Wahrscheinlichkeitstheorie

ISBN-13: 9783662008461 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 462 str.

Hans Richter

Spis treści

I Maßtheoretische Grundlagen.- § 1 Die Mengenalgebra.- § 2 Mengenkörper.- a) Allgemeine Definitionen.- b) Ein Beispiel im Rn.- c) Das direkte Produkt von Mengenkörpern.- § 3 Punkt- und Mengenfunktionen.- a) Der allgemeine Fall.- b) Der Spezialfall des geometrischen Inhalts.- § 4 Konstruktion eines Maßes aus einem Inhalt.- § 5 Intervallmaße im Rn.- a) Verteilungsfunktionen.- b) Maßdefinierende Funktionen.- II Der Wahrscheinlichkeitsbegriff.- § 1 Die intuitive Wahrscheinlichkeit.- § 2 Die naturwissenschaftliche Wahrscheinlichkeit.- § 3 Die Häufigkeitsinterpretation und die Normierungsforderung.- § 4 Der mathematische Wahrscheinlichkeitsbegriff.- III Die Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie.- § I Die Grundbegriffe.- a) Die Axiome des naturwissenschaftlichen Wahrscheinlichkeitsbegriffs.- b) Verallgemeinerung des Begriffs der bedingten Wahrscheinlichkeit.- § 2 Die Grundtheoreme im Fall der Laplace-Experimente.- § 3 Die allgemeine Gültigkeit der Grundtheoreme.- § 4 Einige einfache Folgerungen aus den beiden Grundtheoremen.- a) Folgerungen aus dem Additionssatz.- b) Folgerungen aus dem Multiplikationssatz.- § 5 Behandlung einiger Aufgaben.- § 6 Relaisexperimente und Bavessches Theorem.- a) Das Relaisexperiment.- b) Das Umkehrproblem.- § 7 Zufällige Größen.- a) Die zufällige Größe und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung.- b) Der Erwartungswert und die erzeugende Funktion.- § 8 Der Übergang zur abstrakten Wahrscheinlichkeitstheorie.- IV Elemente der Integrationstheorie.- § 1 µ-meßbare Funktionen.- a) Definition.- b) Überpflanzung auf andere Mengen.- c) Konvergenzbegriffe.- § 2 µ-integrable Funktionen.- a) Die allgemeine Theorie.- b) Lebesgue-Stieltjes-Integrale.- § 3 Quadratintegrierbarkeit.- § 4 Maßprodukte.- a) Das Produktmaß auf endlichen Mengenprodukten.- b) Das Produktmaß auf unendlichen Mengenprodukten.- c) Der Satz von Kolmogoroff.- V Zufällige Größen auf allgemeinen Wahrscheinlichkeitsfeldern.- § 1 Idealisierte Experimente und Vergröberungen.- § 2 Wahrscheinlichkeitsdichten.- a) Allgemeines.- b) Transformation von Wahrscheinlichkeitsdichten.- § 3 Unabhängige zufällige Größen.- a) Der abstrakte Unabhängigkeitsbegriff.- b) Die Faltung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.- § 4 Erwartungswerte, Momente, Varianten.- a) Der Erwartungswert.- b) Die Momente einer zufälligen Größe.- c) Die Momente bei mehreren zufälligen Größen.- § 5 Bedingte Erwartungswerte und Verteilungen.- a) Bedingte Erwartungswerte.- b) Bedingte Verteilungsfunktionen.- c) Iterierte Erwartungswerte.- d) Allgemeine Faltungsformel und Bayessches Theorem für Dichten.- § 6 Charakteristische Funktionen zufälliger Größen.- a) Definition und einfache Eigenschaften.- b) Einige Beispiele.- c) Weitere Eigenschaften.- d) Umkehrformeln.- § 7 Die Konvergenz von Verteilungsfunktionen.- a) Die v.-Konvergenz.- b) Beschreibung der charakteristischen Funktionen durch ihre funktionellen Eigenschaften.- VI Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen.- § 1 Die ?-Funktion und die ?-Verteilungen.- § 2 Die Multinomialverteilungen.- a) Die Binomialverteilung und die Polsson-Verteilung.- b) Die Polynomialverteilung.- § 3 Die Gauss-Verteilung.- a) Der eindimensionale Fall.- b) Der n-dimensionale Fall.- c) Charakterisierung der Normalverteilung durch innere Eigenschaften.- § 4 Einige mit der Normalverteilung zusammenhängende Verteilungen.- a) Die X2-Verteilung.- b) Die t-Verteilung.- c) Die F-Verteilung.- d) Die T2-Verteilung.- VII Die Konvergenz zufälliger Größen.- § 1 Definitionen und allgemeine Sätze.- a) Die wahrscheinlichkeitstheoretischen Konvergenzbegriffe.- b) Die Konvergenz des Erwartungswertes.- c) Bairesche Eigenschaften.- d) Null-Eins-Gesetze.- § 2 Grenzwertsätze für Bernoulli-Experimente.- § 3 Allgemeine Konvergenzkriterien.- a) Das Prinzip der äquivalenten Folgen.- b) Kriterien für das schwache Gesetz der großen Zahlen.- c) Kriterien für starke Konvergenz.- § 4 Der zentrale Grenzwertsatz.- Lösungen der Aufgaben.- Namen- und Sachverzeichnis.