Von Eins Bis Neun - Große Wunder Hinter Kleinen Zahlen: Über 100 Mathematische Exkursionen Für Neugierige Und Genießer

ISBN-13: 9783662502501 / Niemiecki / Miękka / 2016 / 234 str.

Marc Chamberland; Michael Basler

Opis

Eine Schatztruhe mathematischer MiniaturenDieses Buch ist eine Einladung zu einer spannenden Entdeckungsreise. Ausgehend von den einstelligen Zahlen eroffnet Marc Chamberland seinen Lesern den Blick auf eine weite mathematische Landschaft. Warum zeigt ein Skatspiel, das man achtmal perfekt gemischt hat, wieder genau dieselbe Kartenfolge? Sind zwei beliebige Menschen auf der ganzen Erde tatsachlich uber eine "Bekanntenkette von sechs Personen" miteinander verbunden? Weshalb lasst sich jede Landkarte mit nur vier Farben so einfarben, dass sich nie zwei Gebiete mit derselben Farbe beruhren? Die Zahlen Eins bis Neun erweisen sich als hochst bemerkenswerte mathematische Objekte, von denen aus der Autor ein Netz von Querverbindungen zu verschiedenen Feldern der Mathematik spannt, von der Zahlentheorie uber die Geometrie, die Chaostheorie und die numerische Mathematik bis zur mathematischen Physik.Jedes Kapitel ist einer dieser neun Zahlen gewidmet. Zu Beginn stehen stets einfache Problemstellungen; im Verlauf des Kapitels nimmt der Schwierigkeitsgrad zu. Jedes Mal durchstreift Chamberland ein weitlaufiges Areal: So ist etwa die Drei ebenso mit der Chaostheorie verknupft wie mit einem noch ungelosten Problem der agyptischen Bruche, mit der Anzahl der Aufsichthabenden in einer Kunstgalerie und der Problematik von Wahlergebnissen. Bei der Sieben geht es um Matrizenmultiplikation, die Transsilvanienlotterie, die Synchronisation von Signalen und den Klang einer Trommel. Immer wieder sind auch Ratsel zu losen wie das der perfekten Quadrate, das Hutratsel oder die Catalan'sche Vermutung. Das Buch ist in viele kurze Abschnitte unterteilt, die man unabhangig lesen und happchenweise konsumieren kann - was beim Ham-Sandwich-Satz und beim Pizzatheorem durchaus wortlich genommen werden darf.Mit den uber 100 Miniaturen offnet der Autor eine wahre mathematische Schatztruhe - fur Neugierige und Kenner, fur Oberstufenschuler wie fur Hochschulstudenten, fur gestandene Mathematiker ebenso wie fur alle, die von Mustern fasziniert sind.

Recenzje

"... richtet sich das Werk aber an Mathematikbegeisterte und einschlägig Vorgebildete, die noch mehr über das Fach erfahren möchten. ... Die Texte sind durchweg gut lesbar und das Buch daher durchaus unterhaltsam und locker. Ausreichend viele Grafiken illustrieren die verschiedenen Sachverhalte. ... Ein umfangreiches, hervorragendes Stichwortverzeichnis erleichtert die Orientierung sehr; außerdem enthält der Band eine brauchbare Zusammenstellung bedeutender Bücher über Mathematik ..." (Heinz Klaus Strick, in: Spektrum der Wisseschaft, 05. Januar 2017)

"Chamberland liefert eine kurzweilige Darstellung mit vielen historischen Bezügen, die stets geistreich und humorvoll geschrieben ist ... Von Eins bis Neun - Große Wunder hinter kleinen Zahlen hat mir die Augen geöffnet für die vielen Verbindungen zwischen den Zahlen Eins bis Neun und verschiedensten Feldern der Mathematik." (Heather Moon, Math Horizons)

