Vorlesungen über Grundlagen der Geometrie

ISBN-13: 9783642886737 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 152 str.

Kurt Reidemeister

Opis

Das vorliegende Buch ist den Grundlagen der linearen Geometrie gewidmet. 1m ersten Teil wird, der Idee des Erlanger Programms von FELIX KLEIN gemaB, die Kongruenz und Invarianz beziiglich beliebiger Gruppen von Transformationen diskutiert und nach Erorterung der Korperaxiome die n-dimensionale lineate Geometrie iiber Schiefkorpem aus den Gruppen linearer Transformationen erkl1irt. DaB der gruppen theoretische Aufbau hier zu den Grundlagen gezahlt ist, wird, hoffe ich, durch die logisch exakten Formulierungen in Kapitell gerechtfertigt. 1m zweiten Teil handelt es sich um die Axiomatik der ebenen linearen Geometrie, im wesentlichen also urn die Auswertung des Satzes von DESARGUES und des Satzes von PASCAL. Die Bedeutung dieser Satze fUr die affine Geometrie ist vor allem durch HILBERTS klassisches Werk iiber die Grundlagen der Geometrie klargestellt. Der DESARGUESSche Satz besagt, daB die Streckenverhaltnisse der Ebene einen Schief korper bilden, der PAscALsche Satz besagt, daB sie einen Korper bilden. Der Beweis fUr diese beiden Tatsachen laBt sich aber auf mannigfache Weise anordnen. Und es erschien mir daher wichtig und lehrreich, dem Grund dieser verschiedenen Moglichkeiten nachzuspiiren. Es muBte sich doch jedes Verkniipfungsgesetz der Streckenrechnung in einem wohlbestimmten SchlieBungssatze sichtbar machen und die logische Ab hangigkeit dieser SchlieBungssatze voneinander feststellen lassen. Gliicklicherweise haben nun diese SchlieBungssatze auch von anderer Seite her Interesse. W. BLASCHKE hat auf dem Mathematiker-KongreB in Bologna die Vermutung ausgesprochen, daB die Theorie der Kurven gewebe auch fUr die Grundlagen der Geometrie fruchtbar werden konnte."

