Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation

ISBN-13: 9783642987212 / Niemiecki / Miękka / 1937 / 438 str.

Gustav Doetsch;R. Courant

Opis

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben."

Spis treści

I. Teil. Allgemeine Theorie der Laplace-Transformation..- 1. Kapitel: Grundbegriffe der Funktionalanalysis.- 2. Kapitel: Geschichtliches über die Laplace-Transformation.- 3. Kapitel: Definition und analytische Eigenschaften der Laplace-Transformation.- § 1. Der zugrunde gelegte Integralbegriff.- § 2. L-Funktionen und Laplace-Integrale. Konvergenzeigenschaften.- § 3. Laplace-Transformation und l-Funktionen.- § 4. Ausrechnung einiger Laplace-Transformationen.- § 5. Die Dirichletsche Reihe als Laplace-Integral.- § 6. Die zweiseitig unendliche Laplace-Transformation (Mellin-Transformation).- § 7. Die Frage der Eineindeutigkeit der Abbildung des L-Raumes auf den l-Raum.- § 8. Die Laplace-Transformation als unstetige Funktionaltransformation.- 4. Kapitel: Allgemeine funktionentheoretische Eigenschaften der l-Funktionen.- § 1. Regularität der l-Funktion.- 1. Gleichmäßige Konvergenz des Laplace-Integrals.- 2. Regularität der l-Funktion.- § 2. Verhalten bei Annäherung an einen Konvergenzpunkt.- § 3. Verhalten bei Annäherung an s = ?.- § 4. Die Beschränktheitshalbebene.- § 5. Existenz einer Singularität auf der Konvergenzgeraden bei positive L-Funktion.- 5. Kapitel: Die im Unendlichen regulären l-Funktionen.- § 1. Die L-Funktionen vom Exponentialtypus.- § 2. Analytische Fortsetzung der l-Funktion durch Drehung des Integrationsweges in der t-Ebene.- Verallgemeinerung für L-Funktionen, die in einem Winkelraum regulär sind.- § 3. Bestimmung des Konvergenzgebietes von 𝔏(?) durch die Singularitäten von f(s).- 1. Hilfsbetrachtung über konvexe Bereiche.- 2. Die Singularitätenhülle 𝔎 von f(s).- § 4. Der Indikator von F und der Zusammenhang zwischen dem Anwachsen von F und den Singularitäten von f.- § 5. Das Boreische Summabilitätspolygon, seine Ergänzung und Erweiterung.- 6. Kapitel: Die komplexe Umkehrformel der Laplace-Transformation.- § 1. Analogie mit der Potenz- bzw. Fourier-Reihe.- § 2. Das Fondersene Integraltheorem.- § 3. Zur Geschichte des Fourierschen Integraltheorems.- § 4. Die Fourier-Transformation und ihre Umkehrung.- § 5. Die komplexe Umkehrformel für die zweiseitig und einseitig unendliche Laplace-Transformation.- § 6. Anwendung der Umkehrformel: Die Riemannsche Koeffizientenformel der Dirichletschen Reihen.- § 7. Die Umkehrung der zweiseitig unendlichen Laplace-Transformation im Falle einer analytischen L-Funktion.- § 8. Die Mellin-Transformation und ihre Umkehrung.- § 9. Anwendung: Allgemeine funktionentheoretische Sätze über das identische Verschwinden von Funktionen in einer Halbebene.- § 10. Bedingungen für die Darstellbarkeit einer Funktion als Laplace-Integral.- 7. Kapitel: Andere Umkehrformeln für die Laplace-Transformation.- § 1. Berechnung der L-Funktion aus den Ableitungen der l-Funktion.- § 2. Berechnung der L-Funktion aus Werten der l-Funktion in der Umgebung von s = ?.- § 3. Entwicklung der L-Funktion nach Laguerreschen Polynomen.- § 4. Entwicklung der l-Funktion in eine Partialbruchreihe.- § 5. Entwicklung der l-Funktion in eine Reihe nach Potenzen von (math).- § 6. Weitere Umkehrformeln.- 8. Kapitel: Die Abbildung der fundamentalen Operationen an Funktionen.- § 1. Die Abbildung der linearen Substitution.- § 2. Die Abbildung des Integrierens.- 1. Integration der L-Funktion.