Vorlesungen Über Allgemeine Funktionen-Theorie Und Elliptische Funktionen

ISBN-13: 9783642629563 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 251 str.

Adolf Hurwitz

Opis

Die Vorlesungen von Adolf Hurwitz uber Allgemeine Funktionentheorie und Elliptische Funktionen erschienen 1922 in Band 3 der Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften des Springer-Verlags. Der Herausgeber R. Courant wurde dabei von C.L. Siegel unterstutzt und erganzte den Hurwitzschen Text durch einen Abschnitt Geometrische Funktionentheorie. Der "Hurwitz-Courant" war sofort ein Standardwerk, das eine ausgezeichnete Ubersicht uber die Funktionentheorie von Weierstrass und Riemann gab und Generationen von Mathematikern begeisterte, die - je nach Gemutslage - dem "Hurwitz" oder dem "Courant" hochstes Lob gespendet haben. Das vorliegende Buch ist ein Nachdruck der Hurwitzschen Vorlesungen. Konrad Knopp sagte dazu: "So abgeschliffen und prazis, dass man fast zu muhelos und geradlinig an die Ziele gefuhrt wird."

Spis treści

Erster Abschnitt. Allgemeine Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen.- 1. Kapitel. Die komplexen Zahlen.- § 1. Begriff der komplexen Zahl.- § 2. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen. Sätze über den absoluten Betrag.- § 3. Konvergente Zahlenfolgen. Die Zahlenkugel.- § 4. Grenzwerte unendlicher Zahlenmengen.- § 5. Konvergenz der Reihen mit komplexen Gliedern.- § 6. Komplexe Variable und Funktionen derselben.- § 7. Gleichmäßige Konvergenz.- 2. Kapitel. Die Potenzreihen.- § 1. Konvergenzgebiet einer Potenzreihe.- § 2. Bestimmung des Konvergenzradius.- § 3. Rechnung mit Potenzreihen.- § 4. Prinzip der Koeffizientenvergleichung.- § 5. Ausdehnung der erhaltenen Sätze.- § 6. Die Umbildungen einer Potenzreihe.- § 7. Die Ableitungen einer Potenzreihe.- § 8. Unmittelbare Fortsetzllngen einer Potenzreihe.- § 9. Ein Hilfssatz über Potenzreihen.- 3. Kapitel. Der Begriff der analytischen Funktion.- § 1. Monogene Systeme von Potenzreihen.- § 2. Definition der analytischen Funktion.- § 3. Eindeutige Zweige einer analytischen Funktion.- § 4. Beispiele.- § 5. Die Elementarzweige und ihre singulären Punkte.- § 6. Der Fundamentalsatz der Algebra.- § 7. Singuläre Punkte eines eindeutigen Zweiges.- § 8. Die singulären Stellen der rationalen und der ganzen Funktionen.- § 9. Einige allgemeine Sätze über analytische Funktionen.- § 10. Der Weierstraßsche Summensatz.- 4. Kapitel. Untersuchung einiger spezieller analytischer Funktionen.- § 1. Die Exponentialfunktion.- § 2. Die trigonometrischen Funktionen.- § 3. Der Logarithmus.- § 4. Der Logarithmus als analytische Funktion.- § 5. Die allgemeine Potenz.- 5. Kapitel. Die Integration analytischer Funktionen.- § 1. Gleichmäßige Stetigkeit und Differentiierbarkeit analytischer Funktionen.- § 2. Integration der Potenzreihen.- § 3. Integration der Ableitung einer regulären Funktion.- § 4. Beispiele.- § 5. Integration regulärer Funktionen.- § 6. Der Cauchysche Satz.- § 7. Folgerungen aus dem Cauchysche Satz. Der LaurentscheSatz.- § 8. Die Residuen der analytischen Funktionen.- § 9. Bestimmung der Null- und Unendlichkeitspunkte einer Funktion.- 6. Kapitel. Die meromorphen Funktionen.- § 1. Begriff der meromorphen Funktion.- § 2. Reguläre Konvergenz.- § 3. Die meromorphen Funktionen mit einer endlichen Anzahl von Polen.- § 4. Die meromorphen Funktionen mit unendlich vielen Polen.- § 5. Der Mittag-Lefflersche Satz.- § 6. Allgemeiner Ausdruck einer meromorphen Funktion mit unendlich vielen Polen.- § 7. Der Fall einfacher Pole.- § 8. Beispiele.- § 9. Cauchys Methode der Partialbruchzerlegung.- § 10. Beispiele.- § 11. Ganze Funktionen mit vorgeschriebenen Nullstellen.- § 12. Darstellung der meromorphen Funktionen durch ganze Funktionen.- 7. Kapitel. Die Umkehrung der analytischen Funktionen.- § 1. Umkehrung der Potenzreihen.- Zweiter Abschnitt. Elliptische Funktionen.