Robuste Entscheidungen: Optimale Auswahl im Rahmen weicher Modelle

ISBN-13: 9783642694141 / Niemiecki / Miękka / 2011 / 202 str.

H. W. Brachinger

Opis

Ausgangspunkt der vorliegenden Arbeit ist einerseits die in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften heute weitverbreitete Ein sicht, dass die fur die Anwendung eines bestimmten Entscheidungs modells notwendigen Kenntnisse in aller Regel nur schwer be schaffbar sind. Im allgemeinen hat man nur vage und mit Unsicher heiten und Ungenauigkeiten behaftete Informationen. Andererseits werden die mit bestimmten Entscheidungsmodellen einhergehenden optimalen Verfahren haufig deshalb kritisiert, weil sie schon bei geringen Abweichungen von den Modellannahmen erheblich an Optima1itat verlieren. Gerade bei unvollkommener Information ist also die "Robustheit" eines Verfahrens von ausschlaggebender Bedeutung. Ziel der folgenden Untersuchungen ist es, ein sogenanntes Gpund modell robuster Entsaheidungen zu entwickeln. Dieses aufbau orientierte Grundmodell soll die Struktur jener Entscheidungs situationen zum Ausdruck bringen, in denen Entscheidungen mit unsicherem Ergebnis gefallt werden mussen und in denen der Ent scheidungstrager eine "robuste" Entscheidung anstrebt. Eine derartige Entscheidung ist dadurch gekennzeichnet, dass der Ent scheidungstrager bereit ist, einen bestimmten Verlust an Opti ma1itat zu zahlen, um dafur ein gewisses Mass an Sicherheit vor unerwunschten Konsequenzen zu gewinnen."

