Statistik I: Grundlagen Der Wahrscheinlichkeitstheorie

ISBN-13: 9783790804690 / Niemiecki / Miękka / 1990 / 288 str.

Roland Dillmann

Opis

Das vorliegende Lehrbuch ist der 1. Band einer 2-teiligen Einfuhrung in die Statistik. Es wendet sich an Studienanfanger und soll die inhaltlichen Probleme, die hinter der statistischen Begriffsbildung stehen, vermitteln und das Verstandnis der mathematischen Bezuge fordern. Band 1 beschaftigt sich mit den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die wichtigsten Begriffe und Konzepte werden dargestellt und mit zahlreichen Beispielen erlautert. Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Verteilungs- und Dichtefunktionen, Stichproben und Kennzahlen fur Stichproben und Zufallsvariablen sowie das Gesetz der grossen Zahlen werden in verstandlicher Weise dargelegt und die Bedeutung von Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitstheorie in der Okonomie wird ebenfalls beachtet."

Spis treści

1. Die Bedeutung von Wahrscheinlichkeit in der Ökonomie.- 1.1 Ansatzpunkte für Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen.- 1.1.1. Das Moment der Unsicherheit.- 1.1.2. Mikroökonomische Instabilität versus makroökonomische Stabilität: das Versicherungsproblem.- 1.1.3. Das Problem der Erhebung wirtschaftlicher Daten.- 1.2. Das Erhebungsproblem.- 1.2.1. Das Meßproblem.- 1.2.1.1. Das Beschreibungsproblem.- 1.2.1.2. Das Klassifizierungsproblem.- 1.3. Alternativenbeschreibung und die Definition der Wahrscheinlichkeit.- 1.3.1. Erste Ansätze für Wahrscheinlichkeitsinterpretationen.- 1.3.2. Zur Beschreibung von Alternativen.- 1.3.2.1. Sprachliche Grundlagen der Beschreibung: Objekte, Attribute, Erfüllungsgrade von Attributen.- 1.3.2.2. Zur Leistungsfähigkeit von Attributen: Attribute und Operatoren.- 1.3.2.3. Attribute unterschiedlicher Stufen.- 1.3.2.4. Beispiele.- 1.4. Das Problem unterschiedlicher Skalen: Kardinalskala, Ordinalskala, Nominalskala.- 1.5. Zusammenfassung.- 2. Definition von Ereignissen.- 2.1. Unterscheidung von Alternativen durch Zahlentupel.- 2.1.1. Der Begriff der Zufallsvariablen.- 2.1.2. Einfache Beispiele.- 2.1.3. Das Problem der Gleichheit von Ereignissen.- 2.1.3.1. Gleichheit von Ereignissen heißt Gleichheit ihrer Beschreibung.- 2.1.4. Das Problem der Wiederholung.- 2.1.4.1. Wiederholung als Übereinstimmung von Beschreibungen.- 2.1.4.2. Beispiel für Gleichheit, relativiert auf Beschreibungen.- 2.1.5. Wiederholung bei Zufallsexperimenten.- 2.1.5.1. Die Konzepte der stochastischen Unabhängigkeit und der Gleichverteilung.- 2.2. Ereignisse als Zahlentupel (Vektoren).- 2.2.1. Zur Arbeitsteilung zwischen Realdisziplinen und statistischer Methodenlehre.- 2.2.2. Elementarereignisse und zusammengesetzte Ereignisse.- 2.2.2.1. Oft reicht beschränkte Genauigkeit der Ergebnisbeschreibung aus.- 2.2.2.2. Zur Ungenauigkeit der Messung.- 2.2.2.3. Die logischen Operationen.- 2.2.2.3.1. Verneinung und Komplementbildung.- 2.2.2.3.2. “Und” und “oder” bzw. “Durchschnitt” und “Vereinigung”.- 2.2.2.3.3. Zur Abhängigkeit von Verneinung, Vereinigung, Durchschnitt.- 2.3. Die Ereignisalgebra als Mengensystem des ?n.- 2.3.1. n — dimensionale Intervalle als Basisereignisse.