Sommerfeldsche Polynommethode

ISBN-13: 9783642652233 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 280 str.

Adalbert Rubinowicz

Opis

x mannsche P-Funktion ist. Urn die Gleichungen zu erhalten, die die Parameter def P-Funktion bestimmen, hat man die aus den Koeffizienten p(x), q(x) und e(x) des Eigenwertproblems (E. l) gebildete Funktion der Veranderlichen x p')2 p" q-Ae] 2 [( (E. 4) Sex) = x 2p - 2p - -- mit einer Funktion E( ) der Variablen zu vergleichen, deren Koeffizien ten nur von h sowie den Parametern abhangen, die in unserem FaIle in der gewohnIichen Riemannschen P-Funktion. auftreten. Nach even tueller Durchftihrung einer Partialbruchzerlegung ergeben sich, h sowie die Parameter der P-Funktion aus algebraischen Gleichungen ersten und zweiten Grades. Andere als die genannten sehr einfachen algebraischen Operationen sind zur Angabe der Eigenwerte und der in der Losung (E. 2) auftretenden gewohnlichen P-Funktionen nicht erf orderlich. 1m dritten Kapitel wird die Ermittlung der Losungen der Eigenwert probleme (E. 1) in dem FaIle besprochen, wo pm irgend eine der, kon fluenten Riemannschen P-Funktionen ist, die in den Losungen . (E. 2) der Eigenwertprobleme (E. 1) auftreten konnen. Gegeniiber dem iiblichen Verfahren der individuellen Durchrechnung der einzelnen speziellen Eigenwertprobleme hat die angegebene Fassung den V orteil einer groBen Ersparnis an Rechenaufwand. Sie iibertrifft aber auch die urspriingliche Sommerfeldsche Fassung der Polynom methode dadurch, daB sie die Losung in verschiedenen Gestalten anzu geben gestattet. Man kann z. B. die Losung in einer Form erhalten, wo die Polynome nach steigenden oder fallenden Potenzen von geordnet sind, was die Darstellung und Identifizierung der einzelnen Polynome sehr erleichtert. Z. B."

Spis treści

Kap. 1: Sommerfeldsche Polynommethode in ursprünglicher Fassung.- § 1. Der Sommerfeldsche Ansatz.- § 2. Bestimmung der Funktion E(x) und Definition der Invarianten S(x).- § 3. Ermittlung der Funktion W(x).- § 4. Bedingungen, die die Lösungen von Eigenwertproblemen der Quantentheorie zu erfüllen haben.- Kap. 2: Auflösung von Eigenwertproblemen mit Hilfe der gewöhnlichen Riemannschen P-Funktionen.- § 1. Eigenfunktionen mit gewöhnlichen Riemannschen P-Funktionen.- § 2. Zwei Beispiele: Eigenwertproblem der zugeordneten Kugelfunktionen und das des symmetrischen Kreisels.- § 3. Verwendung von Riemannschen P-Funktionen mit singulären Stellen in beliebigen Punkten.- § 4. Nochmals Eigenwertproblem der zugeordneten Kugelfunktionen als Beispiel.- § 5. Eigenwertproblem der verallgemeinerten zugeordneten Kugelfunktionen als Beispiel.- § 6. Kepler-Problem in der Hypersphäre als Beispiel.- Kap. 3: Auflösung von Eigenwertproblemen mit Hilfe konfluenter Riemannscher P-Funktionen.- § 1. Konfluente hypergeometrische Funktionen.- § 2. Lösung von Eigenwertproblemen mit Hilfe konfluenter P-Funktionen mit einer wesentlich singulären Stelle im Unendlichen. Funktionsklasse BI.- § 3. Zwei Beispiele: Eigenwertproblem des linearen, harmonischen Oszillators und der Radialfunktion eines Ein-Elektronen-Atoms.- § 4. Lösung von Eigenwertproblemen mit Hilfe konfluenter P-Funktionen mit einer wesentlich singulären Stelle im Unendlichen. Funktionsklasse BII.- § 5. Zwei Beispiele: Eigenwertproblem der Besselschen Funktionen und eine Beziehung zwischen zwei konfluenten hypergeometrischen Funktionen.- § 6. Lösung von Eigenwertproblemen mit Hilfe konfluenter P-Funktionen mit wesentlich singulären Stellen im Endlichen. Funktionsklasse CI.- § 7. Lösung von Eigenwertproblemen mit Hilfe konfluenter P-Funktionen mit wesentlich singulären Stellen im Endlichen. Funktionsklasse CII.- Kap. 4: Formelsammlung und verschiedene Anwendungen.- § 1. Formelsammlung zur Sommerfeldschen Polynommethode.- § 2. Ermittlung von Potentialen, die mit Hilfe der Sommerfeldschen Polynommethode lösbare Eigenwertprobleme ergeben.- § 3. Umordnung von Eigenwertproblemen.- § 4. Zweiparametrige Eigenwertprobleme.- Kap. 5: Beziehungen zwischen der Faktorisierungs- und der Polynommethode.- § 1. Die Grundidee der Faktorisierungsmethode.- § 2. Paare von Rekursionsformeln für beliebige Eigenfunktionen eines gegebenen Satzes von Eigenwertproblemen.- § 3. Paare von Rekursionsformeln für die hypergeometrischen Funktionen.- § 4. Ableitung von Rekursionsformeln für Lösungen von Eigenwertproblemen, die sich mit Hilfe der Polynommethode herstellen lassen.- § 5. Faktorisierung des Eigenwertproblems der zugeordneten Kugelfunktionen als Beispiel.- § 6. Mit Hilfe der Polynommethode lösbare und zugleich auch faktorisierbare Eigenwertprobleme. Eigenlösungen mit gewöhnlichen hypergeometrischen Funktionen 2F1(a, b; c; ?).- § 7. Mit Hilfe der Polynommethode lösbare und zugleich auch faktorisierbare Eigenwertprobleme. Eigenlösungen mit konfluenten hypergeometrischen Funktionen 1F1(a; c; ?).- § 8. Typen von faktorisierbaren Eigenwertproblemen.- § 9. Faktorisierungsmethode und umgeordnete Eigenwertprobleme.- § 10. Zusammenhang zwischen der Faktorisierungsmethode und den Lie Algebren.- § 11. Vergleich der Faktorisierungs- und der Polynommethode.- Anhang B: Versuch einer Vereinfachung der Polynommethode.- Anhang C: Mit Hilfe der Polynommethode lösbare, jedoch nicht faktorisierbare Eigenwertprobleme.- Anhang F: Integration der Riccatischen Differentialgleichungen (5,6.11) und (5,6.35).- Namen- und Sachverzeichnis.