Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein

ISBN-13: 9783540669579 / Angielski / Twarda / 2000 / 492 str.

Franz Lemmermeyer

Opis

The history of reciprocity laws is a history of algebraic number theory. This is a book on reciprocity laws, and our introductory remark is placed at the beginning as a warning: in fact a reader who is acquainted with little more than a course in elementary number theory may be surprised to learn that quadratic reciprocity does - in a sense that we will explain - belong to the realm of algebraic number theory. Heeke { 348, p. 59]) has formulated this as follows: Von der Entdeckung des Reziprozitiitsgesetzes kann man die mo derne Zahlentheorie datieren. Seiner Form nach gehort es noch der Theorie der rationalen Zahlen an, es liillt sich aussprechen als eine Beziehung lediglich zwischen rationalen Zahlen; jedoch weist es seinem lnhalt nach iiber den Bereich der rationalen Zahlen hinaus. . . . ] Die Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie hat nun wirk lich gezeigt, daB der lnhalt des quadratischen Reziprozitiitsgesetzes erst verstiindlich wird, wenn man zu den allgemeinen algebraischen Zahlen iibergeht, und daB ein dem Wesen des Problems angemessener Beweis sich am besten mit diesen hoheren Hilfsmitteln fiihren liiBt, wiihrend man von den elementaren Beweisen sagen muB, daB sie 1 vielmehr den Charakter einer nachtriiglichen Verifikation besitzen. Naturally, along with these higher methods came generalizations of the reci procity law itself. It is no exaggeration to say that this generalization changed our way of looking at the reciprocity law dramatically; Emma Lehmer { 509, p."

Spis treści

1. The Genesis of Quadratic Reciprocity.- 2. Quadratic Number Fields.- 3. Cyclotomic Number Fields.- 4. Power Residues and Gauss Sums.- 5. Rational Reciprocity Laws.- 6. Quartic Reciprocity.- 7. Cubic Reciprocity.- 8. Eisenstein’s Analytic Proofs.- 9. Octic Reciprocity.- 10. Gauss’s Last Entry.- 11. Eisenstein Reciprocity.- A. Dramatis Personae.- B. Chronology of Proofs.- C. Some Open Problems.- References.- Author Index.

O autorze

Franz Lemmermeyer hat nach seiner Promotion in Heidelberg und seiner Habilitation in Bonn an Universitäten in den USA und in der Türkei gelehrt, und unterrichtet seit 2007 Mathematik am Gymnasium St. Gertrudis in Ellwangen.

Blurb

This book is about the development of reciprocity laws, starting from conjectures of Euler and discussing the contributions of Legendre, Gauss, Dirichlet, Jacobi, and Eisenstein. Readers knowledgeable in basic algebraic number theory and Galois theory will find detailed discussions of the reciprocity laws for quadratic, cubic, quartic, sextic and octic residues, rational reciprocity laws, and Eisensteins reciprocity law. An extensive bibliography will particularly appeal to readers interested in the history of reciprocity laws or in the current research in this area.