Wahrscheinlichkeitsrechnung: Lehrbuch Für Mathematiker Und Physiker AB 4. Semester

ISBN-13: 9783528035471 / Niemiecki / Miękka / 1973 / 177 str.

Bernard Vauquois;Bernard Vauquois

Opis

In diesem Buch wird ein mathematisches Werkzeug dargestellt und es wird gezeigt, wie man dieses auf konkrete Probleme anwendet. Die Theorie der Wahrscheinlichkeiten wurde daher als mathematisches Modell zuflilliger Erscheinungen dargeboten. Wie jedes Modell wird auch dieses ausgehend von gewissen Begriffen (wie "Versuch," "Ereignis," "Wahrscheinlichkeit" usw.) mit Hilfe eines Satzes von Axiomen aufgebaut. Es ist notig zuerst die unentbehrlichen grundlegenden Begriffe aufzuzeigen, deren Eigenschaften zu studieren und hierauf zu verallgemeinern, urn daraus schlieBlich einen axiomatischen Aufbau der Theorie zu finden. Man muB dabei stets Sorge tragen, daB das mathematische Modell dem physikalischen Phanomim, das es dar stellen soU, angepaBt bleibt. Dieses Buch richtet sich vor allem an die Studierenden. Daraus folgt, daB nur solche mathematischen Hilfsmittel zur Entwicklung der Theorie herangezogen werden, die diese Studierenden beherrschen. Insbesondere wurde zur Darstellung einer Wahrscheinlichkeits verteilung auf den Begriff der "charakteristischen Funktion" verzichtet, weil deren sich auf die Fourier-Transformation beziehende Eigenschaften weit tiber die geforderten Kennt nisse hinaus flihren. Diese Einschrankung hinsichtlich der Mittel flihrt manchmal zu schwer flilligen Beweisen fliT gewisse Theoreme (z.B. die Stabilitat der Poisson-Verteilung und der Normalverteilung) und verbietet gewisse Darlegungen (zentraler Grenzwertsatz bei den Konvergenzproblemen). Immerhin zeigen die in diesem Band aufgenommenen Ubungen und Aufgaben, wie man mit Hilfe von relativ elementaren Mitteln auch komplizierte Probleme der Wahrschein lichkeitsrechnung 16sen kann.

Spis treści

1. Der Begriff der Wahrscheinlichkeit. Allgemeine Theoreme.- 1.1. Einleitung.- 1.2. Ereignisse und Versuche.- 1.3. Die Logik der Ereignisse.- 1.3.1. Definition von Operationen auf der Menge der Ereignisse.- 1.3.2. Eigenschaften der Operationen auf der Menge der Ereignisse.- 1.3.3. Ereignisalgebren.- 1.3.4. Das sichere Ereignis — das unmögliche Ereignis.- 1.4. Der Begriff der Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis.- 1.4.1. Das Prinzip der Homogenität und der Symmetrie.- 1.4.2. Das Prinzip der relativen Häufigkeiten.- 1.4.3. Bemerkungen zu den vorangehenden Definitionen.- 1.4.4. Übungen.- 1.4.5. Geometrische Wahrscheinlichkeiten.- 1.4.6. Übungen.- 1.5. Axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie.- 1.5.1. Axiome.- 1.5.2. Folgerungen aus den Axiomen.- 1.5.3. Basis der Wahrscheinlichkeit.- 1.6. Theoreme über totale Wahrscheinlichkeiten.- 1.7. Gebundene Ereignisse — bedingte Wahrscheinlichkeiten.- 1.7.1. Definitionen — Zusammengesetzte Wahrscheinlichkeiten.- 1.7.2. Die Unabhängigkeit von Ereignissen.- 1.8. Übungen.- 1.9. Das Problem der Wahrscheinlichkeit der Ursachen — Das Theorem von Bayes.- 2. Zufallsvariable.- 2.1. Der Begriff der Zufallsvariablen und die Wahrscheinlichkeitsverteilung.- 2.2. Übungen.- 2.3. Eigenschaften der Verteilungsfunktion.- 2.4. Die gleichmäßige Verteilung.- 2.5. Erwartungswert — Mittelwert — Momente.- 2.5.1. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen.- 2.5.2. Der Erwartungswert einer Funktion einer Zufallsvariablen.- 2.5.3. Spezialfälle: Die Momente.- 2.6. Übungen.- 2.7. Die Ungleichung von Bienaymé — Tschebyscheff.- 2.8. Zufallsvariable — Funktion einer Zufallsvariablen.- 2.9. Übungen.- 2.10. Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines mit einer Zufallsvariablen verbundenen Ereignisses.- 3. Paare von Zufallsvariablen.- 3.1. Definition.- 3.2. Diskrete Paare.- 3.3. Allgemeiner Fall.- 3.3.1. Absolut stetige Paare von Zufallsvariablen.- 3.3.2. Bedingte Verteilungsfunktion.- 3.4. Unabhängigkeit von zwei Zufallsvariablen.- 3.5. Zufallsvariable — Funktion von Zufallsvariablen.- 3.6. Übungen.- 3.7. Erwartungswert und Momente.- 3.8. Theoreme über die Mittelwerte.- 3.8.1. Der Erwartungswert einer Summe von Zufallsvariablen.- 3.8.2. Der Erwartungswert eines Produktes von unabhängigen Zufallsvariablen.- 3.8.3. Der Erwartungswert einer Konstanten und des Produkts einer Zufallsvariablen mit einer Konstanten.- 3.8.4. Die Varianz einer Konstanten.- 3.8.5. Die Varianz von c. X, wenn c eine Konstante ist.- 3.8.6. Die Varianz einer Summe von zwei unabhängigen Zufallsvariablen.- 3.9. Der Korrelationskoeffizient.- 3.10. Übungen.- 4. Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen.- 4.1. Die Binomialverteilung.- 4.1.1. Herkunft.- 4.1.2. Darstellung der Binomialverteilung.- 4.1.3. Bernoulli-Variable.- 4.1.4. Momente der Binomialverteilung.- 4.2. Die Pascalsche Verteilung.- 4.2.1. Herkunft.- 4.2.2. Darstellung der Pascalschen Verteilung.- 4.2.3. Momente der Pascalschen Verteilung.- 4.3. Die Poisson-Verteilung.- 4.3.1. Definition.- 4.3.2. Momente der Poisson-Verteilung.- 4.3.3. Die Stabilität der Poisson-Verteilung.- 4.3.4. Der Poisson-Prozeß.- 4.4. Übungen.- 4.5. Die Laplace-Gauß-Verteilung.- 4.5.1. Definition.- 4.5.2. Momente.- 4.5.3. Die Stabilität der Normalverteilung.- 4.6. Übungen.- 4.7. Die Normalverteilung in zwei Dimensionen.- 5. Konvergenzprobleme.- 5.1. Die stochastische Konvergenz und das schwache Gesetz der großen Zahlen.- 5.1.1. Definition.- 5.1.2. Das Theorem von Tschebyscheff.- 5.1.3. Das Theorem von Bernoulli.- 5.2. Konvergenz der Verteilung nach — Grenzverteilungen.- 5.2.1. Definition.- 5.2.2. Das Theorem von Moivre.- 5.2.3. Das Theorem von Poisson.- 5.3. Der Begriff der fast sicheren Konvergenz.- Aufgabe 1.- Aufgabe 2.- Aufgabe 3.- Aufgabe 4.- Aufgabe 5.- Aufgabe 6.- Aufgabe 7.- Aufgabe 8.