Mathematischer Einführungskurs Für Die Physik

ISBN-13: 9783519030744 / Niemiecki / Miękka / 1991 / 344 str.

Siegfried Grossmann;Siegfried Grossmann

Opis

notigt wird. Wenn man ehrlich ist und keine Vogel-Strauss-Mentalitat bevorzugt: Solange die ubungen zum Selbsttest nicht als einfach und leicht empfunden werden, ist das angestrebte Studienziel noch nicht erreicht. Man befrage Tutoren, Assistenten, Professoren und gebe nicht auf Der schliesslich erworbene, mathematische Frei schwimmer" wird die Grundlage fur die kommenden Studienjahre sein. Der vorgelexte Text ist bewusst a u c h unter didaktischen Gesichtspunkten konzi piert worden. Daher sei schon hier eine erste Aufgabe zum Nachdenken gestellt: Der Leser mache sich Gedanken, ob und wie es b e s s ergeht. - Da es naturlich zu jedem vorgefundenen Konzept eine oder mehrere Alternativen gibt, verfalle man nicht dem zwar naheliegenden aber falschen Schluss, es geniige, den obigen Terminus "besser" als "a n der s "zu lesen. Fur Verbesserungsvorschlage bin ich stets dankbar - sicher auch mancher zukunftige Leser, der davon profitiert. Inhalt und Umfang des Buches sind mehrfach erprobt worden. Durch Kontakte mit ubu gsleitern und Tutoren sowie durch eigene Erfahrungen in kleinen ubungsgruppen habe ich versucht, den Bedurfnis sen der Studienanfanger Rechnung zu tragen. Allen sei herzlich gedankt, die auf diese Weise zum Nutzen der Leser am Gelingen mitgewirkt haben. Besonders erfreut bin ich uber die Hinweise aus Ingenieur-Kreisen, dass das Studien buch auch fur den Ingenieur ein nutzliches Hilfsmittel darstellt, so dass der Benutzer kreis grosser ist als der Kreis der angehenden Physiker, Mathematiker und weiteren Naturwissenschaftler. Die vorliegende 6."

Spis treści

1. Vektoren.- 1.1. Definition von Vektoren.- 1.1.1. Skalare.- 1.1.2. Vektoren.- 1.1.2.1. Vorläufiges.- 1.1.2.2. Bezugssysteme.- 1.1.2.3. Komponenten.- 1.1.2.4. Koordinatentransformationen.- 1.1.2.5. Vektordefinition.- 1.1.3. Tensoren.- 1.2. Addition von Vektoren und Multiplikation mit Zahlen.- 1.2.1. Addieren und Subtrahieren.- 1.2.2. Übungen zum Selbsttest: Vektoraddition.- 1.2.3. Multiplikation von Vektoren mit Zahlen.- 1.2.4. Komponentendarstellung der Vektoren.- 1.2.4.1. Einheitsvektoren.- 1.2.4.2. Komponenten.- 1.2.4.3. Umrechnung zwischen Komponenten- und Pfeildarstellung.- 1.2.5. Rechenregeln in Komponentendarstellung.- 1.2.5.1. Addition und Subtraktion.- 1.2.5.2. Multiplikation mit Zahlen.- 1.2.5.3. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 1.2.6. Übungen zum Selbsttest: Vektoralgebra.- 1.3. Das Innere Produkt von Vektoren.- 1.3.1. Definition.- 1.3.2. Eigenschaften des Inneren Produktes.- 1.3.3. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 1.3.4. Algebraische Definition des Vektorraumes.- 1.3.5. Übungen zum Selbsttest: Inneres Produkt.- 1.4. Koordinatentransformationen.- 1.4.1. Die Transformationsmatrix.- 1.4.1.1. Beschreibung einer Koordinatendrehung.- 1.4.1.2. Zuordnung von Drehungen und Matrizen.- 1.4.1.3. Die Determinante der Drehmatr.- 1.4.2. Die Transformationsformeln für Vektoren.- 1.4.3. Beispiele zu übenden Erläuterung.- 1.4.4. Die Transformationsformeln für Tensoren.