Theorie Der Steinschen Räume

ISBN-13: 9783642666506 / Niemiecki / Miękka / 2011 / 250 str.

H. Grauert; R. Remmert

Opis

1. Der klassische Satz von Mittag-LeIDer, nach dem in jedem Gebiete der GauB schen Zahlenebene ce meromorphe Funktionen mit vorgegebenen Hauptteilen konstruiert werden konnen, wurde bereits 1895 von P. Cousin auf den Fall von mehreren komplexen Veranderlichen iibertragen. Allerdings konnten Cousin und nachfolgende Autoren den analogen Satz nur fUr spezielle Gebiete, namlich Zylindergebiete des m-dimensionalen komplexen Zahlenraumes cern, beweisen. m Es zeigte sich, daB keineswegs in allen Gebieten des ce, 2 S; m

Spis treści

A. Garbentheorie.- § 0. Garben und Prägarben von Mengen.- 1. Garben und Garbenabbildungen.- 2. Summengarben. Untergarben. Einschränkungen.- 3. Schnittflächen.- 4. Prägarben. Der Schnittfunktor ?.- 5. Übergang von Prägarben zu Garben. Der Funktor ?.- 6. Die Garbenbedingungen G1 und G2.- 7. Direkte Produkte.- 8. Bildgarben.- 9. Garbenverklebung.- § 1. Garben mit algebraischer Struktur.- 1. Garben von Gruppen, Ringen und R-Moduln.- 2. Garbenhomomorphismen. Untergarben.- 3. Restklassengarben.- 4. Garben von k-Stellenalgebren.- 5. Algebraische Reduktion.- 6. Prägarben mit algebraischer Struktur.- 7. Zur Exaktheit von ? und ?.- § 2. Kohärente Garben und kohärente Funktoren.- 1. Endliche Garben.- 2. Relationsendliche Garben.- 3. Kohärente Garben.- 4. Kohärenz trivialer Fortsetzungen.- 5. Die Funktoren ? und $$ \wedge ^p$$.- 6. Der Funktor Hem Annulatorgarben.- 7. Quotientengarben.- §3. Komplexe Räume.- 1. k-algebrierte Räume.- 2. Differenzierbare und komplexe Mannigfaltigkeiten.- 3. Komplexe Räume. Holomorphe Abbildungen.- 4. Topologische Eigenschaften komplexer Räume.- 5. Analytische Mengen.- 6. Dimensionstheorie.- 7. Reduktion komplexer Räume.- 8. Normale komplexe Räume.- § 4. Weiche und welke Garben.- 1. Weiche Garben.- 2. Weichheit der Strukturgarbe differenzierbarer Mannigfaltigkeiten.- 3. Welke Garben.- 4. Exaktheit des Funktors ? für welke und weiche Garben.- B. Cohomologietheorie.- § 1. Welke Cohomologietheorie.- 1. Cohomologie von Komplexen.- 2. Welke Cohomologietheorie.- 3. Formales De Rhamsches Lemma.- § 2. ?echsche Cohomologietheorie.- 1. ?echkomplexe.- 2. Alternierende ?echkomplexe.- 3. Verfeinerungen. ?echsche Cohomologiemoduln ?Hq(X,S).- 4. Alternierende ?echsche Cohomologiemoduln ?Haq(X,S).- 5. Verschwindungssatz für kompakte Quader.- 6. Lange exakte Cohomologiesequenz.- §3. Leraysches Lemma und Isomorphiesatz ?Haq (X,S) ?? ?Hq(X,S) ?? Hq(X,S).- 1. Kanonische Garbenauflösung zu einer Überdeckung.- 2. Azyklische Überdeckungen.- 3. Leraysches Lemma.- 4. Der Isomorphiesatz ?Haq (X,S) ? ?Hq(X,S)? Hq(X,S).- I. Kohärenzsatz für endliche holomorphe Abbildungen.- § 1. Endliche Abbildungen und Bildgarben.- 1. Abgeschlossene und endliche Abbildungen.- 2. Die Bijektion $$f_* \left( s \right)_y \to \mathop \Pi \limits_{i = 1}^t s_{x_i } $$;.- 3. Exaktheit des Funktors f*.- 4. Die Isomorphismen $$H^q \left( {X,S} \right) \cong H^q \left( {Y,f_* \left( S \right)} \right)$$.- 5. Die Oy-Modulisomorphie $$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}} :f_* \left( S \right)_y \to \mathop \Pi \limits_1^t S_{x_i } $$.- § 2. Allgemeiner Weierstraßscher Divisionssatz und Weierstraßisomorphismus.- 1. Stetigkeit der Wurzeln.- 2. Allgemeiner Weierstraßscher Divisionssatz.