"Die Bandbreite der Themen gewährleistet, dass hier praktisch jeder Leser etwas Neues und bisher nicht Bekanntes findet ... [Von Eins bis Neun - Große Wunder hinter kleinen Zahlen] ist ein sehr unterhaltsames Buch, das an vielen Stellen auch fortgeschrittene mathematische Themen leicht zugänglich macht. Absolut zu empfehlen." (Keith Johnson, CMS Notes)

Spis treści

Chapter 1 The Number One 1

Sliced Origami 1

Fibonacci Numbers and the Golden Ratio 2

Representing Numbers Uniquely 5

Factoring Knots 6

Counting and the Stern Sequence 8

Fractals 10

Gilbreath’s Conjecture 13

Benford’s Law 13

The Brouwer Fixed-Point Theorem 16

Inverse Problems 17

Perfect Squares 19

The Bohr–Mollerup Theorem 19

The Picard Theorems 21

Chapter 2 The Number Two 24

The Jordan Curve Theorem and Parity Arguments 24

Aspect Ratio 26

How Symmetric Are You? 27

The Pythagorean Theorem 29

Beatty Sequences 32

Euler’s Formula 33

Matters of Prime Importance 34

The Ham Sandwich Theorem 38

Power Sets and Powers of Two 39

The Sylvester–Gallai Theorem 42

Formulas for _ 43

Multiplication 44

The Thue–Morse Sequence 45

Duals 48

Apollonian Circle Packings 51

Perfect Numbers and Mersenne Primes 53

The Arithmetic-Geometric Mean Inequality 57

Positive Polynomials 59

Newton’s Method for Root Finding 60

More Division via Multiplication 63

The Allure of _2/6 64

Jacobian Conjectures 66

Chapter 3 The Number Three 69

The 3x + 1 Problem 69

Triangular Numbers and Bulgarian Solitaire 71

Rock-Paper-Scissors and Borromean Rings 73

Random Walks 74

Trisecting an Angle 77

The Three-Body Problem 78

The Lorenz Attractor and Chaos 81

Period Three Implies Chaos 83

Patterns among the Stars 85

Fermat’s Last Theorem 86

Leftovers Anyone? 89

Egyptian Fractions 90

Arrow’s Impossibility Theorem 93

Mapping Surfaces 95

Guarding an Art Gallery 96

The Poincaré Conjecture 97

Monge’s Three-Circle Theorem 100

Marden’s Theorem 100

The Reuleaux Triangle 103

Sums of Cubes 108

Approximating Decay 109

Chapter 4 The Number Four 111

The Four Color Theorem 111

The Tennis Ball Theorem 114

Sum of Squares Identities 114

Rearranging Four Pieces 115

Ducci Sequences 116

Euler’s Sum of Powers Conjecture 119

Villarceau Circles 122

The Inscribed Square Problem 123

Regular Polygons on a Computer Screen 124

The Four Travelers Problem 125

The Four Exponentials Conjecture 127

Concentric Quadrilaterals 129

The Four Hats Problem 131

Chapter 5 The Number Five 132

The Miquel Five Circles Theorem 132

The Platonic Solids 133

Solving Polynomial Equations 134

Diophantine Approximation 137

The Petersen Graph 138

The Happy Ending Problem 140

Tessellations 141

Of Balls and Sausages 143

Knights Tours on Rectangular Boards 145

Magic with Five Cards 145

Soccer Balls and Domes 148

Recycling ad Infinitum 148

The Rogers–Ramanujan Identities 150

Chapter 6 The Number Six 156

Optimal Packing 156

Of Friends and Strangers 161

Six Degrees of Separation 161

A Necklace of Spheres 163

Hexagons in Pascal’s Triangle 164

The Game of Hex 165

TheWendt Determinant 167

Six Lengths in Geometry 168

Chapter 7 The Number Seven 170

The Seven Circles Theorem 170

Digits of 1/7 and Ellipses 171

Strassen’s Matrix Multiplication 173

The Fano Plane 175

Border Patterns 177

The Szilassi Polyhedron and the Heawood Graph 178

The Kuratowski Closure–Complement Theorem 179

