Semi-Markoff-Prozesse Mit Endlich Vielen Zuständen: Theorie Und Anwendungen

ISBN-13: 9783540049579 / Niemiecki / Miękka / 1970 / 130 str.

Horand Starmer

Opis

Unter den stochastischen Prozessen sind die Semi-Mark off Prozesse besonders geeignet zur Beschreibung einer gro6en Anzahl von Zufallsvorgangen in Natur, Wirtschaft und Technik. Man denke nur an Wachstumsprozesse, Lagerhaltungs- und Warte schlangenprobleme oder Probleme der Zuverlassigkeit von Sy stemen. Die Semi-Markoff-Prozesse sind gekennzeichnet durch endlich viele oder abzahlbar unendlich viele Zustande, durch die Uber gangswahrscheinlichkeiten und durch die Verteilungsfunktionen fUr die Zustandsdauern. Sie enthalten als Spezialfalle die Klasse der Erneuerungsprozesse (ein einziger Zustand), die Klasse der Markoff-Ketten (konstante gleiche Zustandsdauer aller Zustande) und der Markoff-Prozesse mit stetigem Zeit parameter (negativ-exponentielle Verteilung der Zustands dauern). Dieser Bericht enthalt im ersten Teil einen Abri6 der Erneue rungstheorie, deren Ergebnisse die wesentlichen mathematischen Hilfsmittel fUr die Behandlung der Semi-Markoff-Prozesse lie fern. Im zweiten Teil werden die fUr die Anwendungen wichtig sten Resultate der Theorie der Semi-Markoff-Prozesse hergelei tet. Bekannte Ergebnisse werden mit Namen zitiert. Die Unter suchung beschrankt sich auf die Semi-Markoff-Prozesse mit end lich vielen Zustanden, weil sie fUr die Anwendungen besondere Bedeutung haben und sich mit den einfachen Mitteln des Matrizen kalkUls behandeln lassen. Der Verfasser dankt Herrn Professor Dr. M. Beckmann fUr das freundliche Angebot, diese Arbeit in die Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems aufzunehmen. FUr die sorgfaltige Anfertigung des Maschinenskriptums ist er Frau M. Zech zu Dank verpflichtet, ebenso Herrn U. Voges fUr zahlreiche Korrekturhinweise. Inhaltsverzeichnis 1. Erneuerungstheoretische Grundlagen 1 1 .1. Einlei tung .......... '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . .

Spis treści

1. Erneuerungstheoretische Grundlagen.- 1.1. Einleitung.- 1.2. Erneuerungsprozesse.- 1.2.1. Definition eines Erneuerungsprozesses.- 1.2.2. Die Anzahl der Erneuerungen.- 1.2.3. Die Erneuerungsfunktion.- 1.2.4. Die Erneuerungsdichte.- 1.2.5. Die Laplace-Transformierten von Erneuerungsfunktion und Erneuerungsdichte.- 1.2.6. Charakterisierung der stationären Erneuerungsprozesse.- 1.2.7. Der Poissonprozeß.- 1.2.8. Die Verteilung der Anzahl der Erneuerungen in einem Intervall.- 1.2.9. Die Zeit bis zur nächsten Erneuerung.- 1.3. Grenzwertsätze.- 1.3.1. Vorbemerkung.- 1.3.2. Der verallgemeinerte Satz von Blackwell.- 1.3.3. Der Fundamentalsatz der Erneuerungstheorie.- 1.3.4. Grenzwertsatz für die Verteilung der Zeit bis zur nächsten Erneuerung.- 1.3.5. Grenzwertsatz für die Erneuerungsfunktion.- 1.3.6. Grenzwertsatz für die Erneuerungsdichte.- 1.3.7. Grenzwertsatz für die mittlere Zeit bis zur nächsten Erneuerung.- 1.4. Berechnung von Erneuerungsfunktionen.- 1.5. Überlagerung von Erneuerungsprozessen.- 2. Beschreibung von Semi-Markoff-Prozessen.- 2.1. Stochastische Prozesse.- 2.2. Markoff-Ketten.- 2.3. Semi-Markoff-Prozesse.- 2.4. Zustandskiassen.- 3. Stochastische Matrizen.- 4. Verteilung von Wartezeiten nach Erneuerungen.- 4.1. Das allgemeine Gleichungssystem und seine Lösung.- 4.2. Momente.- 4.3. Spezialisierungen.- 4.3.1. Wartezeit bis zur nächsten k-Erneuerung.- 4.3.2. Abstände der k-Erneuerungen.- 4.3.3. Wartezeit bis zum nächsten h-k-Übergang.- 4.3.4. Abstände der h-k-Übergänge.- 4.3.5. Verweildauern.- 4.3.6. Verweildauern in einer Klasse.- 4.3.7. Einige Identitäten.- 5. Verteilung von Anfangswartezeiten.- 5.1. Die allgemeine Gleichung.- 5.2. Spezialisierungen.- 5.2.1. Wartezeit bis zur ersten k-Erneuerung.- 5.2.2. Wartezeit bis zum ersten h-k-Übergang.- 5.2.3. Bedingte Verweildauern.- 6. Eingebettete Erneuerungsprozesse in stationären Semi-Markoff-Prozessen.- 6.1. h-k-Übergänge.- 6.2. k-Erneuerungen.- 7. Zustandswahrscheinlichkeiten in stationären Semi-Markoff-Prozessen.- 8. Vergröberungen stationärer Semi-Markoff-Prozesse.- 8.1. Bedingte Verweildauern.- 8.2. Zustandswahrscheinlichkeiten.- 8.3. Abstände von Klassenübergängen.- 8.4. Die triviale Vergröberung.- 9. Grenzwertsätze für nichtstationäre Semi-Markoff- Prozesse und Vergröberungen.- 9.1. Zustandswahrscheinlichkeiten.- 9.2. Bedingte Verweildauern.- 10. Hinreichende Bedingungen für die Gültigkeit der Grenzwertsätze.- 10.1. Gitterförmige und arithmetische Verteilungsfunktionen.- 10.2. Faltung von Verteilungsfunktionen.- 10.3. Mischung von Verteilungsfunktionen.- 10.4. Verteilungsfunktionen der Erneuerungsahstände.- 10.5. Erneuerungsdichten.- 11. Spezielle Semi-Markoff-Prozesse und Anwendungen.- 11.1. Markoffprozesse.- 11.1.1. Zustandswahrscheinlichkeiten und mittlere Übergangsahstände.- 11.1.2. Aufenthaltsdauern.- 11.1.2.1. Momente der Aufenthaltsdauern.- 11.1.3. Beispiel.- 11.2. Verallgemeinerte Geburt- und Tod-Prozesse (birth and death processes).- 11.3. Geburt- und Tod-Prozesse.- 12. Nicht behandelte Probleme.- Literatur.