Vorlesungen Über Die Mechanik Der Kontinua: Unveröffentlichte Vorlesungen Aus Den Jahren 1926 Und 1931

ISBN-13: 9783211958216 / Niemiecki / Miękka / 1986 / 254 str.

G. Herglotz; H. Beckert; R. B. Guenther

Opis

Die bedeutenden Verdienste von GUSTAV HERGLOTZ fUr die Mathematik Iiegen nicht allein in 'seinen hervorragenden Arbeiten auf zahlreichen mathematischen Gebieten mit einer Vielzahl eleganter Anwendungen auf Probleme der mathematischen Physik be grtindet, sie resultieren zu einem wesentlichen Teil aus seinen groBen Erfolgen als akade mischer Lehrer von 1909 bis 1925 an der U niversitiit Leipzig und danach bis 1946 an der Universitat Gottingen. Seine vielen Studenten rtihmen die glanzende Darstellungskunst seines Vortrags, die kaum zu tiberbietende Eleganz, Anschaulichkeit und Grtindlichkeit sowie den analytischen Reichtum seiner Vorlesungen. HERGLOTZ hat so die ktinftige mathematische Forschung nachhaltig beeinfluBt. Besonders eindrucksvoll waren die Vorlesungen tiber die Mechanik der Kontinua, tiber Himmelsmechanik, Riemannsche Geometrie und Differentialgleichungen. E. HOLDER z. B. au Berte immer seine groBe Bewunderung tiber diese Vorlesungen, die spiiter auch unverkennbare Spuren in seinen eigenen Arbeiten hinterlassen haben. Es ist deshalb zu begrtiBen, daB die nun vorliegende, sehr verdienstvolle Vorlesungsaus arbeitung von R. B. GUENTHER und H. SCHWERDTFEGER in die Reihe "TEUBNER ARCHIV zur Mathematik" aufgenommen wurde. So wird die Erinnerung an G. HER GWTZ' meisterhafte EinfUhrung in die Mechanik der Kontinua, welche nichts an Aktua Iitat eingebliBt hat, fUr die Nachwelt wachgehalten. Der Leser sptirt die harmonische Einheit zwischen mat he mati scher Theorie und deren Anwendungen und kann von dieser Vorlesung auch heute noch wert volle Anregungen fUr die mathematische Forschung in der Mechanik der Kontinua erhalten.

