Vorlesungen Über Zahlentheorie: Erster Band: Erste Bis Dreiunddreissigste Vorlesung

ISBN-13: 9783642666773 / Niemiecki / Miękka / 2011 / 512 str.

L. Kronecker; K. Hensel

Opis

Die drei Vorlesungen fiber Zahlentheorie, Determinantentheorie und Algebra bildeten den Hauptbestandteil der akademischen Vortrage Leopold Kroneckers an der Berliner Universitat, und ebenso hat sich seine wissenschaftliche Lebensarbeit zum grofsen Theile in diesen drei Gebieten bewegt. Schon in seiner Antrittsrede in der Berliner Akademie der Wissen schaften sprach er aus, wie sehr ihn gerade diejenigen. Probleme resselten, welche der Arithmetik undder Algebra gemeint!am sind, und je weiter er selbst schaffend in seiner Wissenschaft vordrang, desto deutlicher wurde ihm der enge Zusammenhang zwischen diesen beiden grorsen Disziplinen und die Notwendigkeit, sie aus den, gleichen Ge sichtspunkten zu behandeln. So wurde auch bei jeder Wiederholung die Verbindung zwischen jenen drei V orlesungen eine engere, und zu letzt empfand er es als innere Notwendigkeit, sie in einen Cyklus 'zu vereinigen, dem er den zusammenfassenden Namen "Dber allgemeine U Arithmetik gab. In seinen V orlesungen wollteKronecker eine Darstellung jener Disziplinen gaben, welche aUe wesentlichen gesicherten Ergebnisse der Forschung bis zur Gegenwart zu einem einheitlichen organisch geglie derten Ganzen, zusammenfafst. So ergab sich mit N otwendigkeit eine Anordnung des Stoffes, welche in vielen Fallen von der durch die historische Entwickelung bedingten wesentlich verschieden war. Be sonders, mufsten die Prinzipien, welche im neunzehnten Jahrhundert erst spater fur die Wissenscha. ft bestimmend hinzutraten, schon im An fange entwickelt werden, wohin, sie ihrer Natur und Bedeutung nach gehorten, wiihrendsiesonst vielfach erst dann hinzugezogen wurden, wenn die aus' Ihnen abzuleitenden Folgerungen dargesteUt werden sollten."

Spis treści

des ersten Bandes.- Erste Vorlesung.- Alter, Begründung und Abgrenzung der Arithmetik. — Geschichte der Arithmetik. Die orientalischen Völker. Die Arithmetik bei den Griechen. — Euklid. Die Elemente. Vollkommene Zahlen. Anzahl aller Primzahlen. Jede arithmetische Reihe enthält unendlich viele Primzahlen. — Diophant. Theon. Hypatia. — Die Araber. Die arabischen Ziffern.- Zweite Vorlesung.- Niedergang der Wissenschaft8n im Mittelalter. — Die Arithmetik im siebzehnten und achtzehnten Jahrhundert. — Fermat und einige von seinen Sätzen. — Beweis des sog. kleinen Fermatschen Satzes. — Die Polygonalzahlen. — Der sog. grofse Fermatsche Satz: Die Gleichung xn+yn = zn ist nur für n = 2 in ganzen Zahlen lösbar. — Euler; sein Leben und einige seiner arithmetischen Arbeiten. — Die vollkommenen und die befreundeten Zahlen. — Diophantische Probleme. — Eulers Lösung des Fermatschen Problemes in den Fällen n = 2 und n = 4. — Die Pellsche Gleichung. — Das Reciprocitätsgesetz. — Legendre und sein Essai sur la théorie des nombres.- Dritte Vorlesung.- Die beiden Hauptrichtungen der Arithmetik im neunzehnten Jahrhundert. — Gauss und der systematische Aufbau der Arithmetik in den disquisitiones arithmeticae. — Inhaltsübersicht. — Das Problem der Kreisteilung. — Dirichlet, Jacobi, Kummer. — Theorie der algebraischen Zahlen; arithmetische Behandlung dieses Problemes. — Dirichlet und die Anwendung der Analysis auf Probleme der Zahlentheorie. — Beispiele: Die Binomiásl- und Polynomialkoefficienten sind ganze Zahlen. — Einige Untersuchungen Eulers aus diesem Gebiete.- Erster Teil. Teilbarkeit und Kongruenz im Gebiete der Zahlen.- Vierte Vorlesung.- Systematische Arithmetik. — Der Zahlbegriff. — Die Ordnungszahlen. — Die Kardinalzahlen. — Der Begriff der Anzahl. — Addition. — Vertauschbarkeit der Summanden. — Die Multiplikation. — Vertauschbarkeit der Faktoren eines Produktes.