Spis treści

I. Analytischer Aufbau der Geometrie.- 1. Geometrie als Analysis.- 2. Kongruenz und Bewegungen.- 3. Transitivität der Kongruenz und Gruppeneigenschaft der Bewegungen...- 4. Überblick.- 1. Gruppen von Transformationen.- 1. Eineindeutige Transformationen.- 2. Das assoziative Gesetz.- 3. Gruppen.- 4. Untergruppen, Isomorphismen.- 5. Kongruenz.- 6. Bezugsmengen.- 7. Grundmenge und Koordinatenvektor.- 8. Natürliche Koordinaten.- 9. Transitive, asystatische Gruppen von Transformationen.- 10. Einfach transitive Transformationsgruppen.- 11. Kongruenz nach Untergruppen.- 12. Lineare Transformationen und euklidische Geometrie.- 13. Affine Transformationen. Lineare Abhängigkeit.- 14. Bezugsmengen.- 15. Grundmenge. Koordinatenvektoren.- 16. Projektive Transformationen. Lineare Abhängigkeit.- 17. Affine und projektive Transformationen.- 18. Der Begriff des Punktes.- 2. Grundlagen der Algebra.- 1. Körper.- 2. Automorphismen. Zentrum. Rationale Zahlen.- 3. Geordnete Körper. Geordnete Gruppen.- 4. Reelle Zahlen als geordnete Gruppe.- 5. Kommutatives Gesetz der Addition. Unabhängigkeit.- 6. Quaternionen.- 7. Funktionenkörper.- 8. Geordnete Schiefkörper.- 9. Einseitig distributives Zahlensystem.- 10. Die Gleichung xa + xb = c.- 11. Über Axiome.- 3. Affine Geometrie.- 1. Homogene affine Transformationen.- 2. Bezugsmengen.- 3. Lineare Abhängigkeit von Vektoren.- 4. Vektorbasis und lineare Abhängigkeit.- 5. Lineare Mannigfaltigkeiten.- 6. Allgemeine homogene lineare Transformationen.- 7. Geometrische Formulierung der Kongruenzbedingung.- 8. Affine Geometrie.- 9. Affine Abbildungen und Projektionen.- 10. Projektive Transformationen.- 11. Kennzeichnung der Transformationen.- II. Axiomatischer Aufbau der Geometrie.- 1. Grundsätze.- 2. Vollständigkeit.- 3. Auswahl der Axiome.- 4. Gewebe und Gruppen.- 1. Die Inzidenzaxiome des 3-Gewebes.- 2. Definition der Vektorgleichheit.- 3. Das erste Schließungsaxiom, ?.1.- 4. Transitivität der Vektorgleichheit. Eindeutigkeit.- 5. Die drei Vektorgruppen.- 6. Isomorphic der Vektorgruppen.- 7. Analytische Darstellung eines 3-Gewebes.- 8. Konstruktion eines Gewebes aus einer Gruppe.- 9. Abbildungen eines Gewebes in sich.- 10. Translationen.- 11. Uneigentliche Punkte.- 12. Kommutative Vektorgruppe und Figur ?.2.- 13. Figur ?.1 folgt aus ?. 2.- 14. Die Axiome der Anordnung.- 15. Richtungsgleichheit als Vektoreigenschaft.- 16. Vektoren als geordnete Gruppe.- 17. Gewebe und reelle Zahlen.- 18. Stetigkeit und Sechseckgewebe.- 19. Mittelpunkt einer Strecke.- 20. Netz der Punkte Ar,8.- 21. Archimedisches Axiom im Sechseckgewebe.- 22. Gewebe und affine Ebene.- 23. Kollineationen.- 5. Die Vektoren der affinen Ebene.- 1. Inzidenzaxiome eines 4-Gewebes.- 2. Geradenisomorphismen und Figur ?. 3.- 3. Die Parallelen der D-Geraden.- 4. Der kleine Desarguessche Satz ?.?.- 5. Dreieckssätze.- 6. Proportionen.- 7. Vektoren der affinen Ebene.- 8. Zerlegung eines Vektors in n gleiche Teile.- 9. Rationales Netz. Anordnungsaxiome.- 10. Kommutative Vektorgruppe.- 11. Figur ?.2 und Figur ?.?.- 12. Parallelismus in der affinen Geometrie.- 13. Vektorgleichheit von Dreiecken.- 14. Proportionen. Vektoren.- 6. Gewebe und Zahlensysteme.- 1. Die Geradenautomorphismen als Gruppe.- 2. Die Multiplikation der A-Vektoren.- 3. Das Zahlensystem der Vektorpaare.- 4. D-Maßzahlen.- 5. Streckenverhältnisse als Zahlensystem.- 6. Analytische Darstellung.- 7. Kollineationen.- 8. Zweites distributives Gesetz und Figur ?.4.- 9. Das 4-Gewebe mit der Figur ?.4.- 10. Analytische Darstellung eines 4-Gewebes mit Figur ?.4.- 11. Streckenverhältnisse als Schiefkörper.- 12. Literatur über Gewebe.- 7. Affine und projektive Geometrie.- 1. Die Axiome der ebenen affinen Geometrie.- 2. Begründung der Streckenrechnung aus den affinen Axiomen.- 3. Fundamentalsatz der affinen Geometrie.- 4. Die räumlichen Inzidenzaxiome und der Satz von Desargues…..- 5. Die projektiven Inzidenzaxiome.- 6. Der Satz von Desargues in der projektiven Ebene.- 7. Die Streckenverhältnisse in der projektiven Ebene.- 8. Der Fundamentalsatz der projektiven Geometrie.- 9. Der Satz von Pascal.- 10. Der Satz von Desargues folgt aus dem Satz von Pascal.- 11. Strecken Verhältnisse auf Grund des Pascalschen und kleinen Desargues- schen Satzes.- 12. Widerspruchsfreiheit der Axiome.- 13. Unabhängigkeit der Axiome.- 14. Algebraischer und geometrischer Aufbau.- 15. Der empirische Raum.