Vorlesungen Über Wahrscheinlichkeitstheorie

ISBN-13: 9783519025726 / Niemiecki / Miękka / 1996 / 424 str.

Norbert Schmitz

Opis

Den Titel "Vorlesungen liber Wahrscheinlichkeitstheorie" habe ich sehr bewuBt gewahlt. Einerseits will und soll dieses Buch seine Entstehung aus Kursvorlesungen flir Mathematik-Studenten nicht verleugnen. Der tiefere Grund liegt jedoch in der Zielsetzung und in der daraus re sultierenden Art der Darstellung: Ich machte erreichen, daB der Leser wichtige Intentionen, grundlegende Ideen und interessante Aussagen der Wahrscheinlichkeitstheorie versteht - sei es im Selbststudium oder sei es in Erganzung zu Lehrveranstaltungen. Daraufhin nehmen die Mo tivationen der Begriffsbildungen, die Erlauterungen der Aussagen und die illustrationen durch Beispiele - wie sie ein Dozent liber die reine Stoffprasentation hinaus seinen Harern in VOrlesungen vermittelt - einen erheblich breiteren Raum ein als liblich. Hieraus ergibt sich andererseits, daB es mir nicht urn maglichste Allgemeinheit der Aussagen oder "tech nisch" aufwendige Zusatzliberlegungen geht. Trotz dieser Einschrankun gen hoffe ich aber, daB Studierende hiermit liber eine Basis verfligen, urn sich einerseits anspruchsvollere Lehrblicher und Originalliteratur er arbeiten zu kannen, urn andererseits einen Zugang zu spezielleren Teil gebieten der Wahrscheinlichkeitstheorie (z. B. Zeitreihenanalyse, Geburts und Todesprozesse/Warteschlangentheorie, Erneuerungstheorie, Verzwei gungsprozesse, Zuverlassigkeitstheorie, Markoffsche Entscheidungsprozesse, Informationstheorie) zu finden und urn schlieBlich die Denk- und SchluBweisen der Mathematischen Statistik verstehen zu kannen. Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es, mathematische Modelle flir zufallsabhangige Vorgange zu entwickeln und im Rahmen dieser abstrakten Modelle zu Aussagen zu gelangpn, die bei ihrer Rlicklibersetzung in die Re alitat GesetzmaBigkeiten sichtbar werden lassen und so als Grundlagen flir rationale Entscheidungen dienen kannen. Im ersten Teil dieses Lehrbuchs ( 1-4) wird besonderes Gewicht auf die Modellbildung gelegt.