- 1.4.5. Übungen zum Selbsttest: Koordinatentransformationen.- 1.5. Matrizen.- 1.5.1. Definitionen.- 1.5.2. Multiplikation von Matrizen.- 1.5.3. Inverse Matrizen.- 1.5.4. Matrizen - Tensoren — Transformationen.- 1.5.5. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 1.5.6. Übungen zum Selbsttest: Matrizen.- 1.6. Determinanten.- 1.6.1. Definition.- 1.6.2. Eigenschaften von Determinanten.- 1.6.3. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 1.6.4. Übungen zum Selbsttest: Determinanten.- 1.7. Das Äußere Produkt von Vektoren.- 1.7.1. Definition.- 1.7.2. Eigenschaften des Äußeren Produktes.- 1.7.3. Komponentendarstellung des Äußeren Produktes, Transformationsverhalten.- 1.7.4. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 1.7.5. Übungen zum Selbsttest: Äußeres Produkt.- 1.8. Mehrfache Vektorprodukte.- 1.8.1. Grundregeln.- 1.8.2. Spatprodukt dreier Vektoren.- 1.8.3. Entwicklungssatz für 3-fache Vektorprodukte.- 1.8.4. n-fache Produkte.- 1.8.5. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 1.8.6. Übungen zum Selbsttest: Mehrfachprodukte.- 2. Vektorfunktionen.- 2.1. Vektorwertige Funktionen.- 2.1.1. Definition.- 2.1.2. Parameterdarstellung von Raumkurven.- 2.2. Ableitung vektorwertiger Funktionen.- 2.2.1. Definition der Ableitung.- 2.2.2. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 2.2.3. Rechenregeln für die Vektordifferentiation.- 2.2.4. Übungen zum Selbsttest: Ableitung von Vektoren.- 2.3. Raumkurven.- 2.3.1. Bogenmaß und Tangenten-Einheitsvektor.- 2.3.2. Die Normale.- 2.3.3. Die Binormale.- 2.3.4. Frenetsche Formeln für das begleitende Dreibein.- 2.3.5. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 2.3.6. Übungen zum Selbsttest: Raumkurven.- 3. Felder.- 3.1. Physikalische Felder.- 3.1.1. Allgemeine Definition.- 3.1.2. Skalare Felder.- 3.1.3. Vektor-Felder.- 3.1.4. Übungen zum Selbsttest: Darstellung von Feldern.- 3.2. Partielle Ableitungen.- 3.2.1. Definition der partiellen Ableitung.- 3.2.2. Beispiele - Rechenregeln - Übungen.- 3.2.3. Die Kettenregel.- 3.2.4. Übungen zum Selbsttest: Partielle Ableitungen.- 3.3. Gradient.- 3.3.1. Richtungsableitung.- 3.3.2. Definition des Gradienten.- 3.3.3. Interpretation und Rechenregeln.- 3.3.4. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 3.3.5. Taylorentwicklung für Felder.- 3.3.6. Übungen zum Selbsttest: Der Gradient.- 3.4. Divergenz.- 3.4.1. Definition der Divergenz von Vektorfeldern.- 3.4.2. Beispiele und Rechenregeln.- 3.4.3. Interpretation als lokale Quellstärke.- 3.4.4. Übungen zum Selbsttest: Die Divergenz.- 3.5. Rotation.- 3.5.1. Definition der Rotation von Vektorfeldern.- 3.5.2. Interpretation als lokale Wirbelstärke.- 3.5.3. Eigenschaften und Rechenregeln der Operation rot.- 3.5.4. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 3.5.5. Übungen zum Selbsttest: Die Rotation.- 3.6. Der Vektor-Differentialoperator ?? (Nabla).- 3.6.1 Formale Zusammenfassung der Vektor-Differentialoperationen durch ??.- 3.6.2. Zusammenfassende Übersicht der Eigenschaften von ??.- 3.6.3. Übungen zum Selbsttest: Der Nabla-Operator.- 4. Integration.- 4.1. Physikalische Motivation.- 4.2. Das Integral über Funktionen.- 4.2.1. Definition des (bestimmten) Riemann-Integrals.- 4.2.2. Eigenschaften des bestimmten Integrals.