- 3. Der Weierstraßisomorphismus $$O_B^b \mathop \sim \limits_ \to \pi _* \left( {O_A } \right)$$.- 4. Kohärenz des Funktors ?*.- § 3. Der Kohärenzsatz für endliche holomorphe Abbildungen.- 1. Lokaler Projektionssatz.- 2. Endliche holomorphe Abbildungen (lokaler Fall).- 3. Endliche holomorphe Abbildungen und Kohärenz.- II. Differentialformen und Dolbeaulttheorie.- § 1. Komplex-wertige Differentialformen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 1. Tangentialvektoren.- 2. Vektorfelder.- 3. Komplexe r-Vektoren.- 4. Liftung von r-Vektoren.- 5. Komplex-wertige Differentialformen.- 6. Äußere Ableitung.- 7. Liftung von Differentialformen.- 8. De Rhamsche Cohomologiegruppen.- § 2. Differentialformen auf komplexen Mannigfaltigkeiten.- 1. Die Garben A1,0,A0,1 und ?1.- 2. Die Garben Ap,q und ?p.- 3. Die Ableitungen $$\partial $$ und $$\bar \partial $$.- 4. Holomorphe Liftung von(p, q)-Formen.- § 3. Das Lemma von Grothendieck.- 1. Gebietsintegrale. Der OperatorT.- 2. Vertauschbarkeit von T mit partieller Differentiation.- 3. Cauchysche Integralformel und die Gleichung $$T\frac{{\partial f}} {{\partial \bar z}} = f$$.- 4. Lemma von Grothendieck.- § 4. Dolbeaultsche Cohomologietheorie.- 1. Lösung des $$\bar \partial $$-Problems für kompakte Produktmengen.- 2. Dolbeaultsche Cohomologiegruppen.- 3. Analytische De Rham Theorie.- Supplement zu § 4.1. Ein Satz von Hartogs.- III. Theoreme A und B für kompakte Quader im ?m.- § 1. Heftungslemmata von Cousin und Cartan.- 1. Lemma von Cousin.- 2. Beschränkte holomorphe Matrizen.- 3. Lemma von Cartan.- § 2. Verheftung von Garbenepimorphismen.- 1. Approximationssatz von Runge.- 2. Heftungslemma für Garbenepimorphismen.- § 3. Theoreme A und B.- 1. Kohärente analytische Garben über kompakten Quadern.- 2. Formulierung der Theoreme A und B. Reduktion von Theorem B auf Theorem A.- 3. Beweis von Theorem A.- IV. Steinsche Räume.- §1. Der Verschwindungssatz Hq(X,S)=0.- 1. Steinsche Mengen. Folgerungen aus Theorem B.- 2. Konstruktion Steinscher Kompakta mittels des Kohärenzsatzes für endliche Abbildungen.- 3. Ausschöpfung komplexer Räume durch Steinsche Kompakta.- 4. Die Gleichungen Hq(X,S)=0 für q?2.- 5. Die Gleichung H1(X,S)=0. Steinsche Ausschöpfungen.- § 2. Schwache Holomorphiekonvexität und Pflaster.- 1. Holomorph-konvexe Hülle.- 2. Holomorph-konvexe Räume.- 3 Pflaster.- 4. Pflasterausschöpfungen. Schwach holomorph-konvexe Räume.- 5.Holomorphiekonvexität und unbeschränkte holomorphe Funktionen.- §3. Holomorph-vollständige Räume.- 1. Analytische Quader.- 2. Holomorph-ausbreitbare Räume.- 3. Holomorph-vollständige Räume.- § 4. Quaderausschöpfungen sind Steinsch.- 1. Gute Seminormen.- 2. Verträglichkeitssatz.- 3. Konvergenzsatz.- 4. Approximationssatz.- 5. Quaderausschöpfungen sind Steinsch.- V. Anwendungen der Theoreme A und B.- § 1. Beispiele Steinscher Räume.- 1. Standardkonstruktionen.- 2. Steinsche Überdeckungen.- 3. Resträume komplexer Räume.- 4. Die Räume ?2\0 und ?3\0.- 5. Klassische Beispiele.- 6. Steinsche Gruppen.- § 2. Cousin-Probleme und Poincaré-Problem.- 1. Cousin I-Problem.- 2. Cousin II-Problem.- 3. Poincaré-Problem.- 4. Die exakte Exponentialsequenz 0???O?O*?1.- 5. Okasches Prinzip.- § 3. Divisorenklassen und lokal-freie analytische Garben vom Rang 1.- 1. Divisoren und lokal-freie Garben vom Rang 1.