Vorlesungen über Funktionentheorie

ISBN-13: 9783642948190 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 404 str.

Alexander Dinghas

Spis treści

Erster Teil Die Grundlagen der Funktionentheorie.- Erstes Kapitel Die komplexe Ebene.- 1. Der Körper K der komplexen Zahlen.- 2. Der Körper der reellen Zahlen als Teilkörper von K. Isomorphe Darstellungen.- 3. Elementare Geometrie der komplexen Ebene.- 4. Die Riemannsche Kugel und die Zahl z = ?.- 5. Gruppen. Lineare Transformationen.- 6. Metrisierungsfragen. Bewegungen der komplexen Ebene.- 7. Bemerkungen und historische Zusammenhänge.- Ergänzungen und Aufgaben zum ersten Kapitel.- 1. Die Formel von Moivre..- 2. Gleichungen elementarer Gebilde..- 3. Das Doppelverhältnis von vier Punkten..- 4. Spezielle Gruppen..- 5. Drehungen der Riemannschen Kugel..- 6. Bewegungen des Einheitskreises..- 7. Wurzeloperationen..- Zweites Kapitel Topologie der komplexen Ebene. Die Cauchysche Konvergenztheorie. Stetige Abbildungen.- 8. Grundlegende Begriffsbildungen.- 9. Offene und abgeschlossene Punktmengen.- 10. Die Cauchysche Konvergenztheorie.- 11. Der Überdeckungssatz von Heine-Borel und der Satz von Bolzano-Weierstrass.- 12. Kurven.- 13. Eine Peano-Kurve.- 14. Gebiete und Kontinuen. Der Begriff des Zusammenhangs.- 15. Abbildungen durch eindeutige komplexe Funktionen.- 16. Linienintegrale komplexer Funktionen.- 17. Bemerkungen und Literaturnachweis.- Ergänzungen und Aufgaben zum zweiten Kapitel.- 1. Oberer und unterer Limes von Punktmengen..- 2. Anwendungen..- 3. Offener Kern..- 4. Der Kern einer Gebietsfolge..- 5. Topologische Abbildungen..- 6. Vereinigung von offenen und abgeschlossenen Punktmengen..- Drittes Kapitel Lokale Eigenschaften der eindeutigen analytischen Funktionen.- 18. Definition der eindeutigen analytischen Funktion.- 19. Das Fundamentallemma der Funktionentheorie.- 20. Lokale Darstellungen von w (z).- 21. Der analytische Charakter von w? (z). Die Cauchy-Taylor-Entwicklung von w (z).- 22. Hebbare Stellen. Erweiterung des Regularitätsbegriffes.- 23. Pole und wesentliche Singularitäten. Die Entwicklung von Laurent-Weierstrass.- 24. Der Satz von Casorati-Weierstrass.- 25. Bemerkungen und Literaturnachweis.- Ergänzungen und Aufgaben zum dritten Kapitel.- 1. Der Konvergenzradius einer Potenzreihe..- 2. Moreras Definition der eindeutigen analytischen Funktion..- 3. Eine Definition der regulären analytischen Funktion..- 4. Der Satz von Looman-Menchoff..- 5. Der Satz von Cauchy-Liouville..- 6. Bestimmung einer eindeutigen analytischen Funktion durch abzählbar viele Werte..- 7. Aufgaben dazu..- Viertes Kapitel Die Hauptsätze der Cauchyschen Funktionentheorie.- 26. Der Fundamentalsatz der Funktionentheorie.- 27. Die allgemeine Cauchy-Formel.- 28. Der Residuensatz von Cauchy.- 29. Erste Anwendungen des Residuensatzes. Die Poissonschen Formeln für den Vollkreis und den Halbkreis.- 30. Bestimmte Integrale rationaler und trigonometrischer Funktionen.- 31. Die Cauchyschen Integralsätze in allgemeinen Gebieten von endlichem Zusammenhang.- 32. Nullhomologe und nullhomotope Kurven. Die allgemeine Form des Fundamentalsatzes der Funktionentheorie.- 33. Homologie- und Homotopiegruppen. Mehrdeutige Funktionen.- 34. Literaturhinweise.- Ergänzungen und Aufgaben zum vierten Kapitel.- 1. Definition der trigonometrischen Funktionen..- 2. Nullstellenfragen..- 3. Residuen von cotg ?z bzw. 1/sin ?z..- 4. Die Formel von Plana-Abel-Cauchy..- 5. Eine allgemeine Formel von Cauchy. Der Satz von Rouché..- 6. Die Ungleichungen von Hadamard und Borel..- 7. Eine Ungleichung von Borel und Carathéodory..