Optimierungsaufgaben

ISBN-13: 9783540056164 / Niemiecki / Miękka / 1971 / 224 str.

L. Collatz; W. Wetterling

Opis

triebswirtschaftslehre. Es zeigte sich ferner, daB Fragen aus sehr verschie den en Teilen der numerischen Mathematik sich dem Problemkreis der Optimierung unterordnen; so fiihren viele Typen von Anfangswert-und Randwertaufgaben bei gewohnlichen und partiellen Differentialgleichun gen, Approximationsaufgaben, spieltheoretische Fragen und vieles andere auf Optimierungsaufgaben. Der wachsenden Bedeutung dieses Gebietes entsprechend, sind in letzter Zeit eine Anzahl Lehrbiicher erschienen, so daB man nach der Berechtigung eines weiteren Buches fragen wird. Nun beschaftigen sich die meisten der vorhandenen Lehrbiicher mit Teilgebie ten, z. B. mit linearer oder mit nichtlinearer Optimierung (oder "Pro gramming"), mit Spieltheorie usw. So war es die Absicht dieses Buches, einen gewissen Oberblick tiber das gesamte Gebiet zu vermitteln und dabei besonders auch die Zusammenhange und Querverbindungen zwi schen den verschiedenen oben bereits genannten Gebieten darzustellen. Da wir auBerdem den Eindruck haben, daB selbst in Mathematiker Kreisen diese neuen Gebiete, z. B. die schon en allgemeinen Satze tiber Systeme von Gleichungen und Ungleichungen, noch nicht allgemein bekannt geworden sind, wollten wir mit diesem Buche eine allgemeine, leichtfaBliche und auch dem Praktiker verstandliche Einftihrung in dieses vielgestaltige Gebiet mit vollstandigen Herleitungen geben, ohne jedoch allzusehr auf die Einzelheiten der rechnerischen Durchftihrung einzu gehen. Auch konnten verschiedene weitergehende Fragen, wie z. B. die Theorie der optimalen Prozesse (nach PONTRJAGIN) und die dynamische Optimierung (nach BELLMAN) nicht besprochen werden. Das Buch ist aus verschiedenen Vorlesungen der Verfasser an der Universitat Hamburg entstanden."

