Numerische Untersuchung Nichtlinearer Dynamischer Systeme

ISBN-13: 9783540173175 / Niemiecki / Miękka / 1986

Edwin J. Kreuzer

Opis

Ein System, sei es technisch, physikalisch, biologisch, etc., das sich mit der Zeit verandert, wird als dynamisch bezeichnet. Die Untersuchung solcher Systeme gehort mit zu den wichtigsten Aufgaben, die in den Naturwissenschaften und der Technik zu - sen sind. Die Aufgabe des Ingenieurs besteht normalerweise da rin, ein dynamisches System zu entwickeln, das keine ungewollten Bewegungen ausfuhrt. Dabei wird er stets versuchen, den EinfluB unregelmaBigen Verhaltens zu kontrollieren und zu minimieren. Dazu werden Regelsysteme mit Erfolg eingesetzt, die oftmals auch nichtlineare Elemente enthalten. Zur Untersuchung der Dynamik ist naturlich eine gute Kenntnis der wesentlichen Systemparame ter und deren Zusammenwirken erforderlich. Um das Zusammenwirken aller betrachteten GroBen beurteilen zu konnen, benutzt man mathematische Madelle, die im Rahmen dieser Arbeit ausschlieB lich durch gewohnliche Differentialgleichungen oder Differen zengleichungen reprasentiert werden. Naturwissenschaftliche und technische Madelle dynamischer Syste me zielen in der Regel auf das Erklaren von Phanomenen realer Systeme. Zur Formulierung der zugehorigen mathematischen Madelle benutzt man Naturgesetze wie z. B. das Newtonsche Gesetz. Die daraus entstehenden Gleichungen werden, wenn immer das moglich ist, linearisiert. Man kann dann die Gesamtheit der Losungen durch einfache Superposition partikularer Losungen in analyti scher Form erhalten. Die Beschreibung von Modellen durch lineare Gleichungen bedeutet aber eine erhebliche Einschrankung der Lo sungsvielfalt. Neben harmonischen und fastperiodischen Bewegun gen kann nur exponentielles Aufschaukeln oder Abklingen auftre ten. Da sich in realen Systemen stets viele gleichzeitig wirken de Einflusse uberlagern, konnen komplexe Phanomene nur mit vie- len linearen Gleichungen, und auch dann nur ungentigend, be schrieben werden.

