Vorlesungen über Minimalflächen

ISBN-13: 9783642656200 / Niemiecki / Miękka / 2011 / 778 str.

J.C.C. Nitsche

Opis

Seit den Anfängen der Theorie der Minimalflächen vor mehr als zwei Jahrhunderten sind viele große Geister aller Epochen von ihrem Reize fasziniert worden. Diese Anziehungskraft liegt nicht nur in dem geome­ trischen Gehalt der Theorie und in ihren inspirierenden Einwirkungen auf die Entwicklung mathematischen Gedankenguts begründet, sie er­ klärt sich auch durch die in der Mathematik wohl nur selten erreichte Vielschichtigkeit, mit welcher in ihr sowohl experimenteller Augenschein und die Verfolgung konkreter Einzelprobleme als auch die fortschrei­ tende Abstraktion ursprünglich anschaulicher Begriffe und die Durch­ schlagskraft allgemein anwendbarer Methoden erfolgreich zum Tragen kommen. Es bestehen innige Zusammenhänge mit der lokalen und glo­ balen Differentialgeometrie, mit der Funktionentheorie, der Variations­ rechnung und der Theorie partieller Differentialgleichungen und zugleich fruchtbare Beziehungen zu vielen mathematischen Gebieten, so etwa zur Topologie, zur Maßtheorie und zur algebraischen Geometrie. Auch der Forscher in anderen Disziplinen, beispielsweise in der Elastizitäts­ theorie, der Strömungslehre und in allen Gebieten, bei denen die Er­ scheinung der Kapillarität eine Rolle spielt, wird von seiner Vertrautheit mit Minimalflächen profitieren. Vor allem aber handelt es sich um eine ästhetisch vollkommene Materie. Mit Ausnahme einiger spärlich gehaltenen Andeutungen befaßt sich die vorliegende Monographie ausschließlich mit zweidimensionalen reellen Parameterflächen im dreidimensionalen Euklidischen Raum. Eine solche Begrenzung schien aus Platzgründen und im Hinblick auf den Wunsch nach Stoffeinheitlichkeit unerläßlich. Der Kritiker kann hier freilich jedes Wort als lästige Einschränkung empfinden, wird aber hoffentlich zugestehen, daß die schönsten Perlen der Theorie dennoch in Erscheinung treten.

Spis treści

I. Einleitung.- II. Kurven und Flächen.- 1. Kurven.- 2. Flächen.- 3. Differentialgeometrische Flächen.- 4. Minimalflächen.- 5. Spezielle Minimalflächen I.- 5.1. Kettenfläche, Wendelfläche, Schraubenfläche, Scherksche Fläche.- 5.2. Minimalflächen der Form f(x) + g(y) + h(z) = 0.- 5.3. Die Ennepersche Minimalfläche.- 5.4. Zyklische Minimalflächen.- 6. Die zweite Variation des Flächeninhaltes.- III. Konforme Abbildung von Minimalflächen.- 1. Konforme Abbildung offener nichtparametrischer Flächen.- 1.1. Konforme Abbildung im Kleinen. Eigenschaften der Lösungen der Minimalflächengleichung.- 1.2. Konforme Abbildung im Großen.- 1.3. Funktionentheoretische Hilfssätze.- 1.4. Das asymptotische Verhalten der Lösungen der Minimalflächengleichung.- 2. Konforme Abbildung offener parametrischer Minimalflächen.- 2.1. Allgemeine Sätze.- 2.2. Spezielle Minimalflächen II. Die Flächen von Catalan, Enneper und Henneberg.- 2.3. Die Weierstraß-Enneperschen Darstellungsformeln.- 2.4. Spezielle Minimalflächen III. Verallgemeinerte Scherksche Flächen.- 2.5. Algebraische Minimalflächen.- 2.6. Spezielle Minimalflächen IV. Minimalflächen mit ebenen Krümmungslinien.- 2.7. Assoziierte Minimalflächen.- 3. Konforme Abbildung von Minimalflächen, welche von Jordankurven berandet sind.- IV. Hilfssätze der Analysis.- 1. Funktionen der Klasse M.- 2. Flächen der Klasse M.- 3. Eigenschaften harmonischer Funktionen.- 4. Abbildungen mit beschränktem Dirichlet-Integral.- 5. Der topologische Index einer geschlossenen ebenen Kurve.- 6. Das lineare Maß ebener Punktmengen.- 7. Punktmengen verschwindender logarithmischer Kapazität.- V. Der Fragenkreis des Plateauschen Problems.- 1. Lösung des Plateauschen Problems.- 1.1. Spezielle Minimalflächen V. Die Riemann-Schwarzsche Minimalfläche.- 1.2. Historische Vorbemerkungen.- 1.3. Existenzbeweis. Erste Eigenschaften der Lösungen.- 1.4. Die Abstiegsmethode.- 1.5. Das Douglassche und das Shiffmansche Funktional.- 2. Eigenschaften der Lösungen des Plateauschen Problems.- 2.1. Randverhalten.- 2.2. Verzweigungspunkte.- 2.3. Ein- und Mehrdeutigkeit.- 3. Das nichtparametrische Problem.- 4. Existenz instabiler Minimalflächen.- 4.1. Vorbemerkungen.- 4.2. Existenzbeweis.- 4.3. Beispiele.- 5. Das Problem des kleinsten Flächeninhaltes.- 5.1. Minimalflächen mit gemeinsamen Punkten.- 5.2. Zur Frage des absoluten Minimums für den Flächeninhalt.- 6. Die Struktur der Flächen kleinsten Inhaltes.- 6.1. Fast-konforme Abbildung.- 6.2. Über die Regularität der Flächen kleinsten Inhaltes.- VI. Allgemeinere Randwertprobleme.- 1. Historische Vorbemerkungen und Übersicht.- 2. Minimalflächen mit freiem Rand.- 3. Zweifach zusammenhängende Minimalflächen.- 3.1. Die Ausdehnung zweifach zusammenhängender Minimalflächen.- 3.2. Die Sätze von Shiffman.- 3.3. Minimalflächen der Klasse S.- 3.4. Die isoperimetrische Ungleichung.- 4. Das Douglassche Problem im Falle zweier Randkurven.- VII. Die Minimalflächengleichung.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Das Maximumprinzip und seine Folgerungen.- 3. Analytizität schwacher Lösungen.- 4. A-priori-Abschätzungen.- 5. Die konjugierte Funktion.- 6. Kompaktheitssätze.- 7. Das Dirichletsche Problem und seine Verallgemeinerungen.- 7.1. Der Haarsche Existenzbeweis.- 7.2. Die Perronsche Methode und ihre Anwendungen.- 7.3. Das Dirichletsche Problem bei lückenhaften Randwerten.- 7.4. Das Dirichletsche Problem bei unendlichen Randwerten.- VIII. Vollständige Minimalflächen.- IX. Lehrsätze und Aufgaben.- 1. Hinweise und Lehrsätze.- 2. Aufgaben.- Anhang. Hinweise zur neuesten Literatur.