Partielle Differentialgleichungen Und Numerische Methoden

ISBN-13: 9783540208235 / Niemiecki / Miękka / 2005 / 286 str.

Stig Larsson; Vidar Thomie; Vidar Thomee

Opis

Das Buch ist fur Studenten der angewandten Mathematik und der Ingenieurwissenschaften auf Vordiplomniveau geeignet. Der Schwerpunkt liegt auf der Verbindung der Theorie linearer partieller Differentialgleichungen mit der Theorie finiter Differenzenverfahren und der Theorie der Methoden finiter Elemente. Fur jede Klasse partieller Differentialgleichungen, d.h. elliptische, parabolische und hyperbolische, enthalt der Text jeweils ein Kapitel zur mathematischen Theorie der Differentialgleichung gefolgt von einem Kapitel zu finiten Differenzenverfahren sowie einem zu Methoden der finiten Elemente. Den Kapiteln zu elliptischen Gleichungen geht ein Kapitel zum Zweipunkt-Randwertproblem fur gewohnliche Differentialgleichungen voran. Ebenso ist den Kapiteln zu zeitabhangigen Problemen ein Kapitel zum Anfangswertproblem fur gewohnliche Differentialgleichungen vorangestellt. Zudem gibt es ein Kapitel zum elliptischen Eigenwertproblem und zur Entwicklung nach Eigenfunktionen. Die Darstellung setzt keine tiefer gehenden Kenntnisse in Analysis und Funktionalanalysis voraus. Das erforderliche Grundwissen uber lineare Funktionalanalysis und Sobolev-Raume wird im Anhang im Uberblick besprochen.

Recenzje

Aus den Rezensionen:

"Die gegenwärtige Darstellung unternimmt es, die elementare Theorie der (linearen) partiellen Differentialgleichungen in enger Verbindung mit numerischen Verfahren darzustellen. ... Nach einem eindimensionalen Randwertproblem werden zunächst elliptische Gleichungen analytisch und dann numerisch diskutiert ... auch Eigenwertprobleme fehlen nicht. ... Erfreulicherweise fehlen auch hyperbolische Gleichungen nicht ... Zusätzlich ... findet man einen kurzen Überblick über einige wichtige Methoden zur Lösung großer linearer Gleichungssysteme. - Insgesamt bietet die Darstellung ... eine klare Einführung in grundlegende Konzepte sowohl der Theorie als auch der Numerik der drei Standardtypen linearer partieller Differentialgleichungen."

(H. Muthsam, in: Monatshefte für Mathematik, 2006, Vol. 148, S. 353f)

Spis treści

Inhaltsverzeichnis 1 Einführung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1.1 Hintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Notation und mathematische Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Physikalische Herleitung der Wärmeleitungsgleichung . . . . . . . . 8 1.4 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Ein Zweipunkt-Randwertproblem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 2.1 Das Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Greensche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Variationsformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Elliptische Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27 3.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Ein Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Das Dirichlet-Problem fur eine Kreisscheibe. Das Poisson-Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4 Fundamentallösungen. Die Greensche Funktion. . . . . . . . . . . . . . 32 3.5 Variationsformulierung des Dirichlet-Problems . . . . . . . . . . . . . . 35 3.6 Ein Neumann-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.7 Regularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 3.8 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4 Finite Differenzenverfahren für elliptische Gleichungen : : : : 45 4.1 Ein Zweipunkt-Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Die Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5 Die Methode der finiten Elemente für elliptische Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 5.1 Ein Zweipunkt-Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.2 Ein Modellproblem in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3 Einige Aspekte der Approximationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.4 Fehlerabschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.5 Eine a posteriori Fehlerabschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.6 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.7 Eine Methode der gemischten finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . . 75 5.8 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6 Das elliptische Eigenwertproblem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81 6.1 Entwicklung nach Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2 Numerische Lösung des Eigenwertproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7 Anfangswertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen: : : : : : : : : : : : : : :