Spis treści

I. Lineare Optimierung.- § 1. Einführung.- 1.1. Grundtyp der Optimierungsaufgaben.- 1.2. Der Grundtyp in Matrizenschreibweise.- § 2. Lineare Optimierung und Polyeder.- 2.1. Zulässige Punkte und Minimalpunkte.- 2.2. Weitere Ergebnisse über Ecken und Minimalpunkte.- 2.3. Basis einer Ecke.- § 3. Eckenaustausch und Simplexmethode.- 3.1. Eckenaustausch.- 3.2. Simplexverfahren.- 3.3. Entartete Ecken.- 3.4. Bestimmung einer Ausgangsecke.- § 4. Algorithmische Durchführung des Simplexverfahrens.- 4.1. Beschreibung des Schemas.- 4.2. Durchführung eines Austauschschrittes.- 4.3. Beispiel.- 4.4. Simplexmethode bei Gleichungen als Nebenbedingungen.- 4.5. Nachträgliche Hinzufügung einer Variablen.- 4.6. Simplexverfahren mit Variablen ohne Vorzeichenbeschränkung.- 4.7. Sonderformen des Simplexverfahrens.- A. Das revidierte Simplexverfahren.- B. Das duale Simplexverfahren.- C. Ganzzahlige lineare Optimierung.- 4.8. Transportaufgaben und ihre Lösung durch das Simplexverfahren.- § 5. Duale lineare Optimierungsaufgaben.- 5.1. Dualität bei Nebenbedingungen in Form von Gleichungen.- 5.2. Symmetrische duale Probleme mit Ungleichungen als Nebenbedingungen.- 5.3. Dualität bei gemischten Problemen.- 5.4. Lineare Optimierung und Dualität in der Baustatik.- 5.5. Alternativsätze für Systeme von linearen Gleichungen und Ungleichungen.- 5.6. Ein zweiter Weg zur Behandlung der Dualität.- 5.7. Lineare Optimierungsaufgaben mit unendlich vielen Restriktionen.- II. Konvexe Optimierung.- § 6. Einführung.- 6.1. Nichtlineare Optimierungsaufgaben.- 6.2. Konvexe Funktionen.- 6.3. Konvexe Optimierungsaufgaben.- 6.4. Weitere Typen nichtlinearer Optimierungsaufgaben.- 6.5. Einfache Sätze über die Varianten der Konvexität.- 6.6. Klassifikation nichtlinearer differenzierbarer Optimierungsaufgaben.- 6.7. Klassen konvexer und pseudokonvexer Funktionen.- 6.8. Weitere Beispiele stetiger Optimierungsaufgaben.- 6.9. Beispiele ganzzahliger Optimierungen.- § 7. Charakterisierung einer Minimallösung bei konvexer Optimierung.- 7.1. Sattelpunktsatz von Kuhn und Tucker.- 7.2. Einschließungssatz.- § 8. Konvexe Optimierung mit differenzierbaren Funktionen.- 8.1. Lokale Kuhn-Tucker-Bedingungen.- 8.2. Eine Charakterisierung der Menge der Minimallösungen.- 8.3. Konvexe Optimierung mit differenzierbaren Funktionen.- 8.4. Definitheitsbedingungen bei nichtlinearen Optimierungsaufgaben.- § 9. Konvexe Optimierung mit affin-linearen Restriktionsfunktionen.- 9.1. Ein Satz über konvexe Funktionen.- 9.2. Der Kuhn-Tucker-Satz für Optimierungsaufgaben mit affinlinearen Restriktionsfunktionen und konvexer Zielfunktion.- § 10. Numerische Behandlung von konvexen Optimierungsaufgaben.- 10.1. Die Methode der Schnittebenen. Herleitung und Konvergenzbeweis.- 10.2. Zur numerischen Durchführung der Methode der Schnittebenen.- III. Quadratische Optimierung.- § 11. Einführung.- 11.1. Definitionen.- 11.2. Zuteilungen und quadratische Optimierung.- § 12. Kuhn-Tucker-Satz und Anwendungen.- 12.1. Spezialisierung des Kuhn-Tucker-Satzes auf quadratische Optimierungsaufgaben.- 12.2. Existenz einer Lösung und Einschließungssatz.- 12.3. Der Kuhn-Tucker-Satz für quadratische Optimierungsaufgaben mit verschiedenen Typen von Restriktionen.- A. Nebenbedingungen in Form von Gleichungen.- B. Nicht vorzeichenbeschränkte Variable.- § 13. Dualität bei quadratischer Optimierung.- 13.1. Formulierung des dualen Problems.- 13.2. Der Dualitätssatz.- 13.3. Symmetrische Form des Dualitätssatzes.- § 14. Numerische Behandlung von quadratischen Optimierungsaufgaben.- 14.1. Das Verfahren der Schnittebenen bei quadratischen Optimierungsaufgaben.- 14.2. Beispiel zum Verfahren der Schnittebenen.- 14.3. Das Verfahren von Wolfe.- 14.4. Beispiel zum Verfahren von Wolfe.- IV. Tschebyscheff-Approximation und Optimierung.- § 15. Einführung.- 15.1. Approximation als Optimierung.- 15.2. Verschiedene Typen von Approximationsaufgaben.- 15.3. Randwertaufgaben bei elliptischen Differentialgleichungen und Tschebyscheff-Approximation.- 15.4. Kontrahierende Abbildungen in pseudometrischen Räumen und einseitige Tschebyscheff-Approximation.- 15.5. Randwertaufgaben und Optimierung.- § 16. Diskrete lineare Tschebyscheff-Approximation.- 16.1. Zurückführung auf lineare Optimierungsaufgaben.- 16.2. Dualisierung.- 16.3. Weitere Aufgaben der diskreten T-Approximation.- A. Diskrete lineare T-Approximation mehrerer Funktionen.- B. Diskrete einseitige T-Approximation.- C. Eingeschränkte Fehlerquadratmethode.- § 17. Weitere Typen von Approximationsaufgaben.- 17.1. Diskrete nichtlineare Tschebyscheff-Approximation.- 17.2. Lineare kontinuierliche Tschebyscheff-Approximation.- 17.3. Nichtlineare Approximationen, bei denen nichtkonvexe Optimierungsaufgaben auftreten.- 17.4. Distanzierungsaufgaben und Optimierung.- 17.5. Lineare T-Approximation im Komplexen.- V. Elemente der Spieltheorie.- § 18. Matrix-Spiele (Zweipersonen-Nullsummenspiele).- 18.1. Definition und Beispiele.- 18.2. Strategien.- 18.3. Erreichbarer Gewinn und Sattelpunkts-Spiele.- 18.4. Der Hauptsatz der Theorie der Matrixspiele.- 18.5. Matrixspiele und lineare Optimierungsaufgaben.- 18.6. Beispiele für die Durchrechnung von Matrixspielen mit Hilfe des Simplexverfahrens.- § 19. n-Personen-Spiele.- 19.1. Einführung.- 19.2. Nicht kooperative Spiele.- 19.3. Kooperative n-Personen-Nullsummenspiele.- 19.4. Charakteristische Funktion des Spieles.- 19.5. Strategisch äquivalente Spiele. Wesentliche Spiele.- 19.6. Symmetrische n-Personenspiele.- 1. Der Trennungssatz.- 2. Ein Existenzsatz für quadratische Optimierungsaufgaben.- Aufgaben.- Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.