Theorie Der Differentialgleichungen: Vorlesungen Aus Dem Gesamtgebiet Der Gewöhnlichen Und Der Partiellen Differentialgleichungen

ISBN-13: 9783642672255 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 399 str.

Ludwig Bieberbach

Opis

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben."

Spis treści

Erster Abschnitt. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.- I. Kapitel. Elementare Integrationsmethoden.- § 1. Die Trennung der Variablen.- 1. Ein Beispiel.- 2. Die Methode.- 3. Substitutionen, die zur Trennung führen.- 4. Homogene Differentialgleichungen.- 5. Substitutionen, die auf homogene Differentialgleichungen führen.- § 2. Lineare Differentialgleichungen.- 1. Erste Methode.- 2. Zweite Methode.- 3. Die Bernoullische Differentialgleichung.- § 3. Einparametrige Kurvenscharen.- 1. Kurvenscharen.- 2. Differentialgleichungen.- 3. Beispiele.- § 4. Exakte Differentialgleichungen.- 1. Die Methode.- 2. Beispiele.- § 5. Der integrierende Faktor.- 1. Begriffsbestimmung.- 2. Auffindung eines Multiplikators.- 3. Beispiel.- 4. Mehrere Multiplikatoren.- 5. Beispiel.- § 6. Die Clairautsche Differentialgleichung und Verwandtes.- 1. Allgemeine Vorbemerkung.- 2. Die Clairautsche Differentialgleichung.- 3. Singuläres Integral.- 4. Weitere Integralkurven.- 5. Die Lagrangesche Differentialgleichung.- § 7. Ziel und Tragweite der elementaren Integrationsmethoden.- II. Kapitel. Die Methode der sukzessiven Approximationen und verschiedene Anwendungen derselben.- § 1. Das Verfahren der sukzessiven Approximationen.- 1. Existenzsatz.- 2. Bemerkungen.- 3. Integralkurven in Parameterdarstellung.- 4. Systeme.- 5. Zusatz.- § 2. Die graphische Darstellung der Differentialgleichungen.- § 3. Wie beurteilt man die Güte einer Näherung ?.- § 4. Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen.- 1. Stetigkeit.- 2. Differenzierbarkeit.- 3. Zusatz.- 4. Bemerkung.- § 5. Die Euler-Cauchysche Polygonmethode.- 1. Die Methode.- 2. Verallgemeinerung des Existenzsatzes.- § 6. Integration durch Potenzreihen.- § 7. Übertragung der Smirsoxschen Regel.- III. Kapitel. Die Liesche Theorie.- § 1. Die Transformationsgruppe und ihre infinitesimalen Transformationen.- 1. Die Transformationen.- 2. Die Gruppe.- 3. Infinitesimale Transformationen.- 4. Invariante Kurvenscharen.- § 2. Die erweiterte Gruppe.- 1. Erweiterte Gruppe.- 2. Differentialgleichungen mit Transformationen in sich.- § 3. Differentialgleichungen mit bekannter Transformationsgruppe oder mit bekannten infinitesimalen Transformationen.- 1. Ermittlung von Multiplikatoren.- 2. Die Liesche Theorie der elementaren Integrationsmethoden.- 3. Beispiele.- 4. Eine allgemeine Substitutionsmethode.- 5. Beispiel.- § 4. Projektive Transformationen.- 1. Affine Gruppe.- 2. Projektive Gruppe.- IV. Kapitel. Diskussion des Verlaufs der Integralkurven.- § 1. Elementare Betrachtungen.- § 2. Singuläre Punkte.- 1. Allgemeine Bemerkungen.- 2. Typische Fälle.- § 3. Die homogene Differentialgleichung $$y' = \frac{{Cx + Dy}}{{Ax + By}}$$.- § 4. Allgemeine Sätze über den Verlauf der Integralkurven im reellen Gebiet.- 1. Vektorfeld.- 2. Feld von Lösungskurven.- 3. Verhalten der Lösungen für große Parameterwerte.- 4. Geschlossene Integralkurven.- 5. Periodische Lösungen und Spiralen.- 6. Beispiel.- 7. Änderung der Differentialgleichung.- 8. Existenz singulärer Punkte.- 9. Verlauf der Lösungen in der Nähe eines singulären Punktes.- 10. Bemerkungen.- 11. Anwendung auf den Poincaréschen Wiederkehrsatz.- § 5. Die Differentialgleichungen $${x^m}\frac{}{} = ay + bx + \beta \left( {x,y} \right)$$.- § 6. Die Differentialgleichungen $$\frac{}{} = \frac{{Cx + Dy + \delta \left( {x,y} \right)}}{{Ax + By + \varepsilon \left( {x,y} \right)}}$$.- 1. Fragestellung.- 2. ?1, ?2 reell und von gleichem Vorzeichen.- 3. ?1, ?2 konjugiert imaginär.- 4. Knoten und Strudel.- 5. Ein Satz von Bendixson.- 6. ?1, ?2 konjugiert imaginär.- 7. ?1, ?2 reell und von verschiedenem Vorzeichen.- 8. Zusammenfassung.- 9. Wirbel und Strudel.- 10. Methode von Poincaré.- 11. Methode von Bendixson.- 12. Zusatz.- 13. Bemerkungen.- § 7. Über die Verteilung der singulären Stellen.