Can You Hear the Shape of a Drum? 182

Barker Codes 184

Recreational Mathematics 186

Experiments with Integrals 188

Chapter 8 The Number Eight 191

The Pizza Theorem 191

Shuffling Cards 192

The Game of Life 193

Repetition in Pascal’s Triangle 196<

The Sierpi ´nski Carpet 197

Quaternions and Octonions 198

The Summit of E8 202

Chapter 9 The Number nine 205

Nine Points and Collinearity 205

Casting out Nines 207

Primes and Nines 208

The Fifteen Theorem 209

Circle Packings with Two Sizes 210

Catalan’s Conjecture 211

The Heegner Numbers 213

Chapter 10 Solutions 216

Rearranging Four Pieces (Chapter 4) 216

The Four Hats Problem (Chapter 4) 216

The Kuratowski Closure–Complement Theorem

(Chapter 7) 217

Recreational Mathematics (Chapter 7) 217

O autorze

Marc Chamberland ist Inhaber der Myra-Steele-Professur für Naturwissenschaften und Mathematik am Grinnell College in Iowa, USA, und hält dort unter anderem Vorlesungen über Differenzial- und Integralrechnung, lineare Algebra, lineare Programmierung und Chaostheorie. Er ist Autor bzw. Co-Autor von über 40 Veröffentlichungen in referierten Fachzeitschriften. Besonders am Herzen liegt ihm derzeit die experimentelle Mathematik. Chamberland betreibt außerdem den YouTube-Kanal Tipping Point Math, der einem breiten Kreis von Interessenten mathematische Fragen nahebringen soll.

Blurb

Eine Schatztruhe mathematischer Miniaturen

Dieses Buch ist eine Einladung zu einer spannenden Entdeckungsreise. Ausgehend von den einstelligen Zahlen eröffnet Marc Chamberland seinen Lesern den Blick auf eine weite mathematische Landschaft. Warum zeigt ein Skatspiel, das man achtmal perfekt gemischt hat, wieder genau dieselbe Kartenfolge? Sind zwei beliebige Menschen auf der ganzen Erde tatsächlich über eine „Bekanntenkette von sechs Personen“ miteinander verbunden? Weshalb lässt sich jede Landkarte mit nur vier Farben so einfärben, dass sich nie zwei Gebiete mit derselben Farbe berühren? Die Zahlen Eins bis Neun erweisen sich als höchst bemerkenswerte mathematische Objekte, von denen aus der Autor ein Netz von Querverbindungen zu verschiedenen Feldern der Mathematik spannt, von der Zahlentheorie über die Geometrie, die Chaostheorie und die numerische Mathematik bis zur mathematischen Physik.

Jedes Kapitel ist einer dieser neun Zahlen gewidmet. Zu Beginn stehen stets einfache Problemstellungen; im Verlauf des Kapitels nimmt der Schwierigkeitsgrad zu. Jedes Mal durchstreift Chamberland ein weitläufiges Areal: So ist etwa die Drei ebenso mit der Chaostheorie verknüpft wie mit einem noch ungelösten Problem der ägyptischen Brüche, mit der Anzahl der Aufsichthabenden in einer Kunstgalerie und der Problematik von Wahlergebnissen. Bei der Sieben geht es um Matrizenmultiplikation, die Transsilvanienlotterie, die Synchronisation von Signalen und den Klang einer Trommel. Immer wieder sind auch Rätsel zu lösen wie das der perfekten Quadrate, das Huträtsel oder die Catalan‘sche Vermutung. Das Buch ist in viele kurze Abschnitte unterteilt, die man unabhängig lesen und häppchenweise konsumieren kann – was beim Ham-Sandwich-Satz und beim Pizzatheorem durchaus wörtlich genommen werden darf.

Mit den über 100 Miniaturen öffnet der Autor eine wahre mathematische Schatztruhe – für Neugierige und Kenner, für Oberstufenschüler wie für Hochschulstudenten, für gestandene Mathematiker ebenso wie für alle, die von Mustern fasziniert sind.