Vorlesungen Über Geometrie Der Algebren: Geometrien Von Möbius, Laguerre-Lie, Minkowski in Einheitlicher Und Grundlagengeometrischer Behandlung

ISBN-13: 9783642886713 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 368 str.

Walter Benz

Opis

Mit Hilfe der reellen Algebren der komplexen Zahlen, dualen Zahlen, anormal-komplexen Zahlen konnen Mobiusgeometrie (Geometrie der Kreise), Laguerre- bzw. Liegeometrie, pseudoeuklidische Geometrie (Minkowskigeometrie) behandelt werden. Das geschieht fiir die erst genannte Geometrie in der Geometrie der komplexen Zahlen. - Diese Zusammenhange bilden den Hintergrund des vorliegenden Buches. In Verfolg axiomatischer Begrtindungen der augegebenen Geometrien wurde del" Bereich der vorweg genannten reellen Algebren ausgedehnt: 1st Sl' ein quadratisch nicht abgeschlossener kommutativer Korper, 2 eine quadratische Korpererweiterung von Sl', so gehort zur Algebra 2 tiber Sl' eine miquelsche Mobiusebene und jede miquelsche Mobiusebene kann mit Hilfe einer solchen Algebra beschrieben werden. Entsprechendes gilt fUr Laguerre-und Minkowskigeometrie. Es gibt genau 5 paarweise nicht isomorphe kommutative, assoziative Algebren mit Eins yom Rang 3 tiber den reellen Zahlen; diese beschreiben Geometrien raumlicher Kurvensysteme. Beliebige kommutative Korpererweiterungen eines kommutativen Korpers ftihren zu miquelschen Geometrien, die eng ver wandt sind mit den miquelschen Mobiusebenen, insofem als nur ein impliziter Beriihrbegriff an die Stelle des bei Mobiusebenen expliziten zu treten hat. Weitere Algebrengeometrien beanspruchen im hier verfolgten Rahmen Interesse, wie etwa die Quatemionen tiber den komplexen Zah len, die die Geometrie der Kreise und Kugeln im vierdimensionalen Raum beschreiben. Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die der Autor an mehreren in-und auslandischen Universitaten gehalten hat. An den Anfang der Untersuchungen habe ich die klassischen Fane, nam lich die Geometrien von Mobius, Laguerre-Lie, Minkowski gestellt. Ich mochte hiermit Tatsachenmaterial bereitstellen, das spat ere Ansatze motiviert."

