Monotone Potentialoperatoren in Theorie Und Anwendung

ISBN-13: 9783540080718 / Angielski / Miękka / 1977 / 360 str.

A. Langenbach

Opis

In der angewandten Funktionalanalysis sind in den letzten Jahrzehnten verschie dene relativ abgeschlossene Theorien zur Losung nichtlinearer Probleme entstanden, unter denen die Methode der monotonen Operatoren und die Variationsmethoden mit Potentialoperatoren einen hervorragenden Platz einnehmen. Die "Monotonietheorie" entstand vornehmlich im Rahmen der funktionalanaly tischen Behandlungsweise von Randwertproblemen fur elliptische Differentialglei chungen. In engem Zusammenhang mit diesen Randwertproblemen entwickelte sich auch die Theorie der Potentialoperatoren. Potentialoperatoren sind Gradienten differenzierbarer Funktionale; sie treten daher zwangslaufig bei der Anwendung von Variationsmethoden auf. Mit Hille monotoner Potentialoperatoren kann man elliptische Differentialgleichun gen modellieren und lOsen, die aus einem Variationsprinzip hergeleitet werden konnen. Ein ausgereiftes Konzept dieser Methode und seine Realisierung, die von der Model lierung bis zur konstruktiven Losung reichte, fand sich bereits in dem 1950 erschienenen Buch von S. G. MICHLIN [65], dem weitere Bucher dieses Autors folgten [68], [69]. 1m Jahre 1956 erschienen zwei Bucher uber nichtlineare Operatoren in der Funktio nalanalysis von M. A. KRASNOSEL'SKIJ [38] und M. M. V AJNBERG [87] mit Anwen dungen in der Theorie der Integralgleichungen. In dem Buch von M. M. V AJNBERG wurden gelegentlich monotone Potentialoperatoren benutzt. Der Monotoniebegriff selbst wurde jedoch spater gepragt, siehe R. I. KAcuROVSKIJ [31], G. J. MINTY [70]."