Spis treści

§1 Das wahrscheinlichkeitstheoretische Modell.- 1.1 Einleitung.- 1.2 Die Axiome von Kolmogoroff.- 1.3 Realität — Modell.- 1.4 Aufgaben.- §2 Beispiele für Wahrscheinlichkeitsräume.- 2.1 Laplace-Experimente.- 2.2 Diskrete Zufallsexperimente.- 2.3 Riemannsche Dichten.- 2.4 Allgemeine Wahrscheinlichkeitsdichten.- 2.5 Zufallsgrößen; induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilungen.- 2.6 Aufgaben.- §3 Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über (IRn, IBn).- 3.1 Eindimensionale Verteilungsfunktionen.- 3.2 Anwendungen bei induzierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.- 3.3 Erwartungswerte; schwaches Gesetz der großen Zahlen.- 3.4 Mehrdimensionale Verteilungsfunktionen.- 3.5 Momente von Zufalls Vektoren.- 3.6 Aufgaben.- §4 Gekoppelte Experimente; stochastische Unabhängigkeit.- 4.1 Produkte von meßbaren Räumen.- 4.2 Koppelung von Zufallsexperimenten; Satz von Kolmogoroff.- 4.3 Stochastisch unabhängige Ereignisse; 0-1-Gesetze.- 4.4 Stochastisch unabhängige Zufallsgrößen.- 4.5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, bedingte Erwartungswerte.- 4.6 Bedingte Verteilungen.- 4.7 Aufgaben.- §5 Starke Gesetze der großen Zahlen.- 5.1 Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit und fast sichere Konvergenz.- 5.2 Die Ungleichung von Kolmogoroff und der Dreireihensatz.- 5.3 Die Kolmogoroffschen Gesetze der großen Zahlen.- 5.4 Der Satz von Glivenko-Cantelli.- 5.5 Aufgaben.- §6 Summenverteilungen; charakteristische Funktionen.- 6.1 Summen von stochastisch unabhängigen Zufallsgrößen; Faltungen.- 6.2 Charakteristische Funktionen.- 6.3 Bemerkungen zur Anwendung charakteristischer Funktionen.- 6.4 Aufgaben.- §7 Verteilungskonvergenz über (IRk,IBk); zentraler Grenzwertsatz.- 7.1 Verteilungskonvergenz über (IRk,IBk).- 7.2 Der Stetigkeitssatz für charakteristische Funktionen.- 7.3 Der Grenzwertsatz von Lindeberg/Levy.- 7.4 Der zentrale Grenzwertsatz.- 7.5 Aufgaben.- §8 Weitere Konvergenzsätze für unabhängige Zufallsgrößen.- 8.1 Konvergenzsätze für Zufallssummen.- 8.2 Der Satz vom iterierten Logarithmus.- 8.3 Extremwertverteilungen.- 8.4 Aufgaben.- §9 Allgemeine stochastische Prozesse; der Poisson- und der Wiener-Prozeß.- 9.1 Stochastische Prozesse.- 9.2 Der Poisson-Prozeß.- 9.3 Der Wiener-Prozeß.- 9.4 Aufgaben.- §10 Analytische Eigenschaften von stochastischen Prozessen.- 10.1 Stetigkeit von stochastischen Prozessen.- 10.2 Separabilität von stochastischen Prozessen.- 10.3 Eigenschaften der Pfade von separablen Poisson-Prozessen, Zwischenankunftszeiten.- 10.4 Bemerkungen zum Pfad-Verhalten von separablen Wiener-Prozessen.- 10.5 Aufgaben.- §11 Martingale.- 11.1 Adaptierende Familien von ?-Algebren.- 11.2 Martingale.- 11.3 Stopregeln.- 11.4 Gestoppte Martingale.- 11.5 Konvergenz von Martingalen.- 11.6 Aufgaben.- Anhang: Maßtheoretische Hilfsmittel.- A.1 Indikatorfunktionen, Limiten von Mengenfolgen.- A.2 Mengenalgebren.- A.3 ?-Algebren.- A.4 Inhalte und Maße.- A.5 Maßfortsetzung.- A.6 Meßbare Abbildungen.- A.7 Numerische Funktionen.- A.8 Maß-Integrale.- A.9 Vertauschungssätze für Maß-Integrale.- A.10 Produkträume.- A.U Marginalmaße, Produktmaße.- A.12 Der Satz von Radon-Nikodym.- A.13 Integralungleichungen.- Hinweise auf deutschsprachige Lehrbücher.

Blurb

In diesem Lehrbuch, das insbesondere zur Vorlesungsbegleitung und für das Selbststudium gedacht ist, nehmen die Motivation der Begriffsbildungen, die Erläuterungen und Interpretationen der Ausagen sowie die Illustration durch Beispiele einen breiten Raum ein. Nach einer ausführlichen Darstellung der Modellbildung werden Grenzwertaussagen für unabhängige Zufallsgrößen bewiesen, insbesondere Gesetze der großen Zahlen, der zentrale Grenzwertsatz und Konvergenzen gegen Extremwertverteilungen. - Anschließend werden zufallsabhängige zeitliche Entwicklungen (stoachastische Prozesse) untersucht. Insbesondere werden Poisson- und Wiener-Prozesse behandelt und Martingale untersucht. 160 Übungsaufgaben ergänzen den Text.