Methoden Der Mathematischen Physik II

ISBN-13: 9783540041788 / Niemiecki / Miękka / 1968 / 549 str.

R. Courant; D. Hilbert

Opis

VIII uber den Inhalt im einzelnen unterrichtet das ausfuhrliche Ver zeichnis. Zur Form ist etwas Grundsatzliches zu sagen: Das klassische Ideal einer gewissermassen atomistischen Auffassung der Mathematik ver langt, den Stoff in Form von Voraussetzungen, Satzen und Beweisen zu kondensieren. Dabei ist der innere Zusammenhang und die Motivierung der Theorie nicht unmittelbar Gegenstand der Darstellung. In kom plementarer Weise kann man ein mathematisches Gebiet als stetiges Gewebe von Zusammenhangen betrachten, bei dessen Beschreibung die Methode und die Motivierung in den Vordergrund treten und die Kri stallisierung der Einsichten in isolierte scharf umrissene Satze erst eine sekundare Rolle spielt. Wo eine Synthese beider Auffassungen untunlich schien, habe ich den zweiten Gesichtspunkt bevorzugt. New Rochelle, New York, 24. Oktober 1937. R. Courant. Inhaltsverzeichnis. Erstes Kapitel. Vorbereitung. - Grundbegriffe. I. Orientierung uber die Mannigfaltigkeit der Losungen 2 1. Beispiele S. 2. - 2. Differentialgleichungen zu gegebenen Funk tionenscharen und -familien S. 7. 2. Systeme von Differentialgleichungen ............... 10 1. Problem der Aquivalenz von Systemen und einzelnen Differential 2. Bestimmte, uberbestimmte, unterbestimmte gleichungen S. 10. - Systeme S. 12. J. Integrationsmethoden bei speziellen Differentialgleichungen. . . . . . 14 1. Separation der Variablen S. 14. - 2. Erzeugung weiterer Losungen durch Superposition. Grundlosung der Warmeleitung. Poissons Integral S.16. 4. Geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ord nung mit zwei unabhangigen Variablen. Das vollstandige Integral . . 18 1. Die geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung S. 18. - 2. Das vollstandige Integral S. 19. - 3. Singulare Integrale S. 20."

Spis treści

Erstes Kapitel Vorbereitung. — Grundbegriffe.- § 1. Orientierung über die Mannigfaltigkeit der Lösungen.- 1. Beispiele.- 2. Differentialgleichungen zu gegebenen Funktionenscharen und -familien.- § 2. Systeme von Differentialgleichungen.- 1. Problem der Äquivalenz von Systemen und einzelnen Differentialgleichungen.- 2. Bestimmte, überbestimmte, unterbestimmte Systeme.- § 3. Integrationsmethoden bei speziellen Differentialgleichungen.- 1. Separation der Variablen.- 2. Erzeugung weiterer Lösungen durch Superposition. Grundlösung der Wärmeleitung. Poissons Integral.- § 4. Geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen. Das vollständige Integral.- 1. Die geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung.- 2. Das vollständige Integral.- 3. Singuläre Integrale.- § 5. Theorie der linearen und quasilinearen Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Lineare Differentialgleichungen.- 2. Quasilineare Differentialgleichungen.- § 6. Die Legendresche Transformation.- 1. Legendresche Transformation für Funktionen von zwei Veränderlichen.- 2. Die Legendresche Transformation für Funktionen von n Variablen.- 3. Anwendung der Legendreschen Transformation auf partielle Differentialgleichungen.- § 7. Die Bestimmung der Lösungen durch ihre Anfangswerte und der Existenzsatz.- 1. Formulierung und Erläuterung des Anfangswertproblems.- 2. Reduktion auf ein System von quasilinearen Differentialgleichungen.- 3. Die Bestimmung der Ableitungen längs der Anfangsmannigfaltigkeit.- 4. Existenzbeweis analytischer Lösungen von analytischen Differentialgleichungen.- Anhang zum ersten Kapitel.- § 1. Die Differentialgleichung für die Stützfunktion einer Minimalfläche.- § 2. Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung und Differentialgleichungen höherer Ordnung.- § 3. Systeme von zwei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung und Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- § 4. Darstellung der flächentreuen Abbildungen.