Neue Elementargeometrie

ISBN-13: 9783528182601 / Niemiecki / Miękka / 1972 / 144 str.

Gustave Choquet

Opis

Dieses Buch ist fur die Lehrer an hoheren Schulen geschrieben, fur die, die sich auf diesen Beruf vorbereiten und fur alle diejenigen, die die Geometrie lieben. Es wird auch mit Erfolg von 15- bis 18-jahrigen Schulern unter Anleitung ihrer Lehrer verwendet werden konnen. Euklid grundete seine ebene Geometrie auf die Kongruenz von Dreiecken. Drei undzwanzig Jahrhunderte spater definieren die Mathematiker die Ebene als einen affinen mit einem skalaren Produkt versehenen zweidimensionalen Raum. Ich habe gedacht, dass unsere Schuler eine Darstellung der Geometrie brauchen, die wie bei Euklid von der sinnlich wahrnehmbaren Welt ausgeht, es ihnen aber er laubt, recht bald die passenden und fruchtbaren Hilfsmittel der Algebra zu be nutzen. Dieses Buch bietet also eine Axiomatik der Geometrie, die sich auf die Begriffe der Parallelen, der Senkrechten und der Entfernung grundet, aber in einer Form, die in naturlicher Weise und schnell zur algebraischen Struktur der Ebene und des Raumes fuhrt. Mehrere Kapitel sind sodann der Klarung von Fragen gewidmet, die oft als dornen reich angesehen werden; sie betreffen die Bewegungen, die Winkel und das Win kelmass, die Orientierung. Dieses Buch verdankt viel den Diskussionen mit zahlreichen franzosischen und auslandischen Mathematikern und Lehrern. Ich danke insbesondere Herrn Andre Revuz, dessen kritische Bemerkungen und dessen Anregungen mir sehr nutzlich gewesen sind. Gustave Choquet Vorwort zur deutschen Ubersetzung In dem vorliegenden Werk hat der Verfasser, Professor an der Faculte des Sciences in Paris, seine jahrelangen Bemuhungen um einen passenden einfachen axiomatischen Aufbau der Schulgeometrie zusammengetragen."