- 8. Eine Verallgemeinerung des Cauchy-Liouvilleschen Satzes..- 9. Aufgaben..- 10. Ein Satz von Liouville..- 11. Eine Ungleichung von H. A. Schwarz..- Zweiter Teil Die Grundlagen der Riemann-Weierstraßschen Funktionentheorie.- Fünftes Kapitel Erzeugung analytischer Funktionen durch Grenzprozesse Der Riemann-Weierstraßsche Begriff der analytischen Funktion.- 35. Funktionenräume.- 36. Kompaktheitsfragen. Vorbereitende Tatsachen.- 37. Die Sätze von Ascoli und Vitali.- 38. Reihen. Unendliche Produkte. Integrale.- 39. Der Weierstraß sehe Begriff der analytischen Funktion. Der Satz von Poincaré-Volterra.- 40. Analytische Fortsetzung in der Nähe einer isolierten singulären Stelle. Algebraische Funktionselemente.- 41. Der Begriff des analytischen Gebildes.- 42. Der Begriff der Riemannschen Fläche. Überlagerungsflächen.- 43. Nicht fortsetzbare Reihen. Der Turánsche Beweis des Fabryschen Lückensatzes.- 44. Geschichtliche Zusammenhänge und Literaturangaben.- Ergänzungen und Aufgaben zum fünften Kapitel.- 1. Ein Beweis des Auswahlsatzes..- 2. Der Satz von Mittag-Leffler..- 3. Nochmals die trigonometrischen Funktionen..- 4. Die Weierstraßsche Produktdarstellung von w (z)..- 5. Die elliptischen Funktionen..- 6. Additionsformeln..- 7. Der Monodromiesatz..- 8. Das Weierstraßsche Permanenzprinzip der Funktionalgleichungen..- 9. Algebroide und algebraische Funktionen..- 10. P?lyas Vermutung über Potenzreihen mit Fabry-Lücken..- 11. Ostrowskis Vertiefung des Hadamardschen Lückensatzes..- 12. Mordells Beweis des Hadamardschen Lückensatzes..- 13. Ein Satz von Fatou und P?lya..- 14. Die Umkehrung einer Potenzreihe..- Sechstes Kapitel Die Eulersche Gammafunktion und die Riemannsche Zetafunktion.- 45. Konvexe bzw. logarithmisch konvexe Funktionen.- 46. Der Satz von Bohr und Mollerup.- 47. Funktionalgleichungen.- 48. Das asymptotische Verhalten von ?(s).- 49. Dirichlet-Reihen. Die Zetafunktion von Riemann.- 50. Zahlentheoretische Eigenschaften von ? (s). Die Eulersche Produktdarstellung und der Satz von Hadamard-Dela Vallée-Poussin.- 51. Beweis des Primzahlsatzes.- 52. Geschichtliche Zusammenhänge und Literaturangaben.- Ergänzungen und Aufgaben zum sechsten Kapitel.- 1. Ein allgemeiner Satz von Hurwitz..- 2. Zwei Funktionalgleichungen von Legendre..- 3. Kummers Fourier-Entwicklung von log ? (?)..- 4. Die Konvergenzabszissen einer allgemeinen Dirichlet-Reihe..- 5. Der Abelsche Grenzwertsatz für allgemeine Dirichlet-Reihen..- 6. Der Satz von Vivanti-Pringsheim-Landau..- 7. Fabrys Lückensatz für Dirichlet-Reihen..- 8. Ein Satz von Harald Bohr..- 9. Der Fall linear unabhängiger Exponenten..- 10. Die Laurent-Weierstraßsche Entwicklung der Zetafunktion..- Dritter Teil Maximumprinzip und Werteverteilung.- Siebentes Kapitel Majorisierungs- und Wachstumsprobleme.- 53. Das Maximumprinzip für subharmonische Funktionen.- 54. Carlemans Prinzip der harmonischen Majorisierung. Lindelöfs Verallgemeinerung des Maximumprinzips.- 55. Konvexitätseigenschaften des Maximums von subharmonischen Funktionen. Der Dreikreisesatz von Hadamard und das Schwarzsche Lemma.- 56. Einbeziehung der Nullstellen von w (z). Blaschkesche Sätze.- 57. Die Formel von Carleman und der Satz von Carlson-Nevanlinna.- 58. Zwei Sätze von Lindelöf.- 59. Der allgemeine Konvexitätssatz. Der Satz von Wiman.- 60. Der Satz von Denjoy-Carleman-Ahlfors.- 61. Geschichtliche Zusammenhänge und Literaturnachweis.- Ergänzungen und Aufgaben zum siebenten Kapitel.- 1. Eine wichtige Identität..- 2. Nochmals das Maximumprinzip..- 3. Eine Ungleichung von Ahlfors..- 4. Verallgemeinerung des vorstehenden Ergebnisses..