- 1. Kapitel. Die doppeltperiodischen meromorphen Funktionen.- § 1. Zur geometrischen Darstellung der komplexen Zahlen.- § 2. Sätze über die Perioden einer meromorphen Funktion.- § 3. Das Periodenparallelogramm.- § 4. Definition der elliptischen Funktionen. Der Körper K.- § 5. Allgemeine Sätze über die Funktionen f(u).- § 6. Die Funktion ? (u).- § 7. Die Differentialgleichung von ? (u).- § 8. Das Additionstheorem von ? (u).- § 9. Darstellung der elliptischen Funktionen durch die ? — Funktion.- § 10. Eigenschaften der Funktionen f (u).- § 11. Die Funktion ? (u).- § 12. Darstellung der elliptischen Funktionen durch ? (u).- § 13, Die Funktion ? (u).- § 14. Darstellung der elliptischen Funktionen durch die Funktion ? (u).- §15. Die Funktionen ?(u), ?(u), ?(u) als Funktionen von u, ?1, ?2.- 2. Kapitel. Die Theta-Funktionen.- § 1. Darstellung ganzer Funktionen mit einer gegebenen Periode.- § 2. Bezeichnungen.- § 3. Die Funktion ?1 (?).- § 4. Die Funktionen ?1 (u), ?2 (u), ?a (u).- § 5. Die Funktionen ?2 (v), ?3 (v), ?0 (v).- § 6. Zusammenstellung.- § 7. Zusammenfassende Darstellung der ?-Funktionen. Die ?-Funktionen als Funktionen von ? und ?.- § 8. Verwandlungsformeln und Nullstellen der vier ?-Funktionen.- § 9. Darstellung von e1, e2, e3 und ? durch die Nullwerte der ?.- § 10. Darstellung der ?-Funktionen durch unendliche Produkte.- § 11. Einige zahlentheoretische Anwendungen der erhaltenen Resultate.- § 12. Partialbruchzerlegungen von ? (u) und ? (u) als Funktionen von z2. Darstellungen von ?, g2, g3.- § 13. Entwicklung von $$ \sqrt {\wp (u) - } $$.- 3. Kapitel. Die elliptischen Funktionen Jacobis.- § 1. Definition der Funktionen s(u), c(u), ?(u).- § 2. Die Funktionen s(u), c(u), ?(u) als elliptische Funktionen.- § 3. Die Differentialgleichungen von s(u), c(u), ?(u).- § 4. Die Additionstheoreme von s(u), c(u), ?(u).- § 5. Die trigonometrischen Funktionen als spezielle Fälle der Funktionen s(u), c(u), ?(u).- 4. Kapitel. Die elliptischen Modulfunktionen.- § 1. Äquivalenz der Größenpaare und der Größen.- § 2. Die elementaren Modulformen.- § 3. Die absolute Invariante J(?).- § 4. Die Gleichungen g2 (?1, ?2) = c2 , g3 (?1 , ?2) = c3.- § 5. Die Funktion ?2 (?).- 5. Kapitel. Elliptische Gebilde.- § 1. Das Weierstraßsche Gebilde.- § 2. Das Gebilde y2 = G3 (?).- § 3. Das Gebilde y2 = G4 (?).- § 4. Das Legendresche Gebilde.- § 5. Die Hauptform der Riemannschen Flache des Gebildes y2 = G4 (?).- § 6. Die zweiblättrige Form der Riemannschen Fläche von y2 = G4 (?).- 6. Kapitel. Elliptische Integrale.- § 1. Definitionen.- § 2. Die unbestimmten elliptischen Integrale.- § 3. Die bestimmten elliptischen Integrale.- 7. Kapitel. Die Transformation der elliptischen Funktionen.- § 1. Lineare Transformation der Weierstraßschen Funktionen.- § 2. Lineare Transformation der ?-Funktionen.- § 3. Transformation 2. Ordnung.- § 4. Zusammenhangsformeln der Weierstraßschen mit den Jacobischen elliptischen Funktionen.- § 5. Die Landensche Transformation.- § 6. Das arithmetisch-geometrische Mittel.

Blurb

Die Vorlesungen von Adolf Hurwitz über Allgemeine Funktionentheorie und Elliptische Funktionen erschienen 1922 in Band 3 der Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften des Springer-Verlags. Der Herausgeber Richard Courant wurde dabei von Carl Ludwig Siegel unterstützt; Courant ergänzte den Hurwitzschen Text durch einen Abschnitt Geometrische Funktionentheorie. Der "Hurwitz-Courant" war sofort ein Standardwerk, das eine ausgezeichnete Übersicht über die Weierstraßsche und Riemannsche Funktionentheorie gab. Generationen von Mathematikern haben sich an dem Buch begeistert und - je nach Gemütslage - dem "Hurwitz" oder dem "Courant" höchstes Lob gespendet. Das vorliegende Buch ist ein Nachdruck der Hurwitzschen Vorlesungen; Konrad Knopp sagte dazu: "So abgeschliffen und präzis, daß man fast zu mühelos und geradlinig zum Ziele geführt wird."