- 4.2.3. Übungen zum Selbsttest: Riemannsummen.- 4.2.4. Das unbestimmte Integral.- 4.2.5. Einfache Integraltabelle.- 4.2.6. Übungen zum Selbsttest: Integrale.- 4.3. Methoden zur Berechnung von Integralen.- 4.3.1. Substitution.- 4.3.2. Partielle Integration.- 4.3.3. Übungen zum Selbsttest: Substitution, partielle Integration.- 4.3.4. Integral-Funktionen.- 4.3.5. Numerische Bestimmung von Integralen.- 4.4. Uneigentliche Integrale.- 4.4.1. Definition uneigentlicher Integrale mit unendlichen Grenzen.- 4.4.2. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 4.4.3. Singuläre Integranden.- 4.4.4. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 4.4.5. Übungen zum Selbsttest: Uneigentliche Integrale.- 4.5. Parameterintegrale.- 4.5.1. Differentiation eines Parameterintegrals.- 4.5.2. Integration von Parameterintegralen.- 4.5.3. Uneigentliche Parameterintegrale.- 4.5.4. Übungen zum Selbsttest: Parameterintegrale.- 4.6. Die ?-Funktion.- 4.6.1. Heuristische Motivation.- 4.6.2. Definition der ?-Funktion.- 4.6.3. Darstellung durch „glatte“ Funktionen.- 4.6.4 Praktischer Umgang.- 4.6.5. Übungen zum Selbsttest: ?-Funktion.- 5. Vektorintegration.- 5.1. (Gewöhnliches) Integral über Vektoren.- 5.1.1. Definition.- 5.1.2. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 5.1.3. Übungen zum Selbsttest: Integral über Vektoren.- 5.2. Kurvenintegrale.- 5.2.1. Definition.- 5.2.2. Verfahren zur Berechnung.- 5.2.3. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 5.2.4. Kurvenintegrale über Gradientenfelder: Unabhängigkeit vom Weg.- 5.2.5. Wirbelfreiheit als Kriterium.- 5.2.6. Beispiel.- 5.2.7. Kurvenintegrale mit anderem Vektorcharakter: Skalare Felder, Vektorprodukte.- 5.2.8. Übungen zum Selbsttest: Kurvenintegrale.- 5.2.9. Das Vektorpotential.- 5.3. Flächenintegrale.- 5.3.1. Definition.- 5.3.2. Beschreibung von Flächen im Raum.- 5.3.2.1. Kartesische Parameter.- 5.3.2.2. Zylinderkoordinaten.- 5.3.2.3. Kugelkoordinaten.- 5.3.2.4. Übungen zum Selbsttest: Krummlinige Koordinaten.- 5.3.2.5. Flächenelemente.- 5.3.3. Doppelintegrale.- 5.3.3.1. Definition.- 5.3.3.2. Iterierte Integrale.- 5.3.3.3. Übungen zum Selbsttest: Doppelintegrale.- 5.3.4. Wechsel der Variablen.- 5.3.4.1. Parametertransformation.- 5.3.4.2. Die Funktionaldeterminante.- 5.3.4.3. Die Transformation von Flächenelementen.- 5.3.4.4. Übungen zum Selbsttest: Variablentransformation.- 5.3.5. Berechnung von Flächenintegralen.- 5.3.5.1. Zusammenfassung der Formeln.- 5.3.5.2. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 5.3.5.3. Flächenintegrale in Parameterdarstellung.- 5.3.5.4. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 5.3.6. Übungen zum Selbsttest: Flächenintegrale.- 5.4. Volumenintegrale.- 5.4.1. Definition.- 5.4.2. Dreifachintegrale.- 5.4.3. Wechsel der Variablen.- 5.4.3.1. Funktionaldeterminante.- 5.4.3.2. Transformation von Volumenelementen.- 5.4.4. Vektorielle Volumenintegrale.- 5.4.5. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 5.4.6. Übungen zum Selbsttest: Volumenintegrale.- 6. Integralsätze.- 6.1. Die Darstellung des Nabla-Operators durch den Limes von Flächenintegralen.- 6.1.1. Integraldarstellung von div.- 6.1.2. Integraldarstellung von $$ \vec \nabla $$ allgemein.