- 2. Integration der l-Funktion.- § 3. Die Abbildung des Differenzierens.- 1. Differentiation der L-Funktion.- 2. Differentiation der l-Funktion.- § 4. Über die Faltung.- 1. Das Analogon bei Potenzreihen.- 2. Allgemeine Eigenschaften der Faltung.- § 5. Der Faltungssatz für absolut konvergente Laplace-Integrale und Verallgemeinerungen für bedingt konvergente Laplace-Integrale.- § 6. Abbildung des Produktes im L°- bzw. l°-Raum (einseitig unendliche Laplace-Transformation).- 1. Produkt zweier L°-Funktionen.- 2. Produkt zweier l°-Funktionen.- § 7. Abbildung des Produktes im LII0 - bzw. lII0-Raum (zweiseitig unendliche Laplace-Transformation).- 1. Produkt zweier LII0-Funktionen.- 2. Produkt zweier lII0-Funktionen.- II. Teil. Reihenentwicklungen.- 9. Kapitel: Die Übertragung von Reihenentwicklungen.- § 1. Ableitung der linearen Transformationsformel für ?3(0, t) aus einer Fourier-Entwicklung.- § 2. Die lineare Transformationsformel für ?3(v, t) und äquivalente Relationen für die Besselschen Funktionen.- § 3. Reihen nach Laguerreschen Polynomen.- § 4. Reihen nach Hermiteschen Polynomen.- III. Teil. Asymptotisches Verhalten von Funktionen.- 10. Kapitel: Abelsche und Taubersche Sätze.- § 1. Abelsche Sätze.- 1. Asymptotisches Verhalten von f(s) bei s = 0 oder einer anderen endlichen Stelle.- 2. Asymptotisches Verhalten von f(s) bei s = ?.- § 2. Taubersche Sätze reeller Art.- § 3. Taubersche Sätze funktionentheoretischer Art.- 11. Kapitel: Ein allgemeines Prinzip der asymptotischen Entwicklung und die verschiedenen Arten von Asymptotik.- 12. Kapitel: Abelsche Asymptotik.- § 1. Die singulären Stellen Dirichletscher Reihen in Abhängigkeit vom asymptotischen Verhalten der Koeffizienten.- § 2. Asymptotische Reihen im Sinne von Poincaré.- § 3. Das Laplacesche Problem der Funktionen großer Zahlen (Allgemeine Sätze über die asymptotische Darstellung von f(s) für s ? ?).- § 4. Anwendungen.- 1. Die Stirlingsche Reihe für ?(s).- 2. Die asymptotische Entwicklung der Besselschen Funktionen.- 3. Die asymptotische Entwicklung der Gaußschen Fehlerfunktion.- 13. Kapitel: Taubersche Asymptotik.- § 1. Anwendung der reellen Tauber-Sätze: Asymptotische Potenzentwicklungen für F (t) bei t = 0 und t = ?.- 1. Entwicklung bei t = 0.- 2. Entwicklung bei t = ?.- § 2. Anwendung der funktionentheoretischen Tauber-Sätze: Asymptotische Exponentialentwicklung für F(t) bei t = ?.- § 3. Anwendung der funktionentheoretischen Tauber-Sätze: Der Primzahlsatz.- 14. Kapitel: Indirekte Abelsche Asymptotik.- § 1. Asymptotik der Mellin-Transformation bzw. der zweiseitig unendlichen Laplace-Transformation im Falle analytischer Funktionen.- 1. Eine Korrespondenz zwischen meromorphen Funktionen und asymptotischen (verallgemeinerten) Potenzreihen (Mellin-Transformation) bzw. asymptotischen Exponentialreihen (zweiseitig unendliche Laplace-Transformation).- 2. Asymptotik der Stieltjes-Transformation.- § 2. Indirekte Abelsche Asymptotik der einseitig unendlichen Laplace-Transformation.- § 3. Anwendungen.- 1. Das asymptotische Verhalten der ganzen Funktionen vom Ex-ponentialtypus (Beispiel: Besselsche Funktion).- 2. Asymptotische Potenzentwicklung für F(t) bei t = ?.- IV. Teil. Integralgleichungen.- 15. Kapitel: Integralgleichungen vom reellen Faltungstypus.- § 1. Die lineare Integralgleichung.- 1. Die lineare Integralgleichung zweiter Art.- 2. Die lineare Integralgleichung erster Art.- § 2. Allgemeine Integral- und Integrodifferentialgleichungen vom Faltungstypus.