Numerische Verfahren Der Konvexen, Nichtglatten Optimierung: Eine Anwendungsorientierte Einführung

ISBN-13: 9783519005131 / Niemiecki / Miękka / 2004 / 176 str.

Walter Alt

Opis

Konvexe Optimierungsprobleme mit einer nichtglatten Zielfunktion treten in vielen Anwendungen auf, beispielsweise im Zusammenhang mit Penalty-Verfahren fur differenzierbare Optimierungsprobleme, mit der Lagrange-Relaxation bei kombinatorischen Optimierungsproblemen oder bei der Strukturoptimierung von Stabwerken. Die wichtigsten numerischen Verfahren zur Losung solcher Optimierungsprobleme sind Subgradienten- und Bundle-Verfahren. Das Buch gibt eine kompakte Einfuhrung in die Grundlagen dieser Verfahren, die den Leser in die Lage versetzt, einfache Versionen der Verfahren selbst zu implementieren."

Spis treści

1 Einführung.- 1.1 Konvexe Mengen und Funktionen.- 1.2 Konvexe Optimierungsaufgaben.- 1.3 Warum spezielle Verfahren?.- 2 Konvexe Mengen und Funktionen.- 2.1 Konvexe Mengen.- 2.2 Projektion auf konvexe Mengen.- 2.3 Trennungssätze.- 2.4 Konvexe Funktionen.- 2.5 Operationen mit konvexen Funktionen.- 2.6 Affine Minoranten.- 2.7 Lokale Lipschitz-Stetigkeit.- 2.8 Subdifferential und Richtungsableitung.- 2.9 Maximumfunktionen.- 3 Konvexe Optimierungsprobleme.- 3.1 Unrestringierte Probleme.- 3.2 Abstiegsrichtungen.- 3.3 Probleme mit allgemeinen konvexen Restriktionen.- 3.4 Lineare Nebenbedingungen.- 4 Das Subgradientenverfahren.- 4.1 Das Verfahren.- 4.2 Konvergenzbetrachtungen.- 4.3 Numerische Beispiele.- 5 Approximative Ableitungen.- 5.1 Approximation des Subdifferentials.- 5.2 Approximation der Richtungsableitung.- 5.3 Approximative Minima.- 5.4 Approximative Abstiegsrichtungen.- 6 Approximative Abstiegsverfahren.- 6.1 Grundlegende Verfahrenskonzepte.- 6.1.1 Verwendung eines Bundles.- 6.1.2 Approximative Suchrichtungen.- 6.1.3 Verfahren mit approximativer Suchrichtung.- 6.2 Das Schrittweitenverfahren.- 6.2.1 Iterative Berechnung der Schrittweite.- 6.2.2 Das Verfahren.- 6.2.3 Konvergenz des Schrittweitenverfahrens.- 6.3 Konstruktion des Bundles.- 6.4 Ein implementierbares Abstiegsverfahren.- 6.4.1 Das Verfahren.- 6.4.2 Konvergenz des Verfahrens.- 7 Bundle-Verfahren.- 7.1 Stopp-Kriterien.- 7.2 Allgemeiner Verfahrensablauf.- 7.3 Numerische Beispiele.- 8 Bundle-Trust-Region-Verfahren.- 8.1 Grundlage des Verfahrens.- 8.2 Das Trust-Region-Problem.- 8.3 Das Verfahrenskonzept.- 8.4 Implementierung des Verfahrens.- 8.4.1 Anpassung des Trust-Region-Parameters.- 8.4.2 Ein Abbruchkriterium.- 8.4.3 Kriterien für einen Abstiegsschritt.- 8.4.4 Kriterien für einen Nullschritt.- 8.4.5 Berechnung des Trust-Region-Parameters.- 8.4.6 Konstruktion des Bundles.- 8.5 Das Bundle-Trust-Region-Verfahren.- 8.6 Konvergenz des Verfahrens.- 8.7 Numerische Beispiele.- 8.8 Probleme mit linearen Restriktionen.- Übungsaufgaben.

O autorze

Prof. Dr. Walter Alt, Universität Jena

Blurb

In der konvexen, nichtglatten Optimierung betrachtet man das Problem,
ein Minimum einer konvexen Funktion zu berechnen, die
nicht überall differenzierbar ist. Solche Aufgabenstellungen treten
bei der Auswertung von Messdaten und in vielen Anwendungen
der Wirtschaftswissenschaften und der Technik auf. Dieses Lehrbuch
behandelt numerische Verfahren zur Lösung nichtglatter, konvexer
Optimierungsprobleme, die sich im praktischen Einsatz bewährt
haben. Die Verfahren werden so dargestellt, dass der Leser in der
Lage ist, einfache Versionen selbst zu implementieren. Zahlreiche
numerische Beispiele demonstrieren die Anwendung der Verfahren.