Spis treści

I. Gleichungen in abstrakten Räumen.- § 1. Einführung.- 1. Lineare Operatoren.- § 2. Lineare Funktionale und reflexive Bäume.- 1. Endlichdimensionale Räume.- 2. Hilberträume.- 3. Separable Hilberträume.- 4. Räume mit schwach kompakter Kugel.- § 3. Minimum-Probleme und Gleichungen mit Potentialoperatoren.- 1. Minimum-Probleme.- 2. Lösung von Minimum-Problemen.- 3. Gleichungen mit nicht notwendig differenzierbaren Potentialoperatoren.- § 4. Minimum-Probleme für konvexe Funktionale.- 1. Minimalelemente in beschränkten konvexen Mengen.- 2. Minimalelemente stark konvexer Funktionale.- § 5. Gleichungen mit kontraktiven Operatoren.- 1. Metrische Räume.- 2. Kontraktive und monotone Operatoren im Hilbertraum.- 3. Gleichungen mit Lipschitz-stetigen, stark monotonen Operatoren.- § 6. Kommentare.- II. Einige Gleichungen aus der mathematischen Theorie der deformierbaren Festkörper.- § 1. Die Grundgleichungen.- § 2. Das elastische Gleichgewicht dünner Platten.- 1. Theorie der linear elastischen biegsamen Platte.- 2. Eine geometrisch lineare Theorie nichtlinear elastischer Platten.- 3. Ein Beulproblem für mäßig nichtlineare Platten.- § 3. Ebene Probleme der elastisch-plastischen Deformationstheorie.- 1. Elastisch-plastische Torsionsstäbe.- 2. Virtuelle Verschiebungen und virtuelle Änderungen des Spannungszustandes.- 3. Die Prandtlsche Spannungsfunktion im Torsionsproblem.- 4. Der ebene elastisch-plastische Spannungszustand.- § 4. Probleme der elastisch-plastischen Fließtheorie.- 1. Von-Misessche Körper.- § 5. Elastisch-idealplastische Körper.- 1. Das Traglastprinzip.- § 6. Kommentare.- III. Konkretisierung und Lösung von Operatorgleichungen und Minimum-Problemen.- § 1. Gleichungen in Funktionenräumen.- 1. Operatorgleichungen mit positiven Bilinearformen.- 2. Minimum-Probleme für Funktionale mit positiven quadratischen Formen.- 3. Funktionenräume mit positiven Bilinearformen.- § 2. Gleichungen mit Lipschitz-stetigen stark monotonen Operatoren im Hilbertraum.- 1. Die Operatorgleichung eines elastisch-plastischen Torsionsproblems.- 2. Die Operatorgleichung des ebenen elastisch-plastischen Spannungszustandes.- 3. Stark monotone Operatoren in der Theorie nichtlinear elastischer Platten.- 4. Platten mit scharfer Kante.- § 3. Gleichungen in Funktionenräumen über unbeschränkten Gebieten.- 1. Die Sobolevsche Integraldarstellung.- 2. Vollständige normierte Unterräume von L?1(?).- 3. Vollständige unitäre Unterräume von L?1(?).- 4. Die teilweise eingespannte unendliche Rechteckplatte.- § 4. Minimum-Probleme für stark wachsende Funktionale und Operatorgleichungen in Sobolev-Orlicz-Räumen.- 1. Formulierung eines Minimum-Problems für Funktionale mit stark wachsendem Hauptteil.- 2. Lösung des Minimum-Problems (4.31).- 3. Funktionale mit ?2-Eigenschaft.- 4. Ein Minimum-Problem für elastisch-plastische Torsionsstäbe.- § 5. Kommentare.- IV. Parameterabhängige Gleichungen.- § 1. Implizite Operatorfunktionen.- 1. Erzeugung stetiger und differenzierbarer Operatoren.- 2. Die Durchbiegung nichtlinear elastischer am Rande aufliegender Platten bei veränderlicher Last und temperaturabhängigem Materialgesetz.- 3. Eigenschaften des Inversen.- 4. Das Inverse von Potentialoperatoren.- 5. Stabile Bereiche und Verzweigungspunkte.- § 2. Gleichungen mit vollstetigen Potentialoperatoren.- 1. Existenzsätze.- 2. Ein Einbettungssatz und eine Operatorgleichung in der Theorie der von-Kármánschen Platten.- 3. Lösbarkeit der Operatorgleichung (2.36) der von-Kármánschen Plattentheorie.- 4. Ein Nachweis von Eigenwerten und Bifurkationspunkten.- 5. Untersuchung eines Beulproblems für eingespannte mäßig nichtlineare Platten.- 6. Vollstetige Regularisierung und Bifurkationsäquivalenz.- § 3. Trajektorien einer parameterabhängigen Operatorgleichung.- 1. Implizite Operatorfunktion und Operator-Differentialgleichung.- 2. Deformationsprinzip und Näherungslösungen.- 3. Deformationsprinzip und Deformation nichtlinear elastischer Platten.- 4. Bifurkationspunkte und differenzierbare Zweige von Eigenlösungen.- § 4. Isoperimetrische Extremalaufgaben.- 1. Das Lemma von Ljusternik.- 2. Lösung isoperimetrischer Maximum-Probleme.- 3. Ein Eigenwert- und Beulproblem.- 4. Existenz eines Bifurkationspunktes.- 5. Das Ausbeulen von-Kármánscher Platten als Bifurkationsproblem.- § 5. Operator-Differentialgleichungen.- 1. Die Lösung des Anfangswertproblems.- 2. Darstellung in Normalform.- 3. Die Umkehrung eines Materialgesetzes.- 4. Eine Operator-Differentialgleichung der elastisch-plastischen Fließtheorie.- § 6. Kommentare.- V. Approximation durch Folgen monotoner Operatoren und konvexer Funktionale.- § 1. Iterations- und Projektionsverfahren.- 1. Näherungsverfahren für Gleichungen mit strikt kontraktiven Operatoren.- 2. Galerkinsche Näherungslösungen für ein nichtlineares Randwertproblem.- 3. Konstruktive Lösung der Galerkinschen Näherungsgleichungen.- 4. Das Galerkin-Verfahren mit nicht orthonormierten Koordinatenelementen.- 5. Projektions-Iterationsverfahren.- 6. Das Projektionsverfahren für parameterabhängige Gleichungen.- 7. Approximation der Trajektorie einer nichtlinear elastischen Platte.- 8. Das Projektionsverfahren für Operator-Differentialgleichungen.- 9. Approximation differenzierbarer Trajektorien parameterabhängiger Gleichungen durch das Galerkin-Verfahren.- § 2. Die Konstruktion von Minimalfolgen.- 1. Das Ritzsehe Verfahren.- 2. Anwendung auf eine partielle Differentialgleichung.- 3. Das Gradientenverfahren.- 4. Das Newtonsche Verfahren.- 5. Die Methode der kleinsten Fehlerquadrate.- § 3. Modelle mit Nebenbedingungen.- 1. Torsion nichtlinear elastischer Stäbe mit vorgegebenem Moment.- 2. Gleichungen mit Nebenbedingungen.- 3. Das Variationsprinzip von Haar und von Kármán.- 4. Die konvexe Projektion.- 5. Die Torsion elastisch-idealplastischer Stäbe.- 6. Der elastisch-idealplastische Torsionszustand als Grenzwert nichtlinear elastischer Torsionszustände.- 7. Das Traglastprinzip und die Konstruktion statisch zulässiger Spannungsfelder.- § 4. Kommentare.- Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.