- 2. Der Isomorphismus $$H^1 \left( {X,O^* } \right)\mathop \sim \limits_ \to LF\left( X \right)$$.- 3. Divisorenklassengruppe Steinscher Räume.- §4. Garbentheoretische Charakterisierung Steinscher Räume.- 1. Zykeln und globale holomorphe Funktionen.- 2. Äquivalenzkriterium.- 3. Reduktionssatz.- 4. Differentialformen auf Steinschen Mannigfaltigkeiten.- 5. Topologische Eigenschaften Steinscher Räume.- § 5. Garbentheoretische Charakterisierung Steinscher Bereiche im ?m.- 1. Induktionsprinzip.- 2. Die Gleichungen H1(B,OB)=…=Hm–1(B,OB)=0.- 3. Darstellung der Eins.- 4. Charaktersatz.- § 6. Topologisierung von Schnittmoduln kohärenter Garben.- 0. Frécheträume.- 1. Topologie der kompakten Konvergenz.- 2. Eindeutigkeitssatz.- 3. Existenzsatz.- 4. Eigenschaften der kanonischen Topologie.- 5. Topologisierung von Cq(U,S) und Zq(U,S).- 6. Reduzierte komplexe Räume und kompakte Konvergenz.- 7. Konvergente Reihen.- § 7. Charaktertheorie Steinscher Algebren.- 1. Charaktere und Charakterideale.- 2. Endlichkeitslemma für Charakterideale.- 3. Die Homöomorphie ?:X?X(T).- 4. Komplex-analytische Struktur von X(T).- VI. Endlichkeitssatz.- § 1. Quadrat-integrierbare holomorphe Funktionen.- 1. Der Raum Oh(B).- 2. Bergmansche Ungleichung.- 3. Die Hilberträume Ohk(B).- 4. Saturierte Mengen. Minimumprinzip.- 5. Lemma von Schwarz.- § 2. Monotone Orthogonalbasen.- 1. Monotonie.- 2. Untergrad.- 3. Konstruktion monotoner Orthogonalbasen mittels Minimalfunktionen.- §3. Meßatlanten.- 1. Existenz.- 2. Der Hilbertraum Chq(U,S).- 3. Der Hilbertraum Zhq(U,S).- 4. Verfeinerungen.- § 4. Beweis des Endlichkeitssatzes.- 1. Glättungslemma.- 2. Endlichkeitslemma.- 3. Beweis des Endlichkeitssatzes.- VII. Kompakte Riemannsche Flächen.- § 1. Divisoren und lokal-freie Garben ?(D).- 0. Divisoren.- 1. Divisoren meromorpher Schnittflächen.- 2. Garben ?(D).- 3. Garben O(D).- § 2. Existenz globaler meromorpher Schnittflächen.- 1. Die Sequenz 0??(D)??(D’)?T?0.- 2. Charakteristikensatz und Existenztheorem.- 3. Verschwindungssatz.- 4. Gradgleichung.- § 3. Der Satz von Riemann-Roch (vorläufige Fassung).- 1. Geschlecht. Satz von Riemann-Roch.- 2. Anwendungen.- § 4. Struktur lokal-freier Garben.- 1. Lokal-freie Untergarben.- 2. Existenz lokal-freier Untergarben.- 3. Kanonische Divisoren.- Supplement zu § 4. Satz von Riemann-Roch für lokal-freie Garben.- 1. Chernfunktion.- 2. Eigenschaften der Chernfunktion.- 3. Satz von Riemann-Roch.- §5. Die Gleichung H1(X,?)=0.- 1. Der ?-Homomorphismus O(np)(X)?Hom(H1(X,O(D)),H1(X,O(D+np)).- 2. Die Gleichungen H1(X, O(D+np))=0.- 3. Die Gleichung H1(X,?)=0.- § 6. Der Dualitätssatz von Serre.- 1. Hauptteilverteilungen bzgl. eines Divisors.- 2. Die Gleichung H1(X,O))=I(D).- 3. Linearformen.- 4. Die Ungleichung dim?(X)J?1.- 5. Residuenkalkül.- 6. Dualitätssatz.- § 7. Der Satz von Riemann-Roch (endgültige Fassung).- 1. Die Gleichung i(D)=l(K—D).- 2. Formel von Riemann-Roch.- 3. Theorem B für Garben O(D).- 4. Theorem A für Garben O(D).- 5. Existenz meromorpher Differentialformen.- 6. Lückensatz.- 7. Theoreme A und B für beliebige lokal-freie Garben.- 8. Hodge-Zerlegung von H1(X,?).- §8. Spaltung lokal-freier Garben.- 1. Die Zahl ?(?).- 2. Maximale Untergarben.- 3. Die Ungleichung ?(G)??(?)+2g.- 4. Spaltungskriterium.- 5. Satz von Grothendieck 238.- 6. Existenz der Spaltung.- 7. Eindeutigkeit der Spaltung.- Literatur.- Symbolverzeichnis.