- 1. Übergang zu Kurven auf Flächen.- 2. Der Index.- 3. Anwendung des Eulerschen Polyedersatzes.- § 8. Singuläre Lösungen.- 1. Diskriminantenkurve.- 2. Beispiele.- 3. Singuläre Lösungen.- 4. Diskriminantenkurve und singuläre Lösung.- 5. Singuläre Lösungen und Enveloppen.- 6. Beispiele.- V. Kapitel. Differentialgleichungen erster Ordnung im komplexen Gebiet.- § 1. Feste und bewegliche Singularitäten.- 1. Einteilung der Singularitäten.- 2. Differentialgleichungen mit lauter festen Singularitäten.- 3. Bemerkung.- 4. Analogon des Picardschen Satzes.- 5. Endlich vieldeutige Integrale.- 6. Ein Satz von Hermite.- § 2. Die Differentialgleichungen $$\frac{}{} = \frac{{Cz + Dw + {\beta _2}\left( {z,w} \right)}}{{Az + Bw + {\beta _1}\left( {z,w} \right)}}$$ in der Umgebung von z = w = 0.- Zweiter Abschnitt. Gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- I. Kapitel. Die Existenz der Lösungen.- § 1. Die Methode der sukzessiven Approximationen.- § 2. Geometrische Veranschaulichung.- II. Kapitel. Elementare Integrationsmethoden.- § 1. Einige Typen von Differentialgleichungen.- § 2. Die Differentialgleichung der Kettenlinie.- § 3. Lineare Differentialgleichungen.- 1. Existenzsatz.- 2. Die Gesamtheit der Lösungen.- 3. Linear abhängig und linear unabhängig.- 4. Je drei Lösungen von (2) sind linear abhängig.- 5. Reduktion auf Gleichungen erster Ordnung.- 6. Die adjungierte Differentialgleichung.- 7. Die inhomogene Gleichung.- 8. Konstante Koeffizienten.- 9. Ein Beispiel.- 10. Zusatz.- 11. Die Ricenrische Gleichung.- 12. Nullstellen.- III. Kapitel. Gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung im reellen Gebiet.- § 1. Randwertaufgaben.- 1. Fragestellung.- 2. Beispiele.- 3. Die Alternative.- 4. Explizite Lösung.- § 2. Die Gestalt der Integralkurven.- 1. Ansatz.- 2. Der Fall q (x) < 0 in a ? x ? b.- 3. Der Fall q (x) > 0 in a ? x ? b.- 4. Vergleich verschiedener Differentialgleichungen.- 5. Differentialgleichungen mit Parameter.- 6. Oszillationstheorem.- 7. Eigenwerte und Eigenfunktionen.- 8. Vergleich von Differentialgleichungen.- 9. Sturm-Liouvillesche Differentialgleichungen.- 10. Abschätzung der Nullstellen.- 11. Abschätzung der Eigenwerte.- § 3. Hilfssätze zum Beweis des Entwicklungssatzes.- 1. Interpolation.- 2. Die Abgeschlossenheit.- § 4. Beweis des Entwicklungssatzes.- 1. Reduktion auf eine Konvergenzfrage.- 2. Allgemeiner Konvergenzsatz über Orthogonalfunktionen.- 3. Entwicklungssatz.- 4. FouxiExsche Reihen.- § 5. Die Besselsche Differentialgleichung.- 1. Besselsche Funktionen.- 2. Nullstellen.- 3. Orthogonalsystem.- 4. Entwicklungssatz.- § 6. Zusammenhang mit der Theorie der Integralgleichungen.- § 7. Geschlossene Integralkurven.- 1. Extremalen.- 2. Fragestellung.- 3. Die Methode von Signorini.- 4. Zusätze.- 5. Minimaxmethode.- 6. Geschlossene geodätische Linien.- 7. Methode der Schnittfläche.- IV. Kapitel. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung im komplexen Gebiet.- § 1. Lage der Singularitäten der Lösung.- § 2. Die Natur der Singularitäten.- 1. Die Fundamentalgleichung.- 2. Zwei verschiedene Nullstellen der Fundamentalgleichung.- 3. Doppelwurzel der Fundamentalgleichung.- § 3. Außerwesentliche und wesentliche Singularitäten.- § 4. Auflösung einer Differentialgleichung in der Nähe einer außerwesentlichen singulären Stelle.- 1. Ansatz.- 2. Konvergenzbeweis.- 3. Fundamentalsystem.- § 5. Anwendung auf die Besselsche Differentialgleichung.- § 6. Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse.- § 7. Die hypergeometrische Differentialgleichung.- 1. Aufstellung der Differentialgleichung.- 2. Hypergeometrische Funktionen.- § 8. Analytische Fortsetzung einer einzelnen Lösung.- 1. Konforme Abbildung durch den Quotienten zweier Lösungen.- 2. Schlichte Abbildung.- 3. Automorphe Dreiecksfunktionen.- 4. Zusätze.- § 9. Legendresche Polynome.- § 10. Asymptotische Integration.- 1. Normalreihen.- 2. Berechnung der Normalreihen.- 3. Auflösung der Differentialgleichung.- 4. Asymptotische Darstellung durch die Normalreihen.- § 11. Integration durch bestimmte Integrale.- 1. Der allgemeine Ansatz.