Numerische Verfahren in Der Energietechnik

ISBN-13: 9783519000785 / Niemiecki / Miękka / 1978 / 208 str.

H. Eckhardt; J. Hamann; I. Gahbler

Opis

Die fortschreitende Anwendung numerischer Berechnungsverfah ren in Industrie und Forschung erfordert eine uber das Er lernen einer Programmiersprache hinausgehende Beschaftigung mit diesem Gebiet. Aus dem Grunde wird fur Studierende der Elektrotechnik im 8. Semester seit 6 Jahren an der Techni schen Universitat Braunschweig eine Vorlesung uber numeri sche Verfahren in der Energietechnik angeboten, verbunden mit einer Ubungsstunde, in der eine Einfuhrung in FORTRAN IV gegeben wird, so dass die Studenten Rechenmethoden und Pro grammiertechnik an praxisnahen Beispielen lernen. Das vor liegende Skriptum entstand aus dieser Lehrveranstaltung und behandelt die drei Hauptthemen: Losung von partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung und Systemen von gewohnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung sowie die mathematische Optimierung. Ubergeordnet ist eine Darstellung zur Losung symmetrisch-definiter Gleichungssyste me, da hierauf in den anderen Abschnitten zuruckgegriffen wird. Anschliessend sind einige mathematische Erganzugen zu sammengestellt, die zur Abrundung des Verstandnisses dienen, hierzu gehort eine Einfuhrung in die Begriffe der Variations rechnung. Im Abschnitt uber die Losung partieller Differentialglei chungen 2. Ordnung mit dem Differenzenverfahren und der Me thode der finiten Elemente wird der Schwerpunkt auf die Be rechnung magnetischer Felder gelegt. Die dort gezeigten Uber legungen konnen auf Probleme der elektrischen Feldverteilung, der Warmeleitung, der Stromungsmechanik und der mechanischen Elastizitat ubertragen werden. Bei der Optimierung werden iterative Suchverfahren im Vektorraum fur nichtlineare Pro bleme mit und ohne Restriktionen beschrieben. Hierzu gehort ein weites Anwendungsgebiet, beispielsweise die Festlegung von Parametern und die Dimensionierung von elektrischen Ge raten und Maschine

Spis treści

1. Numerische Lösung symmetrisch-definiter Gleichungssysteme.- 1.1 Grundlagen.- 1.2 Lösung eines linearen Gleichungssystems mit Hilfe von Dreiecksmatrizen, Eliminationsverfahren.- 1.3 Relaxationsrechnung.- 1.3.1 Lösung eines symmetrisch-definiten Gleichungssystems als Minimumproblem.- 1.3.2 Grundprinzip der Relaxation.- 1.3.3 Einzelschrittverfahren (Gauß — Seidel).- 1.3.4 Ganzschrittverfahren.- 1.3.5 Konvergenz eines Iterationsverfahrens.- 1.3.6 Methode der Uberrelaxation.- 1.3.7 Der optimale Uberrelaxationsfaktor.- 1.3.8 Iterative Bestimmung des optimalen Uberrelaxationsfaktors.- 1.3.9 Gradientenmethoden.- 1.3.9.1 Methode des stärksten Abstiegs.- 1.3.9.2 Methode der konjugierten Gradienten.- 1.3.10 Kriterien zur Beendigung eines Iterationsverfahrens.- 1.4 Lineare Gleichungssysteme mit nichtkonstanten Koeffizienten.- 2. Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung.- 2.1 Einteilung und Randbedingungen.- 2.2 Diskretisierung.- 2.3 Lösungsverfahren.- 2.3.1 Differenzenverfahren.- 2.3.2 Differentialgleichung vom parabolischen Typ.- 2.3.3 Differentialgleichung vom elliptischen Typ.- 2.4 Berechnung magnetischer Felder in einer Ebene.- 2.4.1 Aufgabenstellung, Differentialgleichung.- 2.4.2 Differenzenverfahren.- 2.4.2.1 Zeitlich konstante Felder.- 2.4.2.1.1 Kartesische Koordinaten.- 2.4.2.1.2 Polarkoordinaten.- 2.4.2.1.3 Zylinderkoordinaten.- 2.4.2.1.4 Rand-, Symmetrie-, Periodizitäts- und Ubergangsbedingungen.- 2.4.2.1.5 Lösung des Gleichungssystems.- 2.4.2.2 Zeitlich veränderliche Felder, Wirbelstromprobleme.- 2.4.3 Methode der finiten Elemente.- 2.4.3.1 Zeitlich konstante Felder.- 2.4.3.2 Zeitlich veränderliche Felder.- 3. Optimierungsverfahren.- 3.1 Lineare Probleme.- 3.2 Nichtlineare Probleme.- 3.2.1 Nichtlineare Probleme ohne Restriktionen.- 3.2.1.1 Rasterverfahren.- 3.2.1.2 Suchen in Koordinatenrichtungen.- 3.2.1.3 Bestimmung der Schrittweite ?, Minimizing Step.- 3.2.1.4 Approximationsverfahren.- 3.2.1.4.1 Verfahren der konjugierten Richtungen.- 3.2.1.4.2 Gradientenverfahren.- 3.2.1.4.3 Newton-Verfahren.- 3.2.2 Nichtlineare Probleme mit Restriktionen.- 3.2.3 Abbruchkriterien, Skalierung.- 4. Numerische Lösung eines Differentialgleichungssystems 1. Ordnung.- 4.1 Differentialgleichung 1. Ordnung.- 4.1.1 Einfache Lösungsverfahren und Genauigkeit.- 4.1.2 Trapezregel.- 4.1.3 Runge-Kutta-Verfahren.- 4.2 Differentialgleichungssystem 1. Ordnung.- 5. Mathematische Ergänzungen.- 5.1 Normalformen der partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung.- 5.2 Variationsrechnung.- 5.2.1 Die Euler’sche Differentialgleichung.- 5.2.2 Randbedingungen.- 5.2.3 Direkte Lösungsmethoden der Variationsaufgabe.- 5.2.3.1 Verfahren von Ritz (Reihenansatz).- 5.2.3.2 Verfahren von Galerkin.- 5.3 Hamiltonprinzip.- 5.4 Die Lagrange-Energie des magnetischen Feldes.- 6. Beispiele.- 1 Dreieckszerlegung einer unsymmetrischen Matrix.- 2 Cholesky-Zerlegung.- 3 Lösung eines Gleichungssystems mit tridiagonaler Koeffizientenmatrix nach der Methode von Cholesky.- 4 Lösung eines Gleichungssystems mit dem Ganzschritt- und Einzelschrittverfahren.- 5 Konvergenzziffer mit und ohne Uberrelaxation.- 6 Lösen eines Gleichungssystems mit 2 Unbekannten mit dem Gradientenverfahren und nach der Methode der konjugierten Gradienten.- 7 Lösen eines Gleichungssystems mit nichtkonstanten Koeffizienten durch Unterrelaxierung bzw. mit Hilfe des Newton’schen Näherungsverfahrens.- 8 Numerische Lösung der Wärmeleitungsgleichung nach der expliziten und impliziten Methode.- 9 Feldverlauf am Eisen-Luft-Übergang.- 10 Optimierung mit Minimizing Step. Suchen in Koordinaten- und in konjugierten Richtungen.- 11 Optimierung eines M-Schnitt-Magneten.- 12 Transformator als Impulsübertrager.- 13 Einschalten eines Bremsmagneten.- 14 Ausgleichsvorgänge in elektrischen Netzen.- 15 Nachbildung der Magnetisierungskennlinie.