Projektive Ebenen

ISBN-13: 9783642661495 / Niemiecki / Miękka / 2011 / 374 str.

Gunter Pickert

Opis

In den letzten 25 Jahren hat sich aus der Untersuchung der Grund lagen der ebenen projektiven Geometrie ein neues mathematisches Sachgebiet, das der projektiven Ebenen, entwickelt. Wahrend man friiher fast ausschlieBlich das kategorische Axiomensystem der reellen oder der komplexen Geometrie untersuchte, wobei vereinzelte Modelle abweichender Geometrien (nichtdesarguessche, nichtarchimedische) nur zum Zweck von Unabhangigkeitsbeweisen aufgestellt wurden, sollen in dem neuen Gebiet gerade die vielfiiltigen Moglichkeiten projektiver Ebenen, unter denen die reelle und die komplexe Ebene nur besondere FaIle darstellen, behandelt und einer systematischen Untersuchung zuganglich gemacht werden. Man hat also eine ahnliche Erscheinung vor sich wie bei der Entstehung der heutigen Algebra, und so ist es denn nicht verwunderlich, daB viele Algebraiker an der Gestaltung des neuen Gebietes wesentlichen Antell haben, wobei man sich allerdings noch dariiber streiten mag, was Ursache und was Wirkung ist. Genau so wenig nun, wie man etwa die Korpertheorie der Algebra als Grund lagenforschung iiber unser Zahlsystem wird bezeichnen wollen, darf man die Theorie der projektiven Ebenen jetzt noch zu den Grundlagen der projektiven Geometrie rechnen; ja, manche Geometer werden sie iiberhaupt nicht mehr in der Geometrie dulden wollen. In mancher Hinsicht mag es fiir eine Darstellung der Theorie der projektiven Ebenen noch zu friih sein. Dennoch scheint es mir fiir die weitere Forschungsarbeit unbedingt erforderlich, das bisher Gewonnene zusammenzufassen."

Spis treści

Erläuterungen.- A. Rückverweisungen.- B. Allgemeine mathematische Bezeichnungen.- 1. Grundbegriffe.- 1.1. Inzidenzstrukturen.- 1.2. Projektive und affine Ebenen.- 1.3. Freie Erweiterungen.- 1.4. Schließungssätze.- 1.5. Koordinateneinführung in affinen Ebenen.- 1.6. Koordinaten in der dualen Ebene.- 2. Gewebe.- 2.1. Darstellung von 3-Geweben mittels Loops.- 2.2. Isotopie.- 2.3. Die Bedingungen von Reidemeister, Bol und Thomsen.- 2.4. Darstellung von 4-Geweben mittels Doppel-Loops.- 3. Der Satz von Desargues.- 3.1. Zentrale Kollineationen.- 3.2. Der Satz von Desargues.- 3.3. Die Ausartungen des Desarguesschen Satzes.- 3.4. Cartesische Gruppen und Quasikörper.- 3.5. Sonderfälle des Desarguesschen Satzes als Ternarkörpereigenschaften.- 4. Desarguessche Ebenen.- 4.1. Kollineationen und homogene Koordinaten.- 4.2. Doppelverhältnisse.- 4.3. Quasiperspektivitäten.- 4.4. Der Satz vom Viereckschnitt.- 5. Der Satz von Pappos.- 5.1. Mit dem Satz von Pappos gleichwertige Aussagen.- 5.2. Weitere Herleitungen des Desarguesschen Satzes aus dem Satz von Pappos.- 5.3. Homogenität einer projektiven Ebene.- 5.4. Ausartungen des Satzes von Pappos.- 6. Alternativkörper.- 6.1. Definitionen und Rechenregeln.- 6.2. Alternativkörper als Algebra über dem Zentrum.- 6.3. Quadratische Algebren.- 6.4. Alternativkörper der Charakteristik 2.- 6.5. Rechtsalternativkörper.- 7. Moufang-Ebenen.- 7.1.Moufang-Ebenen und Alternativkörper.- 7.2. Der Satz vom vollständigen Viereck.- 7.3. Die Kollineationsgruppe.- 8. Translationsebenen.- 8.1. Translationsebenen und Kongruenzen.- 8.2. Der Kern einer Translationsebene.- 8.3. Die Kollineationsgruppe.- 8.4. Translationsebenen der Charakteristik ? 2.- 8.5. Translationsebenen über assoziativen Quasikörpern.- 9. Angeordnete Ebenen.- 9.1. Anordnungen, Zwischen- und Trennbeziehungen.- 9.2. Angeordnete affine und projektive Ebenen.- 9.3. Einfluß der Anordnung auf die Koordinatenbereiche.- 9.4. Archimedische Anordnung.- 9.5. Ordnungsfunktionen.- 10. Topologische Ebenen.- 10.1. Topologie und Ternärkörper.- 10.2. Angeordnete topologische Ebenen.- 11. Möbius-Netze.- 11.1. Möbius-Netze und dreifache Ausartung des Desarguesschen Satzes.- 11.2. Schließungssätze vom Rang 8.- 12. Endliche Ebenen.- 12.1. Einordnung unter allgemeinere kombinatorische Begriffe.- 12.2. Punkteanzahl.- 12.3. Vollständige Vierecke mit kollinearen Diagonalpunkten.- 12.4. Desarguessche und zyklische Ebenen.- 12.5. Kollineationen.- 1. Kennzeichnung der desarguesschen Ebenen als Untergruppenmengen.- 2. Beweis des Desarguesschen Satzes in einer projektiven Ebene mit genau 8 Punkten auf jeder Geraden.- 3. Ergänzendes über offene Inzidenzstrukturen.- 4. Vereinfachter Beweis des Hauptsatzes über Alternativkörper.- 5. Eine andere Koordinateneinführung.- 6. Die Lenz-Barlotti-Klassifizierung.- 7. Ergänzungen.- Anhang zum Literaturverzeichnis.- Verzeichnis der Formelnummern.- Zeichenzusammenstellung.