- Zweites Kapitel Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung.- § 1. Quasilineare Differentialgleichungen bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Charakteristische Kurven.- 2. Anfangswertproblem.- 3. Beispiele.- § 2. Quasilineare Differentialgleichungen bei n unabhängigen Veränderlichen.- § 3. Allgemeine Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Charakteristische Kurven und Fokalkurven.- 2. Lösung des Anfangswertproblems.- 3. Charakteristiken als Verzweigungselemente. Ergänzende Bemerkungen. Integralkonoid.- § 4. Zusammenhang mit der Theorie des vollständigen Integrals.- § 5. Fokalkurven und Mongesche Gleichung.- § 6. Beispiele.- 1. Die Differentialgleichung (grad u) 2 = 1.- 2. Zweites Beispiel.- 3. Die Differentialgleichung von Clairaut.- 4. Die Differentialgleichung der Röhrenflächen.- § 7. Allgemeine Differentialgleichung mit n unabhängigen Veränderlichen.- § 8. Vollständiges Integral und Hamilton-Jacobische Theorie.- 1. Enveloppenbildung und charakteristische Kurven.- 2. Die Kanonische Gestalt der charakteristischen Differentialgleichungen.- 3. Hamilton-Jacobische Theorie.- 4. Beispiel. Zweikörperproblem.- 5. Beispiel. Geodätische Linien auf einem Ellipsoid.- § 9. Hamiltonsche Theorie und Variationsrechnung.- 1. Die Eulerschen Differentialgleichungen in der kanonischen Form.- 2. Der geodätische Abstand oder das Eikonal, seine Ableitungen und die Hamilton-Jacobische partielle Differentialgleichung.- 3. Bemerkungen über den Fall homogener Integranden.- 4. Extremalenfelder und Hamiltonsche Differentialgleichung.- 5. Strahlenkegel. Huyghens Konstruktion.- 6. Hilberts invariantes Integral zur Darstellung des Eikonals.- 7. Der Satz von HAMILTON und JAGoBI.- § 10. Kanonische Transformationen und Anwendungen.- 1. Die kanonische Transformation.- 2. Neuer Beweis des Hamilton- Jacobischen Satzes.- 3. Variation der Konstanten (kanonische Störungstheorie).- Anhang zum zweiten Kapitel.- § 1. Erneute Diskussion der charakteristischen Mannigfaltigkeiten.- 1. Formale Vorbemerkungen zur Differentiation in n Dimensionen.- 2. Anfangswertproblem und charakteristische Mannigfaltigkeiten.- § 2. Systeme quasilinearer Differentialgleichungen mit gleichem Hauptteil. Neue Herleitung der Charakteristikentheorie.- Literatur zum ersten und zweiten Kapitel.- Drittes Kapitel Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung im allgemeinen.- § 1. Normalformen bei linearen Differentialgleichungsausdrücken zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Elliptische, hyperbolische, parabolische Normalformen.- 2. Beispiele.- § 2. Normalformen quasilinearer Differentialgleichungen.- 1. Normalformen.- 2. Beispiel. Minimalflächen.- § 3. Klasseneinteilung der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung bei mehr unabhängigen Veränderlichen.- 1. Elliptische, hyperbolische und parabolische Differentialgleichungen.- 2. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- § 4. Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen.- 1. Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 2. Typeneinteilung bei Systemen von Differentialgleichungen.- 3. Bemerkungen über nichtlineare Probleme.- § 5. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 1. Allgemeines.- 2. Ebene Wellen. Verzerrungsfreiheit. Dispersion.- 3. Beispiele: Telegraphengleichung, Verzerrungsfreiheit bei Kabeln.- 4. Zylinder- und Kugelwellen.- § 6. Anfangswertprobleme, Ausstrahlungsprobleme.- 1. Anfangswertprobleme der Wärmeleitung. Transformation der 6-Funktion.- 2. Anfangswertprobleme der Wellengleichung.- 3. Methode des Fourierschen Integrals zur Lösung von Anfangswertproblemen.- 4. Lösung der unhomogenen Gleichung durch Variation der Konstanten. Retardierte Potentiale.- 5. Das Anfangswertproblem für die Wellengleichung in zwei Raumdimensionen. Absteigemethode.