- 5. Der Satz von Julia-Wolff-Carathéodory..- 6. Der Satz von Milloux-Schmidt..- 7. Ein Satz von Fatou und Riesz..- Achtes Kapitel Geometrische Funktionentheorie. Konforme Abbildung.- 62. Nochmals die linearen Transformationen.- 63. Fixpunkte. Elliptische, hyperbolische und parabolische Transformationen.- 64. Spiegelung an einem Kreis. Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip.- 65. Zusammenhänge mit der hyperbolischen Geometrie. Picks Formulierung des Schwarzschen Lemmas.- 66. Schlichte Funktionen. Der Riemannsche Abbildungssatz.- 67. Das Dirichletsche Problem. Greensche Funktion und harmonisches Maß.- 68. Approximationsfragen. Die Symmetrieeigenschaft der Greenschen Funktion. Lindelöfs Kontraktionstheorem.- 69. Funktionen auf Riemannschen Flächen. Konstruktion der Modulfunktion durch das Spiegelungsprinzip.- 70. Kapazitätsfragen. Die Evans-Selbergsche Funktion.- 71. Anwendung der Modulfunktion auf den Beweis der Sätze von Picard, Landau und Schottky.- 72. Blochs Methode zum Beweis der Sätze von Picard, Landau und Schottky.- 73. Der allgemeine Satz von Picard und der Satz von Julia.- 74. Geschichtliche Zusammenhänge und Literaturangaben.- Ergänzungen und Aufgaben zum achten Kapitel.- 1. Der isometrische Kreis einer linearen Transformation..- 2. Der Fundamentalbereich einer Gruppe..- 3. Der Begriff der automorphen Funktion..- 4. Eine Ungleichung von Plemelj und Carathéodory..- 5. Der Verzerrungssatz von Koebe und Bieberbach.- 6. Der Drehungssatz von Bieberbach-Golusin..- 7. Das Koeffizientenproblem..- 8. Die konforme Abbildung eines Polygons auf eine Halbebene..- 9. Der Ahlforssche Verzerrungssatz..- 10. Kanonische konforme Abbildungen..- 11. Carathéodorys Verschärfung des großen Picardschen Satzes..- 12. Eine Ungleichung von Ostrowski-Nevan-Linna..- 13. Das Normalitätskriterium von Carathéodory und Landau..- 14. Der Montelsche Beweis des Picardschen Satzes..- 15. Nochmals der Satz von Julia..- 16. Das Problem der Ränderzuordnung..- 17. Ein Satz von Picard..- 18. Das Uniformisierungsproblem..- 19. Durchführung des Uniformisierungsbeweises..- 20. Das alternierende Verfahren von Schwarz..- 21. Der transfinite Durchmesser einer Punktmenge..- Neuntes Kapitel Eindeutige analytische Funktionen in der Umgebung einer wesentlichen isolierten Singularität.- 75. Die Wachstumscharakteristik einer meromorphen Funktion.- 76. Der Nevanlinnasche Konvexitätssatz der charakteristischen Funktion.- 77. Charakterisierung rationaler Funktionen.- 78. Der Begriff der lokalen Charakteristik. Charakterisierung der Stellen rationalen Charakters.- 79. Der Nevanlinnasche Invarianzsatz. Der Begriff der Ordnung und des Konvergenzexponenten.- 80. Die Ordnung eines kanonischen Produktes. F. Nevanlinnas Beweis der Produktdarstellung einer meromorphen Funktion.- 81. Der Nevanlinnasche Hauptsatz der Werteverteilungstheorie.- 82. Die Nevanlinnasche Defektrelation.- 83. Der Satz von Picard-Borel.- 84. Meromorphe Funktionen im Einheitskreis.- 85. Geschichtliche Zusammenhänge und Literaturangaben.- Ergänzungen und Aufgaben zum neunten Kapitel.- 1. Littlewoods Begriff der subordinierten Funktion. Lehtos Maximumprinzip..- 2. Eine Ungleichung von Ahlfors..- 3. Nochmals der Picard-Borelsche Satz..- 4. Beurlings Verallgemeinerung eines Satzes von Fatou..- 5. Die Theorie von Nevanlinna-af HÄllström..- 6. Die Nevanlinna-Selbergsche Theorie der algebroiden Funktionen..- 7. Umkehrung des Nevanlinnaschen Fundamentalsatzes..- 8. Abhängigkeit des Defektes von der Wahl des Nullpunktes..- 9. Ein allgemeiner Satz über die Defektmenge einer meromorphen Funktion..- Namen- und Sachverzeichnis.