Mathematische Methoden in Der Physik: Teil 2: Differentialrechnung II - Integrale - Gewöhnliche Differentialgleichungen - Lineare Funktionenräume - Pa

ISBN-13: 9783798505179 / Niemiecki / Miękka / 1979 / 244 str.

H. J. Seifert

Opis

Das Riemannsche Prinzip (Zerlegung der Definitionsmenge B in einfache Mengen B;)liegt fast allen numerischen Berechnungen und physikalischen Messungen von Integralen zugrunde. Das Lebesguesche Prinzip (Zerlegung der Zielmenge IR) fiihrt in allen Fiillen zum Erfolg, in denen das Integral nach 5.1.2.1 existiert. Entgegen dem Eindruck, den man aus einigen Darstellungen der Integrationstheorie gewinnen kann, liegt die Bedeutung des allgemeinen (Uber den Riemannschen weit hinausgehenden) Integralbegriffes nicht in der Moglichkeit, solche stark unstetigen Funktionen wie in 5 (ii) inte grieren zu konnen (den Physiker interessieren solche Funktionen ohne hin nicht). Entscheidend ist, daB die Menge der nach Lebesgue integrier baren Funktionen viel schonere Eigenschaften hat als ihre Teilmenge der Riemartn-integrierbaren Funktionen; iihnlich wie bei dem Obergang von (Q auf IR erhalten wir Vollstiilldigkeitseigenschaftell (siehe Satz 5.1 J. 7 und 7.1.3.4, andererseits Beispiel 5 (iii)). Dadurch, daB im Riemannschen Konzept in 5.1.1.3 und 5.1.0.3 nur endliche Summen zugelassen sind, entrallt zunachst die Moglichkeit, unbeschriinkte Funktionen oder Bereiche zuzulassen. Erst Uber den Umweg der uneigentlichen Integrale (5.2.3) sind viele in der Praxis + 00 1 d x2 bedeutsame Integrale wie S e- dx und S;; zu erklaren, obwohl X -x 0 V diese gemaB dem Konzept 5.1.0.3 genauso gute Integrale sind wie 1 2 etwa S x dx. o DaB immer noch in Grundkursen die Riemannsche Methode zur Definitioll des Integrals benutzt wird, ist wohl nur aus historischen GrUnden zu erkliiren.

Spis treści

4. Differentialrechnung (Fortsetzung von Band 1 = UTB 786).- 4.3 Elementare Funktionen.- 4.3.1 Differentiationsregeln.- 4.3.2 Polynome.- 4.3.3 Taylorreihen.- 4.3.4 Potenzreihen.- 4.3.5 Exponential- und Potenzfunktionen.- 4.4 Tensoranalysis.- 4.4.0 Zur Problemstellung.- 4.4.1 Koordinaten im E3.- 4.4.2 Kurven und Tangentenvektoren; Skalare und Gradienten.- 4.4.3 Äußere Ableitungen auf dem E3.- 4.4.4 Kinematik von Strömungen.- 5. Integrale.- 5.1 Integration im ?n.- 5.1.0 Motivation.- 5.1.1 Volumenmessung im ?n.- 5.1.2 Integrierbarkeit.- 5.1.3 Eigenschaften von Integralen.- 5.1.4 Iterierte Integrale.- 5.2 Integration auf ?n.- 5.2.1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 5.2.2 Regeln für die Integration auf ?.- 5.2.3 Uneigentliche Integrale.- 5.3 Integration im 𝔼3.- 5.3.1 Integrationsbereiche.- 5.3.2 Volumenmaße und Volumenelemente.- 5.3.3 Kurven-, Flächen- und Körperintegrale.- 5.3.4 Der Satz von Stokes.- 5.4 Integration auf ? (Funktionentheorie).- 5.4.1 Linearität auf ? und ?2.- 5.4.2 Differenzierbarkeit im Komplexen.- 5.4.3 Konsequenzen aus dem Satz von Cauchy.- 6. Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 6.0.1 Motivation.- 6.0.2 Klassifikation.- 6.1 Gewöhnliche explizite Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 6.1.1 Richtungsfeld und Integralkurven.- 6.1.2 Trennung der Veränderlichen.- 6.1.3 Existenz- und Eindeutigkeitssätze.- 6.2 Lineare Differentialgleichungen.- 6.2.0 Vorschau.- 6.2.1 Lösungsmengen der linearen Differentialgleichungen.- 6.2.2 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 6.2.3 Anfangs-, Rand- und Eigenwertprobleme.- 6.2.4 Der Potenzreihenansatz.- 7. Lineare Funktionenräume (ein Ausblick).- 7.0 Einstieg.- 7.1 Fourieranalyse.- 7.1.1 Einige Normen auf C.- 7.1.2 Darstellung in orthonormierten Basen.- 7.1.3 Fourier-Reihen.- 7.2 Distributionen.- 7.3 Die Fouriertransformation.- 8. Partielle Differentialgleichungen (ein Ausblick).- 8.1 Die Potential- und die Wellengleichung.- 8.1.0 Vorbetrachtungen.- 8.1.1 Die allgemeine Lösung von W2 und P2.- 8.2 Anfangs- und Randwertprobleme.- 8.2.1 Sachgemäß gestellte Probleme.- 8.2.2 AWP und RWP für W2 und P2.- 8.2.3 Abschlußbemerkungen.- 9. Register.- 9.1 Bestiarium der Vektorrechnung.- 9.2 Vertauschbarkeit von Operationen.- 9.3 Register für wichtige Beweisverfahren, Axiomensysteme, Klassen von Funktionen, physikalische Beispiele.- 9.4 Liste der Symbole und Abkürzungen.- 9.5 Sachwortverzeichnis..- Berichtigungen zu Teilband 1.