- 6. Das Ausstrallungsproblem.- 7. Ausbreitungsvorgänge und Huyghenssches Prinzip.- § 7. Die typischen Differentialgleichungsprobleme der mathematischen Physik.- 1. Vorbemerkungen. Beispiele typischer Problemstellungen.- 2. Grundsätzliche Betrachtungen.- Anhang zum dritten Kapitel.- Ausgleichsprobleme ulid Heavisides Operatorenkalkül.- § 1. Ausgleichsprobleme und Lösung mittels Integraldarstellungen.- 1. Beispiel. Wellengleichung.- 2. Allgemeine Problemstellung.- 3. Integral von Duhamel.- 4. Methode der Superposition von Exponentiallösungen.- § 2. Die Heavisidesche Operatorenmethode.- 1. Die einfachsten Operatoren.- 2. Beispiele.- 3. Anwendungen auf Ausgleichsprobleme.- 4. Wellengleichung.- 5. Methode zur Rechtfertigung des Operatorenkalküls. Realisierung weiterer Operatoren.- § 3. Zur allgemeinen Theorie der Ausgleichsprobleme.- 1. Die Transformation von Laplace.- 2. Lösung der Ausgleichsprobleme mit Hilfe der Laplaceschen Transformation.- 3. Beispiele.- Literatur zum Anhang des dritten Kapitels.- Viertes Kapitel Elliptische Differentialgleichungen, insbesondere Potentialtheorie.- § 1. Vorbemerkungen.- 1. Die Differentialgleichungen von Laplace, Poisson und verwandte Differentialgleichungen.- 2. Potentiale von Massenbelegungen.- 3. Greensche Formeln und Anwendungen.- 4. Die Ableitungen der Belegungspotentiale.- § 2. Poissons Integral und Folgerungen..- 1. Randwertaufgabe und Greensche Funktion.- 2. Greensche Funktion für Kreis und Kugel. Das Poissonsche Integral für Kugel und Halbraum.- 3. Folgerungen aus der Poissonschen Formel.- § 3. Der Mittelwertsatz und Anwendungen.- 1. Homogene und unhomogene Mittelwertgleichung.- 2. Umkehrung der Mittelwertsätze.- 3. Die Poissonsche Gleichung für Potentiale von Raumbelegungen.- 4. Mittelwertsätze für andere elliptische Differentialgleichungen.- § 4. Die Randwertaufgabe.- 1. Vorbemerkungen. Stetige Abhängigkeit von den Randwerten und vom Gebiet.- 2. Lösung der Randwertaufgabe mit Hilfe des alternierenden Verfahrens.- 3. Die Integralgleichungsmethode für Gebiete mit hinreichend glatten Rändern.- 4. Weitere Bemerkungen zur Randwertaufgabe.- § 5. Randwertaufgaben für allgemeinere elliptische Differentialgleichungen; eindeutige Bestimmtheit der Lösungen.- 1. Lineare Differentialgleichungen.- 2. Quasilineare Differentialgleichungen.- 3. Ein Satz von Rellich über die Differentialgleichung von Monge-Ampère.- § 6. Die Integralgleichungsmethode zur Lösung elliptischer Differentialgleichungen.- 1. Konstruktion von Lösungen überhaupt. Grundlösungen.- 2. Die Randwertaufgabe.- Anhang zum vierten Kapitel.- 1. Verallgemeinerung der Randwertaufgabe. Sätze von Wiener.- 2. Nichtlineare Differentialgleichungen.- Lehrbuchliteratur zum vierten Kapitel.- Fünftes Kapitel Hyperbolische Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen.- § 1. Die Charakteristiken bei quasilinearen Differentialgleichungen.- 1. Definition der Charakteristiken.- 2. Charakteristiken auf Integralflächen.- 3. Charakteristiken als Unstetigkeitslinien. Wellenfronten.- § 2. Charakteristiken für allgemeine Differentialgleichungsprobleme.- 1. Allgemeine Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 2. Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 3. Systeme von Differentialgleichungen.- 4. Invarianz der Charakteristiken gegenüber beliebigen Punkttransformationen.- 5. Beispiele aus der Hydrodynamik.- § 3. Eindeutigkeit und Abhängigkeitsgebiet.- 1. Grundsätzliches über Ausbreitungsvorgänge.- 2. Eindeutigkeitsbeweise.- § 4. Die Riemannsche Integrationsmethode.- 1. Riemanns Darstellungsformel.- 2. Ergänzende Bemerkungen.- 3. Beispiel, Telegraphengleichung.- § 5. Die Lösungen der Differentialgleichung uxy = f (x, y, u, ux, uy) nach dem Picardschen Iterationsverfahren.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Lösung der Anfangswertprobleme.