Spis treści

I. Der klassische Fall.- § 1. Möbiusgeometrie.- 1. Euklidische Kreise. Möbiussche Kreise.- 2. Die Gruppe ?(?).- 3. Winkel.- 4. Ebene Schnitte einer Kugel. Tetrazyklische Koordinaten.- 5. Möbiusgeometrie.- § 2. Laguerregeometrie.- 1. Speere. Zykel.- 2. Das zyklographische Modell.- 3. Das Zylindermodell. Blaschke-Abbildung.- 4. Das isotrope Modell.- 5. Duale Zahlen.- 6. Duale Zahlen in der Laguerregeometrie.- 7. Die Gruppe ?(D).- 8. Tangentialdistanzen.- 9. Isotrope Winkel.- 10. Laguerregeometrie.- § 3. Liegeometrie.- 1. Liezykel.- 2. Pentazyklische Koordinaten.- 3. Liefiguren. Die Automorphismengruppe.- 4. Liegeometrie.- § 4. Pseudo-euklidische (Minkowskische) Geometrie.- 1. Pseudo-euklidischer Abstand. Pseudo-euklidische Kreise.- 2. Anormal-komplexe Zahlen.- 3. Anormal-komplexe Zahlen in der pseudo-euklidischen Geometrie.- 4. Die Gruppe ?(A).- 5. Die ebenen Schnitte eines Hyperboloids.- 6. Punktparallelität.- 7. Winkel.- 8. Beck-Abbildung. Ein gruppentheoretisches Modell der pseudo-euklidischen Geometrie.- 9. Das Beck-Modell.- 10. Pseudo-euklidische Geometrie.- II. Ketten.- § 1. Projektive Gerade über einem Ring.- 1. Zulässige Paare. Punkte. Parallelität.- 2. Die projektive Gruppe ?(L).- 3. Transitivitätseigenschaften von ?(L).- 4. Doppelverhältnisse.- § 2. Ketten. Eine Berührrelation. Harmonische Punktequadrupel.- 1. Die Kettengeometrie ?(K, L).- 2. Kettenverwandtschaften.- 3. Die zu ?(K, L) gehörende affine Geometrie A(K, L).- 4. Eine Berührrelation. Der Berührsatz. Invarianz der Berührrelation.- 5. Berührung und Doppelverhältnisse.- 6. Harmonische Punktequadrupel.- § 3. Winkel.- 1. Winkel in ?(K, L).- 2. Die Gruppe der freien Winkel.- 3. Winkelsätze. (83, 64)-Konfigurationen.- 4. Eine allgemeine Ähnlichkeitsgeometrie.- § 4. Möbius-, Laguerre-Fall, pseudo-euklidischer Fall.- 1. Gabelung auf Grund der Parallelitätsrelation.- 2. Laguerregeometrien mit ebenen Ketten. Scharfe Berührrelationen.- § 5. Klassen von Algebren.- 1. Quadratische Erweiterungen.- 2. Faktorringe und Quotientenringe.- 3. Bemerkungen über Algebren.- 4. Beispiele von Laguerregeometrien.- § 6. Das Automorphismenproblem. Der Fundamentalsatz.- 1. Harmonische Abbildungen.- 2. Automorphismenproblem und Fundamentalsatz für die Möbiusgeometrien.- 3. Automorphismenproblem und Fundamentalsatz für die Laguerregeometrien.- 4. Automorphismenproblem und Fundamentalsatz für die pseudoeuklidischen Geometrien.- III. Kreise und Zykel.- § 1. Ein abstrakter Doppelverhältniskalkül.- 1. Quaternare.- 2. ?-Quaternare.- 3. ???-Quatemare.- § 2. Möbiusgeometrien.- 1. H-Kreisebenen. v. Staudt-Petkantschin-Gruppen. Berührstrukturen Büschelgruppen.- 2. Möbiusebenen. Miquelsche Möbiusebenen.- 3. Miquelsche Möbiusebenen als Geometrien ?(K, L).- 4. Weitere Kennzeichnungen von Möbiusgeometrien ?(K, L), (L: K) = 2 Euklidische Möbiusebenen.- 5. Ebene Schnitte einer Quadrik.- 6. Orthogonalität. Beziehungen zu Anordnungseigenschaften.- § 3. Liegeometrien.- 1. Die Liegeometrien K2(K) und ihre Automorphismengruppen.- 2. Lie-Ebenen. Büschelhomogene Lie-Ebenen.- § 4. Minkowskigeometrien.- 1. (B)-Geometrien und ihre Charakterisierung.- 2. (B*)-Geometrien und ihre Charakterisierung.- 3. Die Konfiguration (G) und (B*G)-Geometrien.- 4. Symmetrie und (B*GS)-Geometrien.- 5. (B*GS)-Geometrien als Minkowskigeometrien.- IV. Kurven- und Flächensysteme als Kettengeometrien.- § 1. Die Geometrien Gv und Verallgemeinerungen.- 1. Der n-dimensionale Raux i als Algebra. Singularitätskegel.- 2. ?(L) als Gruppe birationaler Abbildungen. Darstellung von Ketten.- 3. Das Automorphismenproblem für die Geometrien Gv.- § 2. Geometrie der Körpererweiterungen.- 1. Die Gruppe ?(L).- 2. Der Satz von Cartan-Brauer-Hua. Der Satz von Hua.- 3. Ketten. Fährten.- 4. 2-Sphären auf der 4-Sphäre.- 5. n-Punkt Invarianten und Doppelverhältnisse von n-tupeln.- 6. Das Automorphismenproblem.- 1. Relationen.- 2. Geometrische Strukturen.- 3. G-invariante Begriffe, G-Invarianten. Kleinsches Erlanger Programm Geometrie einer geometrischen Struktur.- Literaturzuordnung.