- 2.3.2. Ereignisalgebra und Basisereignisse: die Form der Mengen, die in der Ereignisalgebra liegen.- 2.3.3. Elementarereignisse als Zahlentupel.- 2.3.3.1. Elementarereignisse als Schärfstmögliche Beschreibung von Alternativen.- 2.3.3.2. Zur Bedeutung von “ein Ereignis tritt ein”.- 2.3.4. Zwei Alternativen zur Durchführung einer Erweiterung der Ereignisalgebra.- 2.3.4.1. Die Vorgehensweise der schrittweisen Adjunktion von Ereignissen.- 2.3.4.2. Der Übergang zu abzählbar unendlicher Vereinigung und Durchschnitt.- 2.3.4.3. ? — Algebren.- 2.3.4.3.1. Die Ereignis — ? — Algebra.- 2.3.4.3.2. Der Preis für den Übergang zur Ereignis — ? — Algebra: Preisgabe der Entscheidbarkeit von Ereignissen.- 2.3.4.3.3. Gründe für die Wahl der Ereignis — ? — Algebra.- 2.3.4.3.4. Die Borel’sche — Algebra im Falle, daß die Menge der Elementarereignisse echte Teilmenge des ?n ist.- 2.4. Zusammenfassung.- 3. Wahrscheinlichkeitsverteilungen.- 3.1. Was Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht leisten.- 3.2. Minimalanforderungen, denen Wahrscheinlichkeits-Verteilungen zu genügen haben.- 3.2.1. Das unmögliche und das sichere Ereignis, fast -unmögliche und fast — sichere Ereignisse.- 3.2.2. Wahrscheinlichkeiten sind nicht — negativ.- 3.2.3. Zur Additivität von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.- 3.2.4. Die ? — Additivität von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.- 3.2.5 Definition von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über einer Mengenalgebra.- 3.2.6. Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf An.- 3.2.7. Ein Konstruktionsverfahren zur Übertragung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über An auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen über Bn.- 3.2.8. Ein Beispiel dafür, daß Sn (p) nicht mit der Potenzmenge von ?n übereinstimmen muß.- 3.3. Zusammenfassung.- 4. Beispiele.- 4.1. Einleitung.- 4.2. Mathematische Einführung einiger wichtiger diskreter Verteilungen.- 4.2.1. Die Multinomialverteilung.- 4.2.2. Die Binomialverteilung.- 4.2.2.1. Die B(1, ?) — Verteilung.- 4.2.2.2. Die B(n, ?) — Verteilung.- 4.2.3. Die hypergeometrische Verteilung.- 4.2.4. Die Poisson — Verteilung P(?).- 4.2.5. Die negative Binomialverteilung NB (r, ?).- 4.3. Zur Interpretation einzelner Verteilungen.- 4.3.1. Interpretation der Multinomialverteilung.- 4.3.2. Interpretation der Binomial — Verteilung.- 4.3.3. Interpretation der hypergeometrischen Verteilung.- 4.3.4. Interpretation der Poisson — Verteilung.- 4.3.5. Interpretation der negativen Binomial — Verteilung.- 4.4. Zusammenfassung.- 5. Empirische Verteilungsfunktion, Verteilungs-funktion, Dichtefunktion.- 5.1. Einleitung.- 5.2. Empirische und theoretische Verteilungsfunktion.- 5.2.1. Die empirische — Verteilungsfunktion.- 5.2.2. Die Verteilungsfunktion.- 5.2.3. Klassifikation von Verteilungsfunktionen.- 5.2.4. Der Zusammenhang zwischen Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsverteilung.- 5.3. Der Begriff der Trägermenge.- 5.4. Beispiele.- 5.4.1. Die Binomial — Verteilung B (1, ?).- 5.4.2. Die Binomial — Verteilung B (n, ?).- 5.5. Einige stetige Verteilungen.- 5.5.1. Die Rechteckverteilung R (a,b).- 5.5.2. Die eindimensionale Normalverteilung N (?, ?2).- 5.5.3. Die Standard — Normalverteilung N (O, 1).