Suites de Sturm, Indice de Maslov Et Périodicité de Bott

ISBN-13: 9783764387099 / Francuski / Twarda / 2008 / 199 str.

Jean Barge; Jean Lannes

Opis

The classical theory of Sturm sequences provides an algorithm for determining the number of roots of a polynomial with real coefficients contained in an open interval. The main purpose of this monograph is to show that a suitable generalization of the theory of Sturm sequences provides, among others: a notion of Maslov index for an algebraic loop of lagrangians defined over a commutative ring; a proof of the fundamental theorem of (algebraic) hermitian K-theory (theorem due to M. Karoubi); a proof of the theorems of (topological) Bott periodicity (in the spirit of the work of F. Latour); the computation of the relative K2-group, symplectic-linear, for all commutative ring (in the spirit of the work of R. Sharpe).

Spis treści

Algèbre linéaire symplectique.- Sur la «composante connexe» du point base dans la lagrangienne infinie.- Le théorème fondamental de la K-théorie hermitienne, à la Karoubi-Villamayor.- Suites de Sturm et H2 de l’homomorphisme hyperbolique.- Généralisations.

Blurb

La théorie classique des suites de Sturm fournit un algorithme pour déterminer le nombre de racines d’un polynôme à coefficients réels contenues dans un intervalle donné. L’objet principal de ce mémoire est de montrer qu’une généralisation adéquate de la théorie des suites de Sturm fournit entre autres choses:

• une notion d’indice de Maslov pour un lacet algébrique de lagrangiens défini sur un anneau commutatif;
• une démonstration du théorème fondamental de la K-théorie (algébrique) hermitienne, théorème dû à M. Karoubi;
• une démonstration des théorèmes de périodicité de Bott (topologique), dans l’esprit des travaux de F. Latour;
• un calcul du groupe K₂ relatif, symplectique-linéaire, pour tous les anneaux commutatifs, dans l’esprit des travaux de R. Sharpe.

Le livre est dans la mesure du possible « self-contained » et élémentaire: il met essentiellement en oeuvre des arguments d’algèbre linéaire ou bilinéaire. Il présente une approche unifiée de l’indice de Maslov en termes de suites de Sturm et de formes quadratiques.