Unvollständigkeit Und Unentscheidbarkeit: Die Metamathematischen Resultate Von Gödel, Church, Kleene, Rosser Und Ihre Erkenntnistheoretische Bedeutung

ISBN-13: 9783211812082 / Niemiecki / Miękka / 1973 / 116 str.

Wolfgang Stegmuller

Opis

Der heutige Erkenntnistheoretiker kann an den Resultaten der logischen und mathematischen Grundlagenforschung nicht mehr vorbei gehen. Insbesondere sind viele der innerhalb der Metamathematik gewonnenen Ergebnisse von einer so auBerordentlichen theoretischen Bedeutung und Tragweite, daB deren genaues Studium fur jeden, der erkenntnistheoretische Untersuchungen betreiben will, welche auf der Hohe der Zeit stehen, ganz unerlii. J3lich ist. Durch jene Ergebnisse ge winnen wir tiefste Einblicke in die Endlichkeit unseres Denkvermogens, in die Reichweite und die Grenzen des axiomatisch-deduktiven Vor gehens, in das Verhaltnis zwischen formalen, kalkiilmaBig aufgebauten logischen sowie mathematischen Systemen und dem nichtformalisierten intuitiven SchlieBen, in die Beziehung zwischen logischer und mathe matischer Wahrheit einerseits und Beweisbarkeit andererseits, in die Relation zwischen anfechtbaren, "bedenklichen" SchluBweisen der klassischen Logik und fur unbedenklich gehaltenen Operationen, durch welche die ersteren nachtraglich gerechtfertigt werden sollen. Bei ver schiedenen dieser Resultate wird von Oberlegungen ausgegangen, die eine groBe Ahnlichkeit besitzen mit bereits von fruher her bekannten philosophischen Gedankengangen, insbesondere solchen, die zur Konstruk tion von Paradoxien fiihrten. Diese Paradoxien waren meist als mehr oder weniger unfruchtbare, mehr oder weniger sophistische gedankliche Spielereien aufgefaBt worden. Nun konnten aber bedeutende metalogische und metamathematische Resultate dadurch gewonnen werden, daB man an jenen zu Paradoxien fiihrenden Oberlegungen gewisse Modifikationen vornahm, fehlerhafte Elemente ausschied und giiltige SchluBfolgerungen prazisierte und in geschickter Weise auswertete. Dies gilt insbesondere fiir die Antinomie des Liigners von EPIMEN'IDES und das Paradoxon von RICHARD.

Spis treści

A. Intuitiver Zugang zum Gödelschen Unvollständigkeitstheorem: Die Antinomie von Richard.- B. Die Gödelschen Theoreme.- 1. Das formale System ZL.- 2. Die Theoreme von Gödel.- 3. Primitiv rekursive Funktionen und Prädikate.- 4. Die Arithmetisierung der Metatheorie.- C. Die Unentscheidbarkeit der Quantifikationstheorie (Theorem von Church).- Vorbemerkungen.- 5. Allgemein-rekursive Funktionen.- 6. Der Gleichungskalkül von Kleene.- 7. Die schematische Funktionentheorie von Quine.- 8. Das Theorem von Church (nach Quine).- D. Die Verallgemeinerungen von Kleene.- 9. Das Kleenesche T-Prädikat.- 10. Das Aufzählungstheorem und seine Konsequenzen.- 11. Das Normalformentheorem.- 12. Algorithmische Theorien und das Theorem von Church in der Fassung von Kleene.- 13. Rekursive Aufzählbarkeit, Beweisverfahren und das verallgemeinerte Gödelsche Theorem.- 14. Die symmetrische Form des verallgemeinerten Gödelschen Theorems und die Unentscheidbarkeit der elementaren Zahlentheorie.- 15. Zusammenfassung.- E. Anhang.- 16. Die Gödelsche ?-Funktion.- 17. Primitiv rekursive und arithmetische Prädikate und der zahlentheoretische Formalismus.- 18. Einige Definitionen metamathematischer Prädikate.- Namen- und Sachverzeichnis.