Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (Und Parabolische) Gleichungen

ISBN-13: 9783540642220 / Niemiecki / Miękka / 1998 / 291 str.

Jurgen Jost; Ja1/4rgen Jost

Opis

Dieses Lehrbuch bietet eine Einfuhrung in die moderne Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Der Leser wird zu den wichtigen Methoden und den wesentlichen Aussagen in diesem Bereich hingefuhrt, wobei der Schwerpunkt auf den elliptischen partiellen Differentialgleichungen liegt. Ausgehend von der Laplace-Gleichung (harmonische Funktionen) entwickelt der Autor systematische Techniken, die auch auf grossere Klassen von Differentialgleichungen, und hier insbesondere auch auf nichtlineare Differentialgleichungen, anwendbar sind. Zur Veranschaulichung wurden zahlreiche Ubungsaufgaben aufgenommen. Das Buch richtet sich vor allem an Studenten der Mathematik im Hauptstudium, kann aber fur interessierte Studenten auch gegebenenfalls schon ab dem dritten Semester verwendet werden."

Spis treści

Einleitung: Was sind partielle Differentialgleichungen?.- 1. Die Laplacegleichung als Prototyp einer elliptischen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung.- 1.1 Harmonische Funktionen. Greensche Funktionen.Das Dirichletproblem für die Kugel.- 1.2 Mittelwerteigenschaften harmonischer Funktionen. Subharmonische Funktionen. Das Maximumprinzip.- 2. Das Maximumprinzip.- 2.1 Das Maximumprinzip von E. Hopf.- 2.2 Das Maximumprinzip von Alexandrov und Bakelman.- 2.3 Maximumprinzipien für nichtlineare Differentialgleichungen.- 3. Existenzverfahren I: Methoden, die auf dem Maximumprinzip beruhen 53 3.1 Differenzenverfahren: Diskretisierung von Differentialgleichungen.- 3.2 Die Perronsche Methode.- 3.3 Das alternierende Verfahren von H. A. Schwarz.- 3.4 Randregularität.- 4. Existenzverfahren II: Parabolische Methoden. Die Wärmeleitungsgleichung 79 4.1 Die Wärmeleitungsgleichung: Definition und Maximumprin-zipien.- 4.2 Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung. Bezie-hung zwischen Wärmeleitungsgleichung und Laplacegleichung.- 4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleich-ung.- 4.4 Diskrete Verfahren.- 5. Exkurs: Die Wellengleichung und ihre Beziehungen zur Laplace-und Wärmeleitungsgleichung.- 5.1 Die eindimensionale Wellengleichung.- 5.2 Die Mittelwertmethode: Lösung der Wellengleichung mittels der Darbouxschen Gleichung.- 5.3 Die Energieungleichung und der Zusammenhang mit der Wär-meleitungsgleichung.- 6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung.- 6.1 Halbgruppen.- 6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen.- 6.3 Brownsche Bewegung.- 7. Das Dirichletsche Prinzip. Variationsmethoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen (Existenzverfahren III).- 7.1 Das Dirichletsche Prinzip.- 7.2 Der Sobolevraum W1,2.- 7.3 Schwache Lösungen der Poissongleichung.- 7.4 Quadratische Variationsprobleme.- 7.5 Abstrakte Hilbertraumformulierung des Variationsproblems. Ausblick auf die Methode der finiten Elemente.- 8. Sobolevräume und die L2-Regularitätstheorie 177 8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze von Sobolev, Morrey und John-Nirenberg.- 8.2 Die L2-Regularitätstheorie: Innere Regularität schwacher Lösungen der Poissongleichung.- 8.3 Regularität am Rande und Regularitätsaussagen für Lösun-gen allgemeiner linearer elliptischer Differentialgleichungen.- 9. Starke Lösungen.- 9.1 Die Regularitätstheorie der starken Lösungen.- 9.2 Ausblick auf die LP-Regularitätstheorie und Anwendungen auf Lösungen semilinearer elliptischer Gleichungen.- 10. Die Schaudersche Regularitätstheorie und die Kontinuitäts-methode (Existenzverfahren IV).- 10.1 Die Ca-Regularitätstheorie für die Poissongleichung.- 10.2 Die Schauderschen Abschätzungen.- 10.3 Existenzverfahren IV: Die Kontinuitätsmethode.- 11. Die Mosersche Iterationstechnik und der Regularitätssatz von de Giorgi und Nash.- 11.1 Die Mosersche Harnackungleichung.- 11.2 Eigenschaften von Lösungen elliptischer Gleichungen.- 11.3 Die Regularität von Minima von Variationsproblemen.- A. Banach-und Hilberträume. Die LP-Räume.- Notationsindex.