Spis treści

1. Einleitung und Vorhaben.- 1.1 Gründe für die Anwendung klassischer Schätz- bzw. Testverfahren.- 1.1.1 Klassische Schätz- bzw. Testverfahren und deren Optimalitätseigenschaften.- 1.1.2 Naturwissenschaftliche Tradition.- 1.1.3 Zentraler Grenzwertsatz.- 1.1.4 Rechenaufwand.- 1.2 Traditionelle Vorgehensweise der Statistik und ihre Kritik.- 1.2.1 Traditionelle Vorgehensweise.- 1.2.2 Nichtverifizierbarkeit der Modellannahmen.- 1.2.3 Schwächen der Optimalitätskriterien.- 1.2.4 “Unstetigkeit” und “Empfindlichkeit” klassischer Verfahren.- 1.2.5 Nichtberücksichtigung von Nichtstichproben- und Modell-Adäquationsfehlern.- 1.3 Forderungen, die sich aus der Kritik an der traditionellen Vorgehensweise der Statistik ergeben.- 1.3.1 Bildung von “Unsicherheits-Modellen”.- 1.3.2 Konstruktion neuer Optimalitätskriterien.- 1.3.3 Identifikation von Modell-Adäquationsfehlern.- 1.4 Vorhaben.- 2. Weiche Modelle und Robuste Verfahren.- 2.1 Definition des Begriffes “weiches Modell”.- 2.1.1 Vorbemerkungen.- 2.1.2 Bemerkungen zum Modellbegriff.- 2.1.3 Begriff des “Umgebungsmodells”.- 2.1.4 Begriff des “weichen Modells”.- 2.1.5 Begriff der “stochastischen Information”.- 2.1.6 Begriff des “weichen Modells (im engeren 30 Sinn).- 2.2 “Robuste” Verfahren.- 2.2.1 Konzept der “Robustheit”.- 2.2.2 “Robustheit” als Optimalitätskriterium.- 2.2.3 Festlegung einer Aktionenmenge.- 2.2.4 Festlegung einer Zielvorstellung.- 2.2.5 Festlegung eines weichen Modells.- 2.2.6 Festlegung einer Modellannahme.- 2.2.7 Ein Beispiel.- 2.2.7.1 Beschreibung des t-Tests.- 2.2.7.2 Robustheit gegen Abweichungen von der Normalverteilungsannahme.- 2.2.7.3 Robustheit gegen Abweichungen von der Unabhängigkeitsannahme.- 3. Robustheit Als Entscheidungskriterium.- 3.1 Entscheidungsfeld robuster Entscheidungen.- 3.1.1 Aktionenmenge.- 3.1.2 Zustandsmenge.- 3.1.3 Ergebnismenge und Nutzenfunktion.- 3.2 “Prinzip der schwachen Robustheit”.- 3.2.1 Herkömmliche Dominanz.- 3.2.2 Schwache R-Dominanz (R1-Dominanz).- 3.2.3 Vergleich von Dominanz und R1-Dominanz.- 3.2.4 “Schwache Robustheit”.- 3.3 Entscheidungsregeln zum Prinzip der schwachen Robustheit.- 3.3.1 R1-Optimalität bezüglich M0.- 3.3.2 Maximin-R1-Optimalität.- 3.3.3 Vergleich von MM-R1-Optimalität und MM-Optimalität.- 3.4 “Prinzip der starken Robustheit”.- 3.4.1 Starke R-Dominanz (R2-Dominanz).- 3.4.2 Vergleich von R1-Dominanz und R2-Dominanz.- 3.4.3 “Starke Robustheit”.- 3.5 Entscheidungsregeln zum Prinzip der starken Robustheit.- 3.5.1 Begriff der “Umgebung”.- 3.5.2 Begriff der “Metrik”.- 3.5.3 c-Optimalität.- 3.5.4 Existenz c-optimaler Aktionen.- 3.5.5 Stetigkeitskonzept.- 4. Auswahl Robuster Aktionen Als Multikriterielles Entscheidungsproblem.- 4.1 Operationalisierung der Ziele des Problems der Auswahl robuster Aktionen.- 4.1.1 Zielvorstellungen.- 4.1.2 Partielle Ergebnismenge.- 4.1.3 Operationalisierung durch ?3.- 4.1.4 Operationalisierung mit Hilfe stochastischer Information bei endlichem Umgebungsmodell.- 4.1.4.1 Entscheidungsproblem unter Unsicherheit als multikriterielles Entscheidungsproblem unter Sicherheit.- 4.1.4.2 Multikriterielle Beurteilung der Robustheit von Aktionen bezüglich einer Modellannahme Vk.- 4.1.4.3 Amalgamation des zu einer Modellannahme Vk gehörigen Zielfunktionensystems.- 4.2 Amalgamation der Zielfunktionen des Problems der Auswahl robuster Aktionen.- 4.2.1 Zielunterdrückung.- 4.2.2 Vielziele-Optimierung bei linearer partieller Information über die Zielgewichte.- 4.2.2.1 Darstellung einer ordinalen Artenpräferenzrelation durch eine lineare partielle Information über die Zielgewichte.- 4.2.2.2 Aktionenbewertung nach dem MaxEmin-Prinzip.- 4.2.3 Numerische Ermittlung MaxEmin-R-optimaler Aktionen.- 4.2.3.1 Darstellung des Problems der Auswahl MaxEmin-R-optimaler Aktionen als Zweipersonenspiel.- 4.2.3.2 Ermittlung der zur linearen partiellen Information LPI gehörigen Extremalpunktematrix.- 4.2.3.3 Effizienz MaxEmin-R-optimaler Aktionen.- 5. Grundmodell Robuster Entscheidungen und Dessen Wertung.- 5.1 Grundmodell robuster Entscheidungen.- 5.1.1 Aktionenmenge.- 5.1.2 Weiches Modell.- 5.1.3 Nutzen- und Zielfunktionen.- 5.1.4 Entscheidungsregel.- 5.2 Grundmodell robuster statistischer Entscheidungen.- 5.2.1 Statistische Verfahren.- 5.2.2 Stochstisches weiches Modell.- 5.2.3 Folge von Nutzen — und Zielfunktionen.- 5.2.4 Folge von Entscheidungsregeln.- 5.3 Wertung des Grundmodells robuster Entscheidungen.- 5.3.1 Offenlegung der Komplexität des Problems der Auswahl robuster Aktionen.- 5.3.2 Problematik der Vorentscheidungen.- 5.3.3 Klärung der Zielvorstellungen bei der Auswahl robuster Aktionen.- 5.3.4 Wahl eines Entscheidungskriteriums.- 5.3.5 Rechtfertigung des MaxEmin-Prinzips.- 5.3.6 Klärung der Kritik am Begriff “Robustheit”.- 5.3.7 Notwendigkeit und Problematik asymptotischer Betrachtungen.- 5.3.8 “Inference Robustness” versus “Criterion Robustness”.- 5.3.9 Wertung von Robustheitsuntersuchungen.- 6. Strukturierung des Entscheidungsproblems der Auswahl Robuster Verfahren zur Punktschätzung von Lageparametern Anhand des Grundmodells Robuster Entscheidungen.- 6.1 Problem der Parameterpunktschätzung.- 6.1.1 Modellannahmen.- 6.1.2 Realitätsnähe der Modellannahmen.- 6.1.3 Zielvorstellungen bei der Auswahl robuster Punktschätzverfahren.- 6.2 Umgebungsmodelle der Normalverteilungsannahme.- 6.2.1 Kontaminationsumgebungen.- 6.2.2 Totalvariationsumgebungen.- 6.2.3 Prokhorov-Umgebungen.- 6.2.4 Globale Umgebungen.- 6.3 Schadens- bzw. Nutzenfunktionen zur Beurteilung der Robustheitseigenschaften von Punktschätzverfahren.- 6.3.1 Asymptotische Varianz.- 6.3.2 Relative Effizienz.- 6.3.3 Absolute Effizienz.- 6.3.4 Stetigkeitskonzept.- 6.3.5 Einflußkurve.- 6.3.6 Sensitivitätskurve.- 6.3.7 Bruchpunkt.- 6.4 Robuste Punktschätzverfahren.- 6.4.1 M-Schätzer.- 6.4.1.1 Definition.- 6.4.1.2 Hubersche M-Schätzer.- 6.4.1.3 Dilatations-Äquivarianz.- 6.4.1.4 Festlegung der Konstanten k.- 6.4.1.5 Numerische Ermittlung eines M-Schätzwertes.- 6.4.1.6 Robustheitseigenschaften der Huberschen M-Schätzer.- 6.4.1.7 Weitere Familien robuster M-Schätzer.- 6.4.1.8 Robustheitseigenschaften dieser M-Schätzer.- 6.4.2 L-Schätzer.- 6.4.2.1 Definition.- 6.4.2.2 ?-getrimmte Mittelwerte.- 6.4.2.3 Robustheitseigenschaften der ?-getrimmten Mittelwerte.- 6.4.2.4 ?-winsorisierte Mittelwerte.- 6.4.2.5 Robustheitseigenschaften der ?-winsorisierten Mittelwerte.- 6.4.2.6 Weitere robuste L-Schätzer.- 6.4.3 R-Schätzer.- 6.4.3.1 Definition.- 6.4.3.2 Robuste R-Schätzer.- 6.4.3.3 Robustheitseigenschaften dieser robusten R-Schätzer.- 7. Zusammenfassung der Ergebnisse.- Personenverzeichnis.- Stichwortverzeichnis.