele.- 3. Eine Einteilung der Spiele. Gleichwertigkeit von Spielen.- § 5. Eine halbgeordnete Gruppe äquivalenter Spiele.- 1. Das Negative eines Spiels.- 2. Die Summe zweier Spiele.- 3. Isomorphe Spiele.- 4. Eine Halbordnung der Spiele.- 5. Gleichheit von Spielen.- § 6. Spiele und Conwayspiele.- 1. Die grundlegenden Abbildungen.- 2. Übertragung der für Spiele definierten Relationen und Operationen auf Conwayspiele.- 3. Beispiele.- § 7. Conwayzahlen.- 1. Die Conwayschen Postulate (C1) und (C2).- 2. Elementare Eigenschaften der Ordnung.- 3. Beispiele.- § 8. Der Körper der Conwayzahlen.- 1. Die Rechenoperationen für Zahlen.- 2. Beispiele.- 3. Eigenschaften des Körpers der Zahlen.- Literatur.- 13. Mengenlehre und Mathematik.- § 1. Mengen und die Objekte der Mathematik.- 1. Urelemente und höhere Objekte.- 2. Mengentheoretische Definition höherer Objekte.- 3. Urelemente als Mengen.- § 2. Axiomensysteme der Mengenlehre.- 1. Die Russellsche Antinomie.- 2. Zermelosche und Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre.- 3. Einige Folgerungen.- 4. Mengenlehre mit Klassen.- § 3. Einige metamathematische Aspekte.- 1. Die von Neumannsche Hierarchie.- 2. Das Auswahlaxiom.- 3. Unabhängigkeitsbeweise.- Epilog.- Literatur.- Namenverzeichnis.- Porträts berühmter Mathematiker.