Spis treści

Vorwort.- Erster Teil. Die Klassische Theorie.- 1. Bewegungsgleichungen.- 1.1. Hamiltonsches Prinzip und Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden.- 1.1.1. Gleichgewichtsbedingungen.- 1.1.2. Bewegungsgleichungen.- 1.1.3. Hamiltonsches Prinzip.- 1.2. Herleitung der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen aus den Newtonschen.- 1.3. Allgemeine Kontinuitätsgleichung.- 1.3.1. Deformation des Kontinuums.- 1.3.2. Erhaltung der Masse.- 1.4. Bewegungsgleichungen eines Kontinuums.- 1.4.1. Ansatz des Hamiltonschen Prinzips.- 1.4.2. Lagrangesche Gleichungen.- 1.4.3. Ein Hilfsformelsystem.- 1.4.4. Eulersche Gleichungen.- 1.5. Impulsgleichungen und Energiesatz.- 1.6. Berücksichtigung thermischer Vorgänge.- 1.6.1. Formale Einführung der Entropiedichte und der Temperatur.- 1.6.2. Adiabatische Vorgänge.- 1.6.3. Isotherme Vorgänge.- 2. Kinematik des Kontinuums.- 2.1. Deformations- und Spannungsmatrizen unter Koordinatentransformationen.- 2.2. Orthogonale Transformationen und ihre Invarianten.- 2.3. Infinitesimale Deformation des Kontinuums.- 2.4. Invarianten der Deformationsmatrix.- 2.5. Invarianzbeschränkungen der Energiedichte.- 3. Mechanik spezieller Kontinua.- 3.1. Thermodynamische Hilfsbetrachtungen.- 3.2. Bewegungsgleichungen der Gase.- 3.3. Bewegungsgleichungen inkompressibler Flüssigkeiten.- 3.4. Wirbelsätze der Gasdynamik.- 3.4.1. Formulierung der Voraussetzungen.- 3.4.2. Kanonisches System.- 3.4.3. Helmholtzscher Wirbelsatz.- 3.5. Folgerungen aus den Wirbelsätzen.- 3.5.1. Wirbelfreie Bewegungen eines Gases.- 3.5.2. Wirbellinien.- 3.5.3. Zirkulation und Wirbelröhre.- 3.5.4. Wirbelsätze bei inkompressiblen Flüssigkeiten.- 3.6. Bewegungsgleichungen der infinitesimalen Bewegungen.- 3.6.1. Umformung der Deformationsmatrix.- 3.6.2. Ansatz der Energiedichte als quadratische Form in den infinitesimalen Deformationsgrößen.- 3.6.3. Bewegungsgleichungen.- 3.7. Gleichwertige Ansätze für die Energiedichte.- 3.7.1. Koeffizientenbedingung für gleichwertige Formen.- 3.7.2. Herleitung dieser Bedingung aus dem Hamiltonschen Prinzip.- 3.7.3. Allgemeinere Untersuchung des Tatbestandes.- 3.7.4. Wirbelvektor.- 3.7.5. Umformung der Bedingung aus 3.7. 1.- 3.8. Grundgleichungen der Elastizitätstheorie.- 3.8.1. Ansätze für die Energiedichte.- 3.8.2. Kristallelastizität.- 3.8.3. Elastizitätstheorie isotroper Medien.- 3.9. Differentialgleichungen der Kristalloptik.- 4. Wellenbewegungen im Kontinuum.- 4.1. Relationen zwischen den Unstetigkeiten der Ableitung differenzierbarer Funktionen.- 4.2. Wellenfläche und ihre Fortpflanzung.- 4.2.1. Wellenfläche und Normalenvektor.- 4.2.2. Wellenvektor und Normalenvektor.- 4.2.3. Normalenfläche und Differentialgleichung der Wellenfläche.- 4.3. Strahlenvektor und Strahlenfläche. Fortpflanzung der Wellenfläche in Strahlenrichtung.- 4.3.1. Strahlenfläche und Normalenfläche.- 4.3.2. Fortpflanzung der Wellenfläche.- 4.4. Anwendung auf die Gasdynamik. Schallbewegung.- 4.4.1. Fortpflanzung der Unstetigkeiten in idealen Gasen.- 4.4.2. Fortschreiten der Wellenfläche.- 4.5. Wellenbewegungen in isotropen elastischen Medien.- 4.5.1. Bildung der charakteristischen Funktion ? (? , ?).- 4.5.2. Normalenfläche.- 4.5.3. Wellenvektor. Transversale und longitudinale Wellen.- 4.5.4. Strahlenvektor.- 4.6. Wellenausbreitung in kristallinen Medien.- 4.6.1. Wellenvektor und Strahlenvektor.- 4.6.2. Fresnelsche Fläche.- 5. Theorie der Strahlen.- 5.1. Vorläufige Übersicht. Definition der Strahlen.- 5.2. Relationen an den Unstetigkeitsstellen der dritten Ableitungen beliebiger differenzierbarer Funktionen.- 5.3. Unstetigkeiten der dritten Ableitungen der Lösungen der allgemeinen Bewegungsgleichungen.- 5.3.1. Aufstellung der Sprungrelationen nach 5.2.- 5.3.2. Dissipationsfunktion.- 5.3.3. Differentialgleichungen der Strahlen.- 5.3.4. Übertragung ins bewegte System.