- 6.2. Der Gaußsche Satz.- 6.2.1. Herleitung und Formulierung.- 6.2.2. Beispiele und Erläuterungen.- 6.2.3. Allgemeine Form des Gaußschen Satzes.- 6.2.4. Der Gaußsche Satz in D Dimensionen.- 6.3. Partielle Integration mittels Gaußschem Satz.- 6.3.1. Methode.- 6.3.2. Beispiele.- 6.3.3. Der Greensche Satz.- 6.4. Übungen zum Selbsttest: Gaußscher Satz.- 6.5. Die Darstellung des Nabla-Operators durch den Limes von Kurvenintegralen.- 6.5.1. Kurvenintegral-Darstellung von rot.- 6.5.2. Kurvenintegral-Darstellung von ?? allgemein.- 6.6. Der Stokessche Satz.- 6.6.1. Herleitung und Formulierung.- 6.6.2. Beispiele und Erläuterungen.- 6.6.3. Allgemeine Form des Stokesschen Satzes.- 6.6.4. Der Stokessche Satz in D Dimensionen.- 6.7. Übungen zum Selbsttest: Stokesscher Satz.- 6.8. Die Integralsätze in D = 4 Dimensionen.- 7. Krummlinige Koordinaten.- 7.1. Lokale Koordinatensysteme.- 7.1.1. Das Linienelement in krummlinigen Koordinaten.- 7.1.2. Krummmlinig-orthogonale Koordinaten.- 7.1.3. Zylinder- und Kugelkoordinaten als Beispiele.- 7.1.4. Übungen zum Selbsttest: Krummlinig-orthogonale Koordinatensysteme.- 7.2. Differentialoperatoren in krummlinig-orthogonalen Koordinaten.- 7.2.1. grad, div, rot, ? allgemein.- 7.2.2. Die Formeln in Zylinderkoordinaten.- 7.2.3. Die Formeln in Kugelkoordinaten.- 7.2.4. Übungen zum Selbsttest: Differentialoperationen in krummlinigen Koordinaten.- 8. Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 8.1. Physikalische Motivation.- 8.2. Lösen von Differentialgleichungen.- 8.3. Trennung der Variablen.- 8.3.1. Verfahren.- 8.3.2. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 8.3.3. Separable Differentialgleichungen.- 8.4. Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 8.5. Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung.- 8.5.1. Homogene Gleichungen.- 8.5.2. Gekoppelte homogene Differentialgleichungen (N Variable).- 8.5.3. Inhomogene Differentialgleichungen.- 8.6. Geometrische Methoden.- 8.7. Chaos.- 8.8. Iterative Lösungsverfahren (Algorithmen).- 8.8.1. Euler-Cauchysches Polygonzugverfahren.- 8.8.2. Integralgleichungsverfahren.- 8.8.3. Praxis iterativer Verfahren.- 8.9. Übungen zum Selbsttest; Differentialgleichungen.- 9. Randwertprobleme.- 9.1. Die Rolle der Randbedingungen; Eindeutigkeitssatz.- 9.2. Bestimmung eines wirbelfreien Feldes aus seinen Quellen und Randwerten.- 9.2.1. Feld einer Ladungsverteilung im unendlichen Raum.- 9.2.2. Feld einer Ladungsverteilung bei endlichem Rand; Greensche Funktionen.- 9.3. Wirbel- und quellenfreie Vektorfelder.- 9.4. Bestimmung eines quellenfreien (inkompressiblen) Feldes aus seinen Wirbeln.- 9.4.1. Wirbelfeld im unendlichen Raum.- 9.4.2. Wirbelfeld im endlichen Bereich.- 9.5. Der (Helmholtzsche) Hauptsatz der Vektoranalysis.- 9.6. Vektordifferentialgleichungen.- 9.6.1. Elektromagnetische Felder.- 9.6.1.1. Statistische Felder.- 9.6.1.2. Feldgetriebene Ströme in Leitern.- 9.6.1.3. Elektromagnetische Wellen.- 9.6.2. Elastische Körper.- 9.6.3. Flüssigkeitsströmungen.- 9.6.4. Reduktion der Vektorpotentialgleichung auf eine Amplitudengleichung.- 9.6.5. Zusammenfassung in Darstellungssätzen.- Lösungen der Übungen zum Selbsttest.- Kleine Literaturauswahl.