- Fünfte Vorlesung.- Die Dekomposition der Zahlen. — Bestimmung der Teiler einer Zahl. — Die Anzahl der auszuführenden Operationen ist endlich. — Aufstellung aller Teiler einer Zahl. — Die Primzahlen. — Elementare Eigenschaften der Primzahlen. — Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren. — Beweis der Eindeutigkeit jener Zerlegung.- Sechste Vorlesung.- Darstellung der ganzen Zahlen durch ihre Exponentensysteme. — Die Teilbarkeit einer Zahl durch eine andere. — Die gemeinsamen Teiler zweier Zahlen und ihr gröfster gemeinsamer Teiler. — Teiler-fremde Zahlen. — Die gemeinsamen Multipla zweier Zahlen und ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches. — Ausdehnung auf beliebig viele Zahlen. — Hauptsätze über die Teilbarkeit der ganzen Zahlen. — Die Summe der nten Potenzen aller Divisoren einer Zahl.- Siebente Vorlesung.- Die Kongruenz der Zahlen. — Kongruenz und Äquivalenz. — Die Grundregeln für das Rechnen mit Kongruenzen.. — Kongruenzen für einen Primzahlmodul. — Anwendungen.- Achte Vorlesung.- Die höheren Kongruenzen. — Aufsuchung ihrer Wurzeln. — Hauptsätze über die höheren Kongruenzen. — Anzahl der Wurzeln einer Kongruenz. — Kongruenzen für einen Primzahlmodul. — Anwendungen: Der Wilsonsche und der Fermatscho Satz.- Neunte Vorlesung.- Lineare Kongruenzen. Bedingung für ihre Auflösbarkeit. Anzahl ihrer Wurzeln. — Auflösung der linearen Kongruenzen; erste Me- thode: Reduktion auf lineare Kongruenzen für einen Primzahlmodul. — Die Einheiten modulo p. — Beweis des Wilsonschen Satzes. — Zweite Auflösungsmethode mit Hülfe der Theorie der Kettenbrüche.- Zehnte Vorlesung.- Anwendung der Theorie der linearen Kongruenzen. — Die Einheiten und die Teiler der Null für einen zusammengesetzten Modul m. — Die Anzahl ? (m) der. Einheiten modulo m. — Die Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes. — Bestimmung der Zahl ? (m). — Die Ver. allgemeinerung des Wilsonschen Satzes.- Elfte Vorlesung.- Die Invarianten der Kongruenz. — Arithmetische und analytische Invarianten. — Jede Invariante der Kongruenz ist eine symmetrische Funktion aller kongruenten Zahlen. — Arithmetische Untersuchung der Fundamentalinvariante der Kongruenz..- Zweiter Teil. Die Rationalitätsberelehe und die Theorie der Modulsysteme.- Zwölfte Vorlesung.- Die Kongruenz nach einem. Modulsystem. — Teiler eines Modulsystems. — Äquivalente Modulsysteme. — Reduktion der Modulsysteme. — Theorie der ganzzahligen Formen. — Äquivalente Formen. — Einheitsformen.- Dreizehnte Vorlesung.- Die.Rationalitätsbereiche. — Allgemeine Theorie der Modulsysteme — Allgemeine Theorie der Formen. Der gröfste gemeinsame Teiler zweier Divisorensysteme. — Die Komposition der Modulsysteme. — Anwendungen. — Die Verallgemeinerung des Fermatschen Theoremes.- Vierzehnte Vorlesung.- Der Rationalitätsbereich von einer Veränderlichen. — Das Euklidische Verfahren zur Bestimmung des gröfsten gemeinsamen Teilers für diesen Bereich. — Die Modulsysteme erster und zweiter Stufe. — Beispiele. — Reine und gemischte Modulsysteme zweiter Stufe.- Fünfzehnte Vorlesung.- Die reinen Divisorensysteme erster Stufe oder die ganzen ganzzahligen Funktionen. — Ihre Zerlegung in irreduktible Faktoren. — Beweis der Eindeutigkeit dieser Zerlegung. — Hülfssätze.- Sechzehnte Vorlesung.- Die reinen Divisorensysteme zweiter Stufe. — Ihre charakteristischen Eigenschaften. — Die Anzahl der inkongruenten Gröfsen ist stets endlich. — Die Einheiten. — Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes. — Komplementäre Einheiten.- Siebzehnte Vorlesung.- Die Dekomposition der reinen Modulsysteme zweiter Stufe (m, fi(x)). — Zerlegung derselben in die Systeme (ph, fi(x)). — Reduktion der einfachsten Systeme (p, fi(x)). — Reduktion der Systeme (p2, fi(x)) und (p3, fi(x)). — Die reduzierte Form der Systeme zweiter Stufe.