- 5.4. Ermittlung der Wellenfläche zu beliebiger Zeit und zu willkürlicher Anfangslage (Existenztheorem).- 5.4.1. Formulierung des analytischen Problems.- 5.4.2. Cauchysche Integrationsmethode.- 5.4.3. Nähere Ausführungen für infinitesimale Bewegungen. Huygenssches Prinzip.- 5.5. Übergang vom kanonischen System zu den Lagrangeschen gewöhnlichen Differentialgleichungen: Die Strahlen als die Extremalen eines Variationsproblems.- 5.5.1. Lagrangesche Gleichungen.- 5.5.2. Zugehöriges Variationsproblem.- 5.5.3. Beziehung zum Unabhängigkeitssatz.- 5.6. Geometrische Variationsprobleme.- 5.6.1. Strahlen als Lösungen der Lagrangeschen Gleichungen.- 5.6.2. Geometrisches Variationsproblem.- 5.6.3. Hauptsatz über geometrische Variationsprobleme.- 5.7. Bemerkungen über die Grundprinzipien der Mechanik.- Zweiter Teil. Partielle Differentialgleichungen.- 6. Anfangswertproblem für lineare partielle Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 6.1. Vorbereitungen.- 6.2. Ausführliche Formulierung des Problems: Reduktion auf eine Differentialgleichung sechster Ordnung.- 6.3. Gleichgewichtsproblem.- 6.4. Elliptische und hyperbolische Differentialgleichungen.- 7. Anwendung Fourierscher Integrale.- 7.1. Auswertung zweier bestimmter Integrale.- 7.2. Ansatz zur Lösung des Anfangswertproblems für D(?/?x, ?/?t) F = 0.- 7.2.1. Formulierung des allgemeinen Problems in p Dimensionen.- 7.2.2. Ansatz der Lösung als Fouriersches Integral.- 7.2.3. Einfachste Eigenschaften des lösenden Kerns K (x,t).- 7.3. Berechnung des lösenden Kerns.- 7.3.1. Anwendung des Residuensatzes.- 7.3.2. Anwendung der Integralformeln aus 7.1.- 7.4. Rationales Oberflächenelement d??.- 7.4.1. Umrechnung und Vorzeichenbestimmung.- 7.4.2. Bedeutung in der Theorie der algebraischen Integrale.- 7.5. Ein Satz über Integrale auf zerfallenden algebraischen Flächen.- 7.5.1. Umrechnung von d??.- 7.5.2. Beweis des Satzes.- 7.5.3. Beispiele: p = 2, n = 4 und p = 3, n = 4.- 7.6. Reduktion von K (x,t) auf algebraische bzw.logarithmische Integrale.- 7.6.1. Darstellung von K(x,t) und seiner (m ? 1)-ten Ableitungen.- 7.6.2. Verschwinden von K (x,t) für alle Punkte x/t außerhalb der konvexen Hülle der Strahlenfläche.- 7.6.3. Lösung des Anfangswertproblems.- 7.7. Weiteres über die Strahlenfläche.- 7.7.1. Kristalloptik.- 7.7.2. über das Integral ?d??.- 8. Anwendung Abelscher Integrale.- 8.1. Zusammenhang der Funktion K(x,t) mit den Perioden eines algebraischen Integrals auf der Normalenfläche.- 8.1.1. Ziel der folgenden Untersuchungen.- 8.1.2. Beispiel p = 2, n = 2.- 8.1.3. Satz über den Zusammenhang zwischen ? (x,t) und K (x,t).- 8.1.4. Singuläre Stellen der Funktion ? (x,t).- 8.2. Genauere Ausführungen für den Fall, daß die Normalenfläche ein System konzentrischer Kugeln ist.- 8.2.1. Berechnung von ? (x,t).- 8.2.2. Die Funktion ? (t).- 8.2.3. Digressionen über Lösungen der Wellengleichung.- 8.2.4. Weiteres über die Funktion ? (t); ihre Randwerte.- 9. Durchführung der Integration in konkreten Fällen.- 9.1. Lösung der Wellengleichung.- 9.1.1. Integraldarstellung der Lösung.- 9.1.2. Lösender Kern K (x,t).- 9.1.3. Explizite Lösung für kleine Dimensionszahlen.- 9.2. Lösung der Wellengleichung durch komplexe Integrale.- 9.2.1. Beweis der Hauptformel.- 9.2.2. Zusammenhang mit der Laplaceschen Gleichung in (p + 1) Dimensionen.- 9.2.3. Reduktion auf reelle Integrale.- 9.3. Lösung der Telegraphengleichung.- 9.3.1. Reduktion auf die Wellengleichung in (p + 1) Dimensionen.- 9.3.2. Riemannsche Methode. Reduktion auf gewöhnliche Differentialgleichungen.- 9.4. Radonsches Problem.- 9.4.1. Formulierung des Problems. Mechanische Bedeutung.- 9.4.2. Lösung des Radonschen Problems.- 9.4.3. Herleitung einer neuen Lösung der Wellengleichung.- 9.4.4. Formale Lösung des Radonschen Problems.- Anhang: über die Fortpflanzungsgeschwindigkeit von Erdbebenstrahlen.- Literatur.- Anmerkungen zur Veröffentlichung von Herglotz’ Preisschrift 1914.- Namen- und Sachverzeichnis.