- § 3- Die Abelsche Integralgleichung und die Differentiation und Integration nichtganzer Ordnung.- 1. Die Abelsche Integralgleichung.- 2. Integration und Differentiation nichtganzer Ordnung.- 16. Kapitel: Funktionalrelationen mit Faltungsintegralen, insbesondere transzendente Additionstheoreme.- § 1. Thetafunktionen.- § 2. Hermitesche und Laguerresche Polynome, Besselsche Funktionen.- 17. Kapitel: Integralgleichungen und Funktionalrelationen vom komplexen Faltungstypus.- § 1. Der komplexe Faltungstypus im Bereich der l°-Funktionen.- § 2. Der komplexe Faltungstypus im Bereich der m°-Funktionen.- V. Teil. Differentialgleichungen.- 18. Kapitel: Gewöhnliche Differentialgleichungen.- § 1. Die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und beliebiger Störungsfunktion.- 1. Die inhomogene Differentialgleichung mit verschwindenden Anfangsbedingungen.- 2. Die homogene Differentialgleichung mit beliebigen Anfangsbedingungen.- § 2. Ein System von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und behebigen Störungsfunktionen.- 1. Inhomogenes System mit verschwindenden Anfangsbedingungen.- 2. Homogenes System mit beliebigen Anfangsbedingungen.- § 3. Die Beziehung der Methode der Laplace-Transformation zur symbolischen Methode (Heaviside-Kalkül).- 19. Kapitel: Allgemeines über die Behandlung von partiellen Differentialgleichungen durch Funktionaltransformationen.- § 1. Rand- bzw. Anfangswertprobleme und der Sinn der Randbedingungen.- § 2. Die zu einem Rand- bzw. Anfangswertproblem passende Funktionaltransformation.- § 3. Allgemeine Richtlinien für die Behandlung des Anfangswertproblems eines speziellen Typs von partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 20. Kapitel: Die Wärmeleitungsgleichung (parabolischer Typ).- § 1. Das allgemeine Problem mit Randbedingungen dritter Art.- §2. Randbedingungen erster Art: Gegebene Randtemperaturen.- 1. Der Wärmeleiter ohne innere Quellen und mit verschwindender Anfangstemperatur.- 2. Der Wärmeleiter mit verschwindenden Randtemperaturen.- 3. Der unendlich lange Wärmeleiter.- § 3. Randbedingungen zweiter Art: Ausstrahlung am Rand gegeben.- § 4. Eine spezielle Randwertaufgabe dritter Art: Temperatur an dem einen und Ausstrahlung an dem anderen Rand gegeben.- § 5. Die Ein- oder Vieldeutigkeit der Lösung.- 21. Kapitel: Die Telegraphengleichung und die Wellengleichung (hyperbolischer Typ).- § 1. Die Problemstellung.- § 2. Die anfänglich ström- und spannungslose Leitung bei gegebener Randerregung.- 1. Die verlustfreie Leitung (reine Wellengleichung).- 2. Die verzerrungsfreie Leitung.- 3. Der allgemeine Fall.- § 3. Beliebige Anfangsbedingungen in einem Spezialfall.- 22. Kapitel: Die Potentialgleichung (elliptischer Typ).- § 1. Lösbarkeitsbedingungen.- § 2. Lösung der ersten Randwertaufgabe für den Halbstreifen.- 23. Kapitel: Gleichungen mit variablen Koeffizienten.- 24. Kapitel: Die Beziehungen zum Heaviside-Kalkül und zur sog. funktionentheoretischen Methode.- § 1. Der Heaviside-Kalkül bei partiellen Differentialgleichungen.- § 2. Die funktionentheoretische Methode der Techniker.- 25. Kapitel: Huygenssches und Eulersches Prinzip.- § 1. Das Huygenssche Prinzip.- § 2. Das Eulersche Prinzip.- § 3. Die Beziehung zwischen der Erzeugung transzendenter Relationen durch das Huygenssche und Eulersche Prinzip und der Erzeugung durch die Laplace-Transformation.- 1. Einige Hilfssätze der Analysis.- 2. Tabelle von Laplace-Transformationen.- Historische Anmerkungen.