- 3. Eindeutige Bestimmtheit der Lösung.- 4. Stetige und differenzierbare Abhängigkeit von Parametern.- 5. Das Abhängigkeitsgebiet der Lösung.- § 6. Verallgemeinerungen und Anwendung auf Systeme erster Ordnung.- 1. Systeme von Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit gleichem linearen Hauptteil.- 2. Kanonisch-hyperbolische Systeme erster Ordnung.- § 7. Die allgemeine quasilineare Gleichung zweiter Ordnung.- 1. Das vollständige System der charakteristischen Differentialgleichungen.- 2. Lösung des Anfangswertproblems.- § 8. Die allgemeine Gleichung F (x, y, u, p, q, r, s, t) = 0.- 1. Quasilineare Systeme mit gleichem Hauptteil.- 2. Lösung des Anfangswertproblems im allgemeinen Fall.- Anhang zum fünften Kapitel.- § 1. Einführung komplexer Größen. Übergang vom hyperbolischen zum elliptischen Fall durch komplexe Variable.- § 2. Der analytische Charakter der Lösungen im elliptischen Fall.- 1. Funktionentheoretische Vorbemerkung.- 2. Analytischer Charakter der Lösungen von ? u = f (x, y, u, p, q).- 3. Bemerkung über den allgemeinen Fall.- § 3. Weitere Bemerkungen zur Charakteristikentheorie bei zwei Veränderlichen.- § 4. Sonderstellung der Monge-Ampèreschen Gleichungen.- Sechstes Kapitel Hyperbolische Differentialgleichungen mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen.- § 1. Die charakteristische Gleichung.- 1. Quasilineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 2. Lineare Differentialgleichungen. Charakteristische Strahlen.- § 2. Charakteristische Mannigfaltigkeiten als Unstetigkeitsflächen von Lösungen. — Wellenfronten.- 1. Unstetigkeiten zweiter Ordnung.- 2. Wellenfronten bei linearen Differentialgleichungen als Träger höherer Unstetigkeiten.- 3. Die Differentialgleichung längs einer charakteristischen Mannigfaltigkeit. Ausbreitung der Unstetigkeiten längs der Strahlen.- 4. Physikalische Deutung. Schattengrenzen S.- 5. Strahlenkonoid. Zusammenhang mit der Riemannschen Maßbestimmung.- 6. Die Huygensche Konstruktion der Wellenfronten. Strahlenkegel und Richtungsausbreitung.- 7. Strahlen- und Normalenkegel.- 8. Beispiel. Die Poissonsche Wellengleichung in drei Raumdimensionen.- § 3. Charakteristiken bei Problemen höherer Ordnung.- 1. Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 2. Systeme von Differentialgleichungen. Hydrodynamik.- 3. Weitere Systeme. Krystalloptik.- § 4. Eindeutigkeitssätze und Abhängigkeitsgebiet bei Anfangswertproblemen.- 1. Die Wellengleichung.- 2. Die Differentialgleichung % MathType!MTEF!2!1!+- % feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyDamaaBa % aaleaacaWG0bGaamiDaaqabaGccqGHsislcqGHuoarcaWG1bGaey4k % aSYaaSaaaeaacqaH7oaBaeaacaWG0baaaiaadwhadaWgaaWcbaGaam % iDaaqabaGccqGH9aqpcaaIWaaaaa!43EB! $$ - \Delta u + \frac{\lambda } = 0 $$ (Darboux).- 3. Maxwellsche Gleichungen t im Äther.- 4. Eindeutigkeit und Abhängigkeitsgebiet bei den Differentialgleichungen der Krystalloptik.- 5. Bemerkungen über Abhängigkeits- und Wirkungsgebiete. Notwendigkeit des konvexen Charakters von Abhängigkeitsgebieten.- § 5. Hyperbolische lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 1. Konstruktion der Lösung.- 2. Bemerkungen über die Absteigemethode.- 3. Nähere Diskussion der Lösungen. Prinzip von Huyghens.- 4. Verifikation der Lösung.- 5. Integration der unhomogenen Gleichung.- 6. Das Ausstrahlungsproblem.- 7. Das Anfangswertproblem für die Gleichung ? u + c2u = utt und für die Telegraphengleichung.- § 6. Mittelwertmethode Wellengleichung und Gleichung von Darboux.- 1. Die Darbouxsche Differentialgleichung für Mittelwerte.- 2. Zusammenhang mit der Wellengleichung und Auflösung der Wellengleichung.- 3. Das Ausstrahlungsproblem der Wellengleichung.- 4. Ein Satz von Friedrichs.- § 7. Ultrahyperbolische Differentialgleichungen und allgemeine Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 1. Der allgemeine Mittelwertsatz von Asgeirsson.