Spis treści

1 Einleitung.- 1.1 Literaturübersicht.- 1.2 Mathematische Beschreibung nichtlinearer dynamischer Systeme.- 1.3 Ziele der Arbeit.- 1.4 Inhalt der Arbeit.- 2 Mathematische Grundlagen.- 2.1 Grundbegriffe.- 2.2 Lineare Systeme.- 2.3 Invariante Unterräume.- 2.4 Nichtlineare Systeme.- 2.4.1 Singuläre Punkte.- 2.4.2 Klassifizierung von singulären Punkten.- 2.5 Lineare und nichtlineare Abbildungen.- 2.6 Poincaré-Abbildungen.- 2.7 Periodische Lösungen und Fixpunkte von Punktabbildungen.- 2.7.1 Stabilität von Punktabbildungen.- 2.7.2 Klassifizierung von Fixpunkten.- 2.8 Asymptotisches Verhalten.- 2.8.1 Grenzpunkte und Grenzmengen.- 2.8.2 Analytische Bestimmung von Einzugsgebieten.- 2.8.3 Zur numerischen Bestimmung von Einzugsgebieten.- 3 Konservative Systeme.- 3.1 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen.- 3.2 Wirkungs-Winkelvariablen.- 3.3 Integrierbare und nichtintegrierbare Systeme.- 3.4 Kanonische Störungstheorie.- 3.5 Chaotisches Verhalten flächenbewahrender Abbildungen.- 3.5.1 Instabile Tori.- 3.5.2 Homoklinische Punkte und chaotisches Verhalten.- 3.6 Stabilität mehrdimensionaler Hamiltonscher Systeme.- 3.7 Hénon-Heiles System.- 4 Nichtkonservative Systeme.- 4.1 Attraktoren.- 4.1.1 Volumenkontraktion.- 4.1.2 Definition von Attraktoren.- 4.2 Qualitative Änderung von Attraktoren.- 4.2.1 Periodenverdopplung.- 4.2.2 Hopf-Verzweigung.- 4.2.3 Sattelpunkt- oder Tangentenverzweigung, Intermittenz.- 4.2.4 Zusammenfassung der behandelten Szenarios.- 4.3 Charakterisierung von Attraktoren.- 4.3.1 Zeitverläufe.- 4.3.2 Leistungsspektren.- 4.3.3 Ljapunov-Exponenten.- 4.3.4 Dimension.- 4.3.5 Zusammenfassung der charakteristischen Merkmale.- 4.4 Nichtautonomes System: Modifizierte Duffing-Gleichung.- 5 Fundamentale Untersuchungsmethoden.- 5.1 Übersicht über Näherungsverfahren.- 5.1.1 Störungsrechnung.- 5.1.2 Mittelungsmethoden.- 5.2 Zeitverläufe und Phasenportraits durch numerische Integration.- 5.3 Punktabbildungen.- 5.4 Leistungsspektren aus der Fourier-Analyse.- 5.5 Ljapunov-Exponenten.- 5.5.1 Eindimensionale Ljapunov-Exponenten.- 5.5.2 Mehrdimensionale Ljapunov-Exponenten.- 5.5.3 Ljapunov-Exponenten von Punktabbildungen.- 5.5.4 Bemerkungen zu den Ljapunov-Exponenten.- 5.6 Dimension.- 5.7 Entropie und Kurzzeitvorhersagen.- 5.8 Kritische Wertung numerischer Ergebnisse.- 5.9 Nichtautonomes System: Modifizierte Duffing-Gleichung.- 6 Zellabbildungsmethode.- 6.1 Diskretisierung des Zustandsraumes.- 6.2 Einfache Zellabbildungsmethode.- 6.2.1 Gleichgewichtszelle.- 6.2.2 Periodische Zellen.- 6.2.3 Einzugsbereiche.- 6.2.4 Bemerkungen zum Algorithmus.- 6.2.5 Eigenschaften der einfachen Zellabbildung.- 6.2.6 Beispiel zur einfachen Zellabbildung.- 6.3 Allgemeine Zellabbildungsmethode.- 6.4 Zur Theorie der Markov-Ketten.- 6.4.1 Definitionen aus der Theorie der Markov-Ketten.- 6.4.1.1 n-Schritte Übergangswahrscheinlichkeit.- 6.4.1.2 Verknüpfung von Zellen.- 6.4.1.3 Periode.- 6.4.1.4 Klassifizierung der Zellen.- 6.4.1.5 Zerlegung des Zellraumes S in Gruppen.- 6.4.2 Normalform der Zellabbildung.- 6.4.3 Langzeitverhalten beharrlicher Zellen.- 6.4.3.1 Aperiodische beharrliche Gruppen.- 6.4.3.2 Periodische beharrliche Gruppen.- 6.4.4 Langzeitverhalten flüchtiger Zellen.- 6.4.4.1 Absorptionswahrscheinlichkeiten.- 6.4.4.2 Erwartete Absorptionszeiten.- 6.4.4.3 Gauss-Seidel-Iteration.- 6.5 Bemerkungen zum Rechenalgorithmus und Eigenschaften der allgemeinen Zellabbildung.- 6.5.1 Bestimmung der Abbildungsmatrix.- 6.5.2 Codierung der Abbildungsmatrix.- 6.5.3 Eigenschaften der allgemeinen Zellabbildung.- 6.6 Beispiele zur allgemeinen Zellabbildung.- 6.6.1 Autonomes System.- 6.6.2 Nichtautonomes System.- 6.7 Erfahrungen mit der Zellabbildungsmethode.- 6.7.1 Einfache Zellabbildung.- 6.7.2 Allgemeine Zellabbildungsmethode.- 6.7.3 Gegenüberstellung wichtiger Aussagen über Attraktoren.- 7 Zusammenfassung.- Literatur.