Wavelets: Theorie Und Anwendungen

ISBN-13: 9783519020943 / Niemiecki / Miękka / 1994 / 318 str.

Prof Dr Rer Nat Alfred Karl Louis; Prof Dr Rer Nat Peter Maass; Dr Rer Nat Andreas Rieder

Opis

Wavelets haben in den letzten zwolf Jahren eine sturmische Entwicklung in Forschung und Anwendungen genommen. Wie so oft war der Anfang ein ingenieursmassiger Zu gang zu einem Anwendungsproblem, das mit den vorhandenen Mitteln nicht zufrie denstellend losbar war. Im Falle der Wavelets war das Versagen klassischer Methoden zur Analyse geophysikalischer Daten Anlass, "neue" Analyseverfahren zu entwickeln. Auch hier ist dann mit der Zeit deutlich geworden, dass die Wurzeln der Methode in mathematische Arbeiten hineinreichen. Dieses Zusammenspiel von Anwendungen und mathematischer Theorie hat erst den Erfolg gebracht. Ein Nachteil der Fourier-Transformation ist das Fehlen einer Lokalisierungseigenschaft: andert sich ein Signal an einer Stelle, so andert sich die Transformierte uberall, ohne dass durch blosses Hinschauen die Stelle der Anderung gefunden werden kann. Der Grund ist naturlich die Verwendung der immer periodisch schwingenden trigonome trischen Funktionen. Verwendet man dagegen raumlich begrenzte Wavelets, "kleine Wellen" oder "Wellchen" sind Versuche einer Ubersetzung ins Deutsche, so kann durch das Verschieben eine Lokalisierung und durch Stauchen eine Frequenzauflosung an der entsprechenden Stelle erreicht werden. Schon fruh bei der Entwicklung der Ondelettes, wie die Wavelets in ihrem Ursprungs land Frankreich genannt werden, sind sowohl die kontinuierliche als auch die diskrete Transformation untersucht worden. Die kontinuierliche Wavelet-Transformation kann als eine Phasenraumdarstellung in terpretiert werden. Ihre Filter- und Approximationseigenschaften werden unters

Spis treści

Notationen.- Einführung.- 1 Die kontinuierliche Wavelet-Transformation.- 1.1 Definition und elementare Eigenschaften.- 1.2 Affine Operatoren.- 1.3 Filtereigenschaften.- 1.3.1 Phasenraumdarstellung.- 1.4 Approximationseigenschaften.- 1.4.1 Asymptotisches Verhalten im Frequenzparameter.- 1.4.2 Bemerkungen zur Ordnung von Wavelets.- 1.5 Abklingverhalten.- 1.6 Gruppentheoretische Grundlagen.- 1.6.1 Die Orthogonalitätsrelation für lokalkompakte Gruppen.- 1.6.2 Die Links-Transformationen.- 1.6.2.1 Die Wavelet-Transformation auf L2(?).- 1.6.2.2 Die gefensterte Fourier-Transformation.- 1.6.2.3 Die Wavelet-Transformation auf L2(?)2.- 1.7 Die Wavelet-Transformation auf Sobolev-Räumen.- 2 Die diskrete Wavelet-Transformation.- 2.1 Wavelet-Frames.- 2.1.1 Einführung und Definition.- 2.1.2 Der Frame-Operator.- 2.2 Multi-Skalen-Analyse.- 2.2.1 Eindimensionale Multi-Skalen-Analyse.- 2.2.2 Mehrdimensionale Multi-Skalen-Analyse.- 2.3 Schnelle Wavelet-Transformation.- 2.4 Orthogonale eindimensionale Wavelets.- 2.4.1 Spline-Wavelets.- 2.4.2 Lösung von Skalierungsgleichungen.- 2.4.3 Orthogonale Wavelets mit kompaktem Träger.- 2.4.4 Eigenschaften der Daubechies-Wavelets.- 2.4.5 Biorthogonale Wavelets.- 2.4.6 Operatorangepaßte Wavelets.- 2.4.6.1 Wavelet-Vaguelette-Zerlegungen.- 2.4.6.2 Wavelet-Wavelet-Zerlegungen.- 2.4.7 Anmerkungen.- 2.4.7.1 Wavelets und Ableitungen.- 2.4.7.2 Wavelets auf dem Intervall.- 2.4.7.3 Coiflets.- 2.5 Orthogonale zweidimensionale Wavelets.- 2.5.1 Tensor-Wavelets.- 2.5.2 Induzierte Wavelets.- 2.5.3 Nicht-separable Wavelets für das Quincunx-Gitter.- 3 Anwendungen der Wavelet-Transformation.- 3.1 Wavelet-Analyse eindimensionaler Signale.- 3.1.1 Vorbereitungen.- 3.1.2 EKG-Analyse.- 3.2 Qualitätsbeurteilung von Gewebe.- 3.2.1 Einführung.- 3.2.2Qualitätsmaße, Anisotropie und Beispiele.- 3.3 Datenkompression in der digitalen Bildverarbeitung.- 3.4 Regularisierung Inverser Probleme.- 3.4.1 Schlecht gestellte Probleme.- 3.4.2. Wavelet-Galerkin-Verfahren.- 3.4.2.1 Approximation in Sobolev-Räumen.- 3.4.2.2 Ein numerisches Beispiel.- 3.4.3 Mollifier-Methoden.- 3.5 Wavelet-Galerkin-Methoden für Randwertprobleme.- 3.5.1 Zwei-Punkt-Randwertprobleme und ihre Diskretisierung durch Galerkin-Methoden.- 3.5.2 Wavelet-Galerkin-Methoden für Randwertprobleme.- 3.5.2.1 Die Wavelet-Ansatzräume.- 3.5.2.2 Das lineare Gleichungssystem.- 3.6 Schwarz-Iterationen.- 3.6.1 Wavelet-Galerkin-Diskretisierung des Modellproblems.- 3.6.2 Eine additive Schwarz-Iteration.- 3.6.3 Eine Abschätzung.- 3.6.4 Verallgemeinerung der Schwarz-Iteration auf Wavelet-Pakete- Räume.- 3.7 Ausblick auf zweidimensionale Randwertprobleme.- 3.7.1 Ein Penalisierungs- und Einbettungsverfahren.- 3.7.2 Numerische Aspekte und Experimente.- Anhang: Fourier-Transformation.