- Achtzehnte Vorlesung.- Erste Reduktion eines beliebigen Modulsystemes (ph, fi, ... fv). — Weitere Reduktion desselben Systemes. — Beweis, daSs das so gefundene System ein reduziertes ist.- Neunzehnte Vorlesung.- Die Teiler modulo p der ganzen Funktionen von x. — Der gröfste gemeinsame Teiler modulo p. — Die Primfunktionen modulo p. — Die Primmodulsysteme (p, P(x)). — Ihre Analogie mit den Primzahlen. — Eindeutigkeit der Zerlegung der ganzen Funktionen in Primfaktoren modulo p. — Zerlegung des Systemes (p, f (x)). — Primmodulsysteme und unzerlegbare Modulsysteme. — Untersuchung des Bereiches [x] für ein Primmodulsystem. — Der Fermatsche Satz und der Wilsonsche Satz für ein Primmodulsystem. — Zerlegung der Funktion $$ {^{{{^}}}} $$ — x modulo p. — Die einfachen Modulsysteme. — Ihre Fundamentaleigenschaften. — Dekomposition eines beliebigen Divisorensystemes in einfache Systeme.- Zwanzigste Vorlesung.- Die Modulsysteme im Bereiche von mehreren Veränderlichen. — Die Zerlegung der ganzen Gröfsen in ihre Primfaktoren. — Die Rationalitätsbereiche (x, y, ... z). — Der Rang oder die Stufe der Divisorensysteme. — Geometrische Anwendungen. — Die unzerlegbaren und die Primmodulsysteme. — Der Bereich {x, y, z} und die zugehörigen Primmodulsysteme. — Modulsysteme und Linearformen.- Dritter Teil. Anwendung der Analysis auf Probleme der Zahlentheorie.- Einundzwanzigste Vorlesung.- Zahlensysteme. — Neue Begründung der Fundamentaleigenschaften der Funktion ?(n). — Beweis einer arithmetischen Identität. — Die Zahlen ?m. — Die summatorischen Funktionen. — Anwendungen: Die Fundamentaleigenschaft der Zahlen ?m. — Berechnung der Potenzsummen aller inkongruenten Einheiten modulo m.- Zweiundzwanzigste Vorlesung.- Analytischer Beweis der eindeutigen Zerlegbarkeit der Zahlen in ihre Primfaktoren. — Die Dirichletschen Reihen. — Ihre Konvergenz. — Eine Funktion kann nur auf eine Art durch eine Dirichletscbe Reihe dargestellt werden. — Anwendungen: Analytische Begründung arithmetischer Sätze. — Bestimmung der Anzahl und der Summe. aller Teiler einer Zahl. — Untersuchung der Funktion ? (n). — Analytischer Beweis des Satzes, dafs die Anzahl aller Primzahlen unendlich grofs ist. — Analytischer Beweis arithmetischer Reprocitätsgleichungen. — Anwendungen.- Dreiundzwanzigste Vorlesung.- Die Kreisteilungsfunktionen xn — 1. — Die primitiven Funktionen Fn(x) und ihre Eigenschaften. — Die Berechnung der primitiven Funktionen. — Die Kreisteilungsgleichungen und die Wurzeln der Einheit. — Die primitiven nten Einheitswurzeln. — Anwendungen: Die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Grenze.- Vierundzwanzigste Vorlesung.- Die arithmetische Funktion Xn (M, N). — Ihre genaue Berechnung — Anwendung: Bestimmung der Anzahl aller Primzahlen unterhalb einer gegebenen Grenze. — Näherungsweise Berechnung der Funktion Xn (M, N). — Die arithmetische Funktion At (A, D). — Ihr ge nauer Wert. — Näherungsweise Berechnung dieser Funktion. — Anwendung: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dafs zwei beliebige Zahlen teilerfremd sind. — Der Mittelwert arithmetischer Funktionen. — Berechnung des Mittelwertes mit Hülfe der Eulerschen Summenformel. — Anwendungen. — Berechnung des Mittelwertes mit Hülfe der Dirichletschen Reihen.- Fünfundzwanzigste Vorlesung.- Die arithmetischen Funktionen von Zahlensystemen und ihre Mittel- werte. — Anwendungen: Die mittleren Werte der Funktionen ?(n) und $$ \frac{{\varphi (n)}}. $$. — Über die arithmetischen Funktionen, welche von den Divisoren einer Zahl abhängen und über die Mittelwerte derselben. — Die gröfseren und kleineren Divisoren einer Zahl.- Sechsundzwanzigste Vorlesung.