- 5.5.4. Die Exponentialverteilung Exp (?, ?).- 5.5.5. Die n — dimensionale Normalverteilung N(?, ?).- 5.5.5.1. Sonderfall ? = I (Einheitsmatrix).- 5.5.5.2 Sonderfall n = 2.- 5.5.6. Der Begriff der parametrischen Klasse von Verteilungen.- 5.6. Zur Interpretation einzelner Verteilungen.- 5.6.1. Zur Interpretation der Rechteckverteilung.- 5.6.2. Zur Bedeutung der Normalverteilung.- 5.6.3. Interpretation der Exponentialverteilung.- 5.7. Zusammenfassung.- 6. Charakterisierung eindimensionaler Wahrscheinlichkeitsverteilungen und eindimensionaler Stichproben durch Kennzahlen.- 6.1. Einleitung.- 6.2. Charakterisierung von Stichproben durch Kennzahlen.- 6.2.1. Mittelwerte.- 6.2.2. Streuungsmaße.- 6.2.2.1. Stichprobenstreuung und Stichprobenvarianz.- 6.2.3. Stichprobenmomente und zentrale Stichprobenmomente höherer Ordnung.- 6.2.4. Die eindeutige Beziehung zwischen Stichproben-momenten und Stichproben.- 6.3. Momente und das Problem der Skalenniveaus.- 6.4. Kennzahlen für Stichproben von Zufallsvariablen mit zugrundeliegenden Ordinalskalen.- 6.4.1. Stichprobenmediane bzw. Stichprobenzentralwerte.- 6.4.2. Stichprobenlageparameter.- 6.4.3. Der Modalwert oder häufigster Wert.- 6.5. Momente von eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.- 6.5.1. Der Erwartungswert.- 6.5.2. Varianz und Streuung.- 6.5.3. k-te Momente und zentrale k-te Momente.- 6.5.4. Lageparameter einer Zufallsvariablen.- 6.5.5. Interpretation ausgewählter Kennzahlen.- 6.5.5.1. Der Quotient aus Mittelwert und Stichprobenstreuung.- 6.5.5.2. Der Quotient aus drittem zentralen Stichproben-moment und dritter Potenz der Streuung.- 6.5.5.3. Der Quotient aus viertem zentralem Moment und der vierten Potenz der Streuung.- 6.6. Beispiele zur Bestimmung von Momenten.- 6.7. Der Vergleich von Momenten und Stichprobenmomenten.- 6.7.1. Stichprobenmomente existieren immer, Momente hingegen nicht.- 6.7.2. Beispiele für die Festlegung von Verteilungen durch ihre Momente, wenn der Verteilungstyp bekannt ist.- 6.7.2.1. Die Normalverteilung.- 6.7.2.2. Die Rechteckverteilung.- 6.7.2.3. Die Binomialverteilung.- 6.7.2.4. Die Poisson — Verteilung.- 6.7.3. Standardisierung von eindimensionalen Zufallsvariablen.- 6.8. Cauchy — Verteilung als Beispiel für die Nichtexistenz vom Erwartungswert.- 6.9. Der Erwartungswert von Funktionen.- 6.10. Zusammenfassung.- 7. Kennzahlen für mehrdimensionale Stichproben und Zufallsvariable.- 7.1. Einleitung.- 7.2. Kennzahlen für mehrdimensionale Stichproben.- 7.2.1. Stichprobenmomente für Stichproben kardinal skalierter Zufallsvariabler.- 7.2.1.1. Der Mittelwertvektor.- 7.2.1.2. Stichprobenmomente zweiter Ordnung.- 7.2.1.3. Zentrale Stichprobenmomente zweiter Ordnung: die Stichproben — Varianz — Kovarianz — Matrix.- 7.2.1.4. Allgemeine Stichprobenmomente und zentrale Stichprobenmomente.- 7.2.1.5. Die empirische Korrelation zwischen zwei Komponenten einer Stichprobe einer n-dimensionalen Zufallsvariablen.- 7.2.2. Korrelationsmaße für Serien von Realisationen n-dimensionaler Zufallsvariabler mit ordinalem Skalenniveau.- 7.2.2.1. Spearman’s Rangkorrelationskoeffizient.- 7.2.2.2. Kendall’s Rangkorrelationskoeffizient.- 7.2.3. Korrelationsmaße für Stichproben nominal skalierter Zufallsvariabler.