- 2. Anderer Beweis des Mittelwertsatzes.- 3. Anwendung des Mittelwertsatzes auf die Wellengleichung.- 4. Lösungen des charakteristischen Anfangswertproblems der Wellengleichung.- 5. Andere Anwendungen des Mittelwertsatzes.- § 8. Betrachtungen über nichthyperbolische Anfangswertprobleme.- 1. Bestimmung einer Funktion aus gewissen Kugelmittelwerten.- 2. Anwendungen auf das Anfangswertproblem.- § 9. Die Methode von Hadamard zur Lösung des Anfangswertproblems.- 1. Vorbemerkungen. Grundlösung. Allgemeine Methode.- 2. Die allgemeine Wellengleichung in m = 2 Raumdimensionen.- 3. Die verallgemeinerte Wellengleichung in m = 3 Raumdimensionen.- § 10. Bemerkungen über den Wellenbegriff und das Ausstrahlungsproblem.- 1. Allgemeines. Verzerrungsfreie fortschreitende Wellen.- 2. Sphärische Wellen.- 3. Ausstrahlung und Huygenssches Prinzip.- Anhang zum sechsten Kapitel.- § 1. Die Differentialgleichungen der Krystalloptik.- 1. Normalen- und Strahlenfläche der Krystalloptik.- 2. Gestalt der Normalenfläche.- 3. Die Strahlenfläche.- 4. Reduktion des Differentialgleichungssystems auf eine Differentialgleichung sechster Ordnung bzw. vierter Ordnung.- 5. Explizite Lösung durch die Fouriersche Methode.- 6. Diskussion des lösenden Kernes K.- 7. Optische Anwendung. Konische Refraktion.- § 2. Abhängigkeitsgebiete bei Problemen höherer Ordnung.- § 3. Huyghens Prinzip im weiteren Sinne und fortsetzbare Anfangsbedingungen.- § 4. Ersetzung von Differentialgleichungen durch Integralrelationen. Erweiterung des Charakteristikenbegriffes.- Siebentes Kapitel Lösung der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung.- § 1. Vorbereitungen.- 1. Das Dirichletsche Prinzip für den Kreis.- 2. Allgemeine Problemstellungen.- 3. Lineare Funktionenräume mit quadratischer Metrik. Definitionen.- 4. Randbedingungen.- § 2. Die erste Randwertaufgabe.- 1. Problemstellung.- 2. Greensche Formel. Hauptungleichung zwischen D und H. Eindeutigkeit.- 3. Minimalfolgen und Lösung des Randwertproblems.- § 3. Das Eigenwertproblem bei verschwindenden Randwerten.- 1. Integralungleichungen.- 2. Das erste Eigenwertproblem.- 3. Höhere Eigenwerte und -funktionen. Vollständigkeit.- § 4. Annahme der Randwerte bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- § 5. Konstruktion der Grenzfunktionen und Konvergenzeigenschaften der Integrale E, D, H.- 1. Konstruktion der Grenzfunktionen.- 2. Konvergenzeigenschaften der Integrale D und H.- § 6. Zweite und dritte Randbedingung. Randwertaufgabe.- 1. Greensche Formel und Randbedingungen.- 2. Formulierung des Randwertproblems und Variationsproblems.- 3. Einschränkung der Klasse zulässiger Gebiete.- 4. Äquivalenz von Minimumproblem und Randwertproblem. Eindeutigkeit.- 5. Lösung des Variationsproblems und Randwertproblems.- § 7. Das Eigenwertproblem bei zweiter und dritter Randwertbildung.- § 8. Diskussion der bei der zweiten und dritten Randbedingung zugrunde gelegten Gebiete.- 1. Gebiete vom Typus N.- 2. Notwendigkeit von einschränkenden Bedingungen für das Gebiet.- § 9. Ergänzungen und Aufgaben.- 1. Die Greensche Funktion von ? u.- 2. Dipolsingularität.- 3. Randverhalten bei ? u = 0 und zwei unabhängigen Veränderlichen für die zweite Randbedingung.- 4. Stetige Abhängigkeit vom Gebiet.- 5. Übertragung der Theorie auf unendlich ausgedehnte Gebiete G.- 6. Anwendung der Methode auf Differentialgleichungen vierter Ordnung. Transversaldeformation und Schwingungen von Platten.- 7. Erste Randwert- und Eigenwertaufgabe der Elastizitätstheorie bei zwei Dimensionen.- 8. Andere Methode zur Konstruktion der Grenzfunktion.- § 10. Das Problem von Plateau.- 1. Problemstellung und Ansatz zur Lösung.- 2. Beweis der Variationsrelationen.- 3. Existenz der Lösung des Variationsproblems.- Ergänzende Literaturangaben.- Namen- und Sachverzeichnis.- Kurzbiographien.