- Der Mittelwert für die Anzahl der Divisoren. — Folgerungen aus diesem Resultate. — Die Summe der Divisoren. — Die Summe der reziproken Teiler. — Die Summe der Logarithmen aller Teiler. — Der Überschufs der Teiler von der Form 4n + 1 über die von der Form 4n ? 1 und der Mittelwert dieser Anzahl.- Vierter Teil. Allgemeine Theorie der Potenzreste und Beweis des Satzes über die arithmetische Progression.- Siebenundzwanzigste Vorlesung.- Theorie der Potenzreste für einen zusammengesetzten und für einen Primzahlmodul. — Einteilung der Einheiten modulo p nach dem Exponenten, zu welcliem sie gehören. — Die primitiven Wurzeln. — Theorie der Indices für einen Primzahlmodul. — Jacobis „Canon arithmeticus“. — Anwendungen: Die Auflösung linearer Kongruenzen. — Beweis des Wilsonschen Satzes. — Auflösung der. reinen Kongruenzen für einen Primzahlmodul.- Achtundzwanzigste Vorlesung.- Die höheren Kongruenzen für einen Primzahlmodul. — Die Bedingung für die Existenz einer Kongruenzwurzel. — Erste Herleitung der Bedingungen für die Existenz von s inkongruenten Wurzeln einer Kongruenz. — Die Systeme oder Matrizen. — Der Rang der Systeme. — Zweite Herleitung der Bedingungen für die Existenz von s inkongruenten Wurzeln einer Kongruenz. — Die recurrierenden Reihen. — Ihre Ordnung. — Die Ordnung von ganzzahligen recurrierenden Reihen für einen Primzahlmodul. — Der Grad des gröfsten gemeinsamen Teilers zweier ganzzahligen Funktionen für einen Primzahlmodul.- Neunundzwanzigste Vorlesung.- Einteilung der Einheiten für einen zusammengesetzten Modul nach dem Exponenten, zu welchem sie gehören. — Existenzbeweis für die primitiven Wurzeln in Bezug auf eine Primzahlpotenz und das Doppelte einer solchen. — Die Einheiten modulo 2v. — Die Indexsysteme der Einheiten für zusammengesetzte Moduln. — Anwendungen: Die Darstellung aller nicht äquivalenten reduzierten Brüche mit gegebenem Nenner. Die Entwickelung rationaler Brüche nach fallenden Potenzen einer Grundzahl. Die Anzahl der periodischen und nichtperiodischen Glieder dieser Entwickelung. — Anwendung auf die Theorie der Dezimalbrüche.- Dreifsigste Vorlesung.- Es giebt unendlich viele Primzahlen von der Form mh + r, sobald (m, r) = 1 ist. — Beweis dieses Satzes für einige spezielle Fälle. —Schärfere Formulierung der Aufgabe. — Die Charaktere einer Zahl r modulo m. — Grundeigenschaften der Charaktere. — Der Hauptcharakter, die reciproken und die ambigen Charaktere.- Einunddreifsigste Vorlesung.- Beispiel: Der Fall m = 4. Die Anzahl der Primzahlen von der Form 4n + 1 und 4n ? 1 ist unendlich grofs. — Aufstellung der Grundgleichung. — Abschätzung ihrer einzelnen Bestandteile. Spezialisierung der Grundgleichung für die beiden möglichen Fälle und Beweis des Dirichletschen Satzes.- Zweiunddreifsigste Vorlesung.- Der allgemeine Satz über die Primzahlen in einer arithmetischen Reihe. — Vereinfachung der Aufgabe. — Aufstellung der Grundgleichung. — Abschätzung ihrer Glieder. — Spezialisierung der Grundgleichung: Die dem Hauptcharakter entsprechende Gleichung. — Die den übrigen Charakteren entsprechende Gleichung. Beweis des Diricbletschen Satzes. — Folgerung: Die Primzahlen verteilen sich nahezu gleichmäfsig auf die ?(m) Reihen mx + r.- Dreiunddreifsigste Vorlesung.- Beweis, date die (?(m) — 1) Reihen $$ \sum {\frac{{{{\Omega }^{{\left( k \right)}}}\left( n \right)}}} $$ von Null verschieden sind. — Die den ambigen Charakteren entsprechenden Reihen. — Angabe einer unteren Grenze far ihren Zahlwert. — Die den komplexen Charakteren entsprechenden Reihen. — Bestimmung einer unteren Grenze für den absoluten Betrag derselben. — Über die Anwendung der Dirichletschen Methoden auf höhere Probleme der Arithmetik. — Die linearen, die quadratischen und die allgemeinen zerlegbaren Formen. — Die Theorie der Einheiten.- Anmerkungen zum ersten Bande.