- 7.3. Kennzahlen für mehrdimensionale Zufallsvariable.- 7.3.1. Momente.- 7.3.1.1. Erwartungsvektor.- 7.3.1.2. Momente zweiter Ordnung.- 7.3.1.3. Zentrale Momente zweiter Ordnung: die Varianz -Kovarianz — Matrix.- 7.3.1.3.1. Beispiele.- 7.3.1.3.2. Die Varianz — Kovarianz — Matrix und die stochastische Unabhängigkeit der Komponenten von X.- 7.3.1.4. Allgemeine Momente.- 7.4. Die Korrelationskoeffizienten.- 7.4.1. Die Pearson — Bravais schen Korrelationskoeffizienten für kardinal skalierte Zufallsvariable.- 7.4.2. Zu theoretischen Analogien der empirischen Korrelationsmaße niederer Skalenniveaus.- 7.4.3. Standardisierung mehrdimensionaler Zufallsvariabler.- 7.5. Zusammenfassung.- 8. Randverteilungen und bedingte Verteilungen im Falle n-dimensionaler Verteilungsfunktionen.- 8.1. Einleitung.- 8.2. Die Stichprobenrandverteilungen einer Serie der Länge T von n-dimensionalen Zufallsvariablen.- 8.2.1. Ein Sonderfall: die empirische Verteilungsfunktion der Serie als Produkt ihrer Stichprobenrandverteilungen.- 8.2.2. Repräsentativität von Teilgesamtheiten von Gesamtheiten und die Stichprobenrandverteilungen.- 8.3. Bedingte empirische Verteilungsfunktionen.- 8.3.1. Die zugrundeliegende Fragestellung: ein Beispiel.- 8.4. Bedingte Verteilungen und bedingte Wahrschein-lichkeiten von Ereignissen.- 8.4.1. Ein Problem, das für empirische Verteilungen keines ist, aber für Wahrscheinlichkeitsverteilungen Schwierigkeiten bereitet.- 8.4.2. B-bedingte Verteilungsfunktionen im Falle diskret verteilter Zufallsvariabler.- 8.4.3. B-bedingte Verteilungsfunktionen und B-bedingte Ereigniswahrscheinlichkeiten für den Fall einer Verteilung mit Dichtefunktion.- 8.4.4. Bedingte Verteilungen im Fall stochastischer Unabhängigkeit.- 8.5. Zusammenfassung.- 9. Gesetze der großen Zahlen und zentrale Grenzwertsätze.- 9.1. Einleitung.- 9.2. Problemstellung für die Gesetze der großen Zahlen.- 9.2.1. Worüber sollen große Stichproben genauere Auskunft geben?.- 9.2.2. über den Charakter der Informationen, die man aus großen Stichproben beziehen kann.- 9.2.3. Die Tschebyscheff’sche Ungleichung.- 9.2.4. Das Konzept der Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.- 9.2.5. Erwartungswert und Varianz von Summen von Zufallsvariablen.- 9.2.6 Schwache Gesetze der großen Zahlen.- 9.2.7. Die Markov — Ungleichung.- 9.2.8. Der den starken Gesetzen der großen Zahlen zugrundeliegende Konvergenzbegriff, starke Gesetze der großen Zahlen und der Satz von Glivenko — Cantelli.- 9.2.9. Die Tschebyscheff — Ungleichung für mehr-dimensionale Zufallsvariable.- 9.3. Problemstellung der zentralen Grenzwertsätze.- 9.3.1. Das Faltungsintegral.- 9.3.2. Momenterzeugende Funktionen als Alternative zum Faltungsintegral.- 9.3.3. Charakteristische Funktionen als Alternative zum Faltungsintegral.- 9.3.4. Der Satz von Levi — Cramer.- 9.3.5. Einige charakteristische Funktionen.- 9.3.5.1. Poisson — verteilte Zufallsvariable.- 9.3.5.2. N(O,1) — verteilte Zufallsvariable.- 9.3.5.3. Normalverteilte Zufallsvariable.- 9.3.6. Einige zentrale Grenzwertsätze.- 9.4. Zusammenfassung.- A1. Multiple — Choice — Aufgaben.- A2. Anhang — Rechnen mit komplexen Zahlen.- A3. Abbildungen.- A4. Literaturverzeichnis.- A5. Stichwortverzeichnis.