Spis treści

I. Inzidenz- und Ordnungsaxiome.- A. Geraden und Parallelen.- 1. Das Mengenschema.- 2. Inzidenzaxiome.- 3. Parallelprojektion.- 4. Achsensysteme.- B. Ordnungsaxiome.- 5. Ordnungsstruktur jeder Geraden.- 6. Übertragungsaxiome.- 7. Teilung der Ebene durch eine Gerade.- Übungen zum Kapitel I.- II. Axiome der affinen Struktur.- A. Affine Struktur der Geraden von ?.- 8. Das erste Axiom der affinen Struktur.- 9. Isomorphismus zwischen R und den zentrierten Geraden von ?.- B. Struktur der additiven Gruppe von (?, 0).- 10. Das Übertragungsaxiom.- 11. Parallelprojektionen und Parallelogramme.- 12. Die Addition auf der Ebene (?, 0) und ihre Gruppenstruktur.- C. Translationen der Ebene ?.- 13. Kennzeichnung der Translationen.- 14. Isomorphismus der Gruppen (?, 0).- 15. Freie Vektoren und die Chasles-Relation.- 16. Auswirkungen der Translationen auf die orientierten Geraden.- D. Vektorraum-Struktur von (?, 0).- 17. Zusammenfassung und Definition des Vielfachen eines Vektors.- 18. Linearität der Parallelprojektion.- 19. Satz zur Vektorstruktur.- 20. Basis und Koordinaten. Gleichung einer Geraden.- 21. Die zentrischen Streckungen.- 22. Isomorphie der Vektorräume (?, 0).- 23. Struktur des Vektorraumes auf der Menge der Translationen.- E. Dilatationen der Ebene.- 24. Kennzeichnung der Dilatationen.- 25. Die Gruppe der Dilatationen.- 26. Untergruppen.- 27. Dilatationen von Teilmengen von ?.- F. Ergänzungen.- 28. Einige Themen.- 29. Schrägspiegelungen.- Übungen zum Kapitel II.- III. Axiome der metrischen Struktur.- A. Senkrechte.- 30. Axiome des Senkrechtstehens.- 31. Senkrechte Richtungen.- 32. Affine Eigenschaften metrischer Erscheinungen.- 33. Projektion eines von einem Punkt ausgehenden Paares von Halbgeraden.- B. Das Skalarprodukt.- 34. Axiom der Symmetrie.- 35. Norm und Skalarprodukt.- 36. Identitäten und Ungleichungen.- 37. Invarianz von Distanz und Skalarprodukt bei der Translation.- 38. Skalarprodukt auf dem Vektorraum der Translationen.- C. Elementare metrische Eigenschaften.- 39. Metrische Eigenschaften bei Parallelogrammen und Dreiecken.- 40. Orthogonalprojektion.- 41. Mittelsenkrechte.- 42. Trägheitsmomente.- 43. Skalarprodukt und Distanz bei beliebiger Basis.- IV. Isometrien. Ähnlichkeitsbildungen. Spiegelungen einer Menge.- A. Isometrien.- 44. Achsenspiegelungen und Punktspiegelungen.- 45. Isometrien.- 46. Die Gruppe der Isometrien um einen Punkt.- 47. Paarige und unpaarige Isometrien.- 48. Struktur einer Isometrie.- B. Ähnlichkeitsabbildungen.- 49. Haupteigenschaften.- 50. Paarige und unpaarige Ähnlichkeitsabbildungen.- 51. Die Gruppe der Ähnlichkeitsabbildungen um einen Punkt.- 52. Struktur einer Ähnlichkeitsabbildung.- 53. Klassifikation der abgeschlossenen Gruppen der Ähnlichkeitsabbildungen.- C. Stabile Mengen in bezug auf eine Gruppe von Transformationen.- 54. Regelmäßigkeit einer Menge.- 55. Konstruktion regelmäßiger Paare (E, E).- 56. Symmetrie-Elemente einer gegebenen Menge.- Übungen zum Kapitel IV.- V. Die Winkel.- A. Die Gruppe der Winkel.- 57. Die Schwierigkeiten des Winkelbegriffs.- 58. Definition und Bezeichnungen.- 59. Winkelsumme eines ebenen geschlossenen Polygons.- B. Winkel und Ähnlichkeitsabbildungen.- 60. Symmetrie eines Winkels.- 61. Transformation eines Winkels durch eine Ähnlichkeitsabbildung.- 62. Charakterisierung der Drehungen.- 63. Charakterisierung der Ähnlichkeitsabbildungen.- 64. Halbieren eines Winkels.- 65. Winkel zweier Geraden.- VI. Orientierung.- 66. Schwierigkeiten des Begriffs.- 67. Orientierung von Teilmengen von ?.- 68. Andere geometrische Gebilde.- 69. Paare von Halbgeraden.- 70. Orientierung und stetige Deformation.- 71. Die Bewegungen.- Übungen zum Kapitel VI.- VII. Trigonometrie.- A. Elementare Trigonometrie.- 72. Kosinus und Sinus eines Winkels in bezug auf eine Basis.- 73. Matrix einer Drehung in bezug auf eine positive orthonormale Basis.- 74. Additionstheoreme.- B. Winkelmaß.- 75. Auf der Suche nach einer Definition.- 76. Definition und unmittelbare Folgerungen.- 77. Skizze eines Existenzbeweises für stetige Abbildungen von R auf T.- 78. Zahlenwert eines Winkels.- Übungen zum Kapitel VII.- VIII. Der Kreis.- 79. Definition und Symmetrien.- 80. Ähnliche Abbildung.- 81. Konvexität der Kreisscheibe.- 82. Schnitt Kreis-Gerade.- 83. Tangente an einen Kreis.- 84. Schnitt zweier Kreise.- 85. Kreisgleichung.- 86. Einige kennzeichnende Eigenschaften.- 87. Potenz eines Punktes in bezug auf einen Kreis.- Übungen zum Kapitel VIII.- IX. Der Raum.- A. Die Axiome.- 88. Wahl einer Methode.- 89. Axiome des dreidimensionalen Raumes.- 90. Erste Folgerungen.- B. Affinstruktur des Raumes.- 91. Der zentrierte Raum (R, 0).- 92. Translationen.- 93. Parallelismus.- 94. Folgerungen aus dem Dimensionsaxiom.- C. Metrische Struktur des Raumes.- 95. Translationen und Senkrechtstehen.- 96. Das skalare Produkt.- 97. Anwendung auf zwei klassische Theoreme.- 98. Einige Themen.- Übungen zum Kapitel IX.- X. Anhang.- A. Axiomatik auf metrischer Basis.- 99. Erste Axiome.- 100. Spiegelungsaxiom.- 101. Spiegelung an einer Geraden.- 102. Senkrechte und Projektionen.- 103. Punktspiegelung und Produkte von Spiegelungen.- 104. Schema der Weiterentwicklung.- B. Axiomatik der nichteuklidischen Geometrie.- C. Axiomatik der „Anfangsgeometrie“.- D. Schema einer anderen Winkeldefinition.- E. Literatur.