- 2. Laplacesche Transformation.- 3. Besselsche Differentialgleichung.- Dritter Abschnitt.- Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung und Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen.- § 1. Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Die unbekannte Funktion kommt explizite nicht vor.- 2. Charakteristiken.- 3. Unität.- 4. Die allgemeine lineare Differentialgleichung.- 5. Charakteristiken.- 6. Unität.- 7. Beispiel.- § 2. Geometrische Deutung. Verallgemeinerung.- § 3. Vorläufige Betrachtung der allgemeinen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung.- § 4. Die allgemeine Gleichung erster Ordnung.- 1. Charakteristische Streifen.- 2. Integralstreifen.- 3. Existenz von Integralflächen.- 4. Unität.- 5. Zusammenfassung.- § 5. Überbestimmte Systeme von partiellen Differentialgleichungen.- § 6. Über die Integration der für die charakteristischen Streifen aufgestellten Differentialgleichungen. Vollständige Integrale.- 1. Das vollständige Integral.- 2. Integration der partiellen Differentialgleichung.- 3. Bestimmung der charakteristischen Integralstreifen.- 4. Konstruktion vollständiger Integrale.- 5. Bemerkung.- 6. Beweisführung für das vollständige Integral.- 7. Eine weitere Methode zur Konstruktion eines vollständigen Integrals.- § 7. Integration einiger spezieller Differentialgleichungen.- 1. Clairautsche Differentialgleichung.- 2. p = f (q, x).- 3. f (x, p) = g (y, q).- 4. f (z, p, q)=0.- 5. Bemerkung.- § 8. Differentialgleichungen, in welchen die unbekannte Funktion nicht explizite vorkommt.- § 9. Anwendungen in der Mechanik.- 1. Die Hamiltonsche Gleichung.- 2. Anziehung eines Massenpunktes aus zwei festen Zentren.- § 10. Die Charakteristikentheorie im Fall von n unabhängigen Veränderlichen.- 1. Charakteristische Streifen.- 2. Aufbau von Integralflächen.- 3. Unität.- § 11. Das vollständige Integral im Falle von n unabhängigen Veränderlichen.- 1. Überbestimmte Systeme.- 2. Konstruktion eines vollständigen Integrals.- 3. Integration der Differentialgleichungen der Charakteristiken.- 4. Neue Methode zur Konstruktion eines vollständigen Integrals.- 5. Bemerkung.- 6. Zusätze.- § 12. Kanonische Transformationen und Berührungstransformationen.- 1. Übergang zu Differentialgleichungen, in denen z fehlt.- 2. Kanonische Transformationen.- 3. Beispiele.- 4. Berührungstransformationen.- 5. Gruppen von kanonischen Transformationen.- 6. Vollständige Integrale.- § 13. Systeme gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 1. Rechnen mit Differentialausdrücken. Differentialgleichungen n-ter Ordnung.- 2. Systeme.- 3. Kanonischer Fall.- Vierter Abschnitt. Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- I. Kapitel. Allgemeines.- § 1. Existenzsatz.- 1. Streifen.- 2. Integralflächen.- § 2. Charakteristiken.- § 3. Monge-Ampèresche Differentialgleichungen.- 1. Charakteristiken erster Ordnung.- 2. Integralflächen.- 3. Zurückführung auf partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.- 4. Beispiel.- § 4. Lineare Differentialgleichungen.- II. Kapitel. Hyperbolische Differentialgleichungen.- § 1. Die Laplacesche Kaskadenmethode.- § 2. Die Riemannsche Integrationsmethode.- 1. Existenzbeweis.- 2. Die Riemannsche Methode.- 3. Existenzbeweise.- § 3. Die Differentialgleichung der schwingenden Saite.- 1. Die Riemannsche Methode.- 2. Superposition von Partikularlösungen.- III. Kapitel. Elliptische Differentialgleichungen.- § 1. Die Greensche Formel.- 1. Aufstellung der Greenschen Formel.- 2. Die Greensche Funktion.- 3. Prinzip des Maximums.- § 2. Die erste Randwertaufgabe.- 1. Das Poissoxsche Integral.- 2 Existenzbeweis.- 3. Allgemeine Bereiche.- 4. Bemerkungen.- 5. Existenz der GREENschen Funktion.- § 3. Die Differentialgleichung ? u + ? u = 0.- 1. Zusammenhang mit der Theorie der Integralgleichungen.- 2. Differentialgleichung der schwingenden Membran.- 3. Spezialfall des Quadrates.- 4. Verteilung der Eigenwerte.- § 4. Verallgemeinerungen.- IV. Kapitel. Parabolische Differentialgleichungen.- § 1. Existenz und Unität der Lösungen.- § 2. Der lineare begrenzte Leiter.- § 3. Der unbegrenzte Leiter.- Namenverzeichnis.