Mathematische Methoden Der Strömungsmechanik

ISBN-13: 9783528035730 / Niemiecki / Miękka / 1978 / 262 str.

Wilhelm Schneider

Opis

Stromungsmechanik wird tiberwiegend von Ingenieuren gelernt, angewandt und weiterentwickelt. Nur wenige Ingenieure bringen aber aus dem Mathematik-Unterricht an den Technischen Hoch- schulen, Technischen Universitaten oder Fachhochschulen jene mathematischen Kenntnisse und Fertigkeiten mit, die heute in der Stromungsmechanik und in anderen ingenieurwissenschaftlichen Grundlagenfachern (Mechanik fester Korper, Thermodynamik, Warmetibertragung usw_) gebraucht werden_ Vor allem mange It es an der Fahigkeit, das in den mathematischen Grundvorlesungen er- worbene Wissen zur Losung konkreter Probleme anzuwenden. Auch mit der bisher vorhandenen Literatur ist es nicht leicht, sich die gewiinschten Kenntnisse und Erfahrungen, besonders im Umgang mit partiellen Differentialgleichungen, anzueignen. Mathernatische Werke erschrecken den Ingenieur durch allzu viet theoretischen Ballast und ver- nachlassigen oft nicht nur die Anwendungen, sondern auch gerade jene Methoden, die zur Losung praktischer Probleme besonders ntitzlich sind. Auf der anderen Seite betonen die Lehrbticher der Anwendungsgebiete, zum Beispiel der Stromungsmechanik, naturgemiill die physikalischen Theo- rien und ihre Ergebnisse mehr als die mathematischen Hilfsmittel. Das vorliegende Buch soll diese LUcke schlie en helfen. Es ist vor allem fUr Ingenieure gedacht, wendet sich aber auch an Physiker und andere Naturwissenschaftler, die mit partiellen Differential- gleichungen zu tun haben. Dariiber hinaus dUrfte das Buch fUr jene Mathematiker ntitzlich sein, die sich fUr naturwissenschaftliche Anwendungen der Mathematik interessieren. Dem Zweck des Buches entsprechend liegt das Schwergewicht auf einer Darstellung der Methoden.

Spis treści

A: Einige Grundbegriffe.- 1. Einleitung: Partielle Differentialgleichungen, Rand- und Anfangsbedingungen.- 2. Äquivalenz von Differentialgleichungs-Systemen und Einzel-Differentialgleichungen.- 3. Lineare, nichtlineare und quasilineare Differentialgleichungen.- 4. Rand- und Anfangswertproblerne.- 4.1. Ein Randwertproblem: Ebene inkompressible Potentialströmung um einen Kreiszylinder.- 4.2. Ein Anfangswertproblem: Ausgleich von kleinen Druckstörungen in einem gasgefüllten Rohr.- 4.3. Ein Anfangs-Randwert-Problem: Das Kolbenproblem.- 4.4. Ein Ausstrahlungsproblem: Instationäre Massenquelle.- 5. Charakteristiken.- 5.1. Die Charakteristiken als Kurven unbestimmter äußerer Ableitungen.- 5.2. Verträglichkeits-und Richtungsbedingungen.- 5.3. Verallgemeinerungen.- 6. Elliptische, hyperbolische und parabolische Differentialgleichungen.- 7. Direkte und indirekte Methoden; inverse Probleme.- Literaturhinweise zu Teil A.- B: Methoden zur exakten Lösung nichtlinearer partieller Differentialgleichungen.- 8. Partielle Differentialgleichung erster Ordnung.- 8.1. Quasilineare Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei Unabhängigen.- 8.2. Quasilineare Differentialgleichung mit mehr als zwei Unabhängigen.- 9. Separation der Variablen bei nichtlinearen Problemen.- 10. Ähnlichkeitslösungen.- 10.1. Einführendes Beispiel: Die plötzlich in Bewegung gesetzte Wand.- 10.2. Überblick über die Methoden zur Gewinnung von Ähnlichkeitslösungen.- 10.3. Ähnlichkeitslösungen der Grenzschicht-Gleichungen.- 10.4. Zusammenfassung des Rechenganges.- 11. Weitere Lösungen spezieller Form.- 11.1. Fortschreitende Wellen unveränderlicher Form.- 11.2. Funktionsbeziehung zwischen abhängigen Variablen.- 12. Transformation auf lineare Differentialgleichungen.- 12.1. Hodographentransformation.- 12.1.1. Beispiel: Ebene Gasströmung.- 12.1.2. Verallgemeinerung.- 12.1.3. Superposition von Lösungen.- 12.1.4. Faltungen, Grenzlinien, Verzweigungslinien.- 12.2. Legendre-Potential und Legendre-Transformation.- 12.3. Molenbroek-Transformation.- 12.4. Tschaplygin-Transformation.- 12.5. Christianowitsch-Transformation, Rheograph.- 12.5.1. Partikulärlösungen.- 12.5.2. Inkompressible Vergleichsströmung.- 13. Methode der Parameter-Differentiation.- 13.1. Einfuhrungsbeispiel: Integration der Falkner-Skan-Gleichung der Grenzschichttheorie.- 13.2. Allgemeine Darstellung der Methode.- 13.3. Anwendung auf eine partielle Differentialgleichung.- Literaturhinweise zu Teil B.- C: Störungsmethoden I (Allgemeines Verfahren; reguläre Störungsprobleme).- 14. Asymptotische Entwicklung nach einem Parameter.- 14.1. Einführungsbeispiel: Linearisierung der Grundgleichung für kompressible Strömungen.- 14.2. Begriff der Größenordnung.- 14.3. Begriff der asymptotischen Reihe.- 14.4. Unabhängige Variable als Entwicklungsparameter.- 14.5. Zur Frage der Konvergenz.- 14.6. Programmgesteuerte Fortsetzung von Reihen.- 14.7. Gleichmäßige Gültigkeit.- 14.8. Linearisierung und Teillinearisierung.- 14.9. Anwendungsbeispiel: Sekundärströmung an einer rotierenden Kugel.- 14.10.Zusammenfassung des Rechenganges.- 15. Entwicklung nach mehr als einem Parameter.- 15.1. Vorbemerkungen.- 15.2. Schwach kompressible Strömung um ein dünnes Profil: Vertauschbare Grenzübergänge.- 15.3. Schallnahe Strömung um ein dünnes Profil: Nicht vertauschbare Grenzübergänge; Ähnlichkeitsgesetz.- Literaturhinweise zu Teil C.- D: Lösungsmethoden für lineare partielle Differentialgleichungen.- 16. Wichtige Eigenschaften linearer Differentialgleichungen.- 17. Separation der Variablen bei linearen Problemen.- 17.1. Einführungsbeispiel: Potentialströmung um ein elliptisches Profil.- 17.2. Fortschreitende harmonische Wellen.- 17.2.1. Dispersion; Phasen-und Gruppengeschwindigkeit.- 17.2.2. Komplexe Wellenzahl; Dämpfung.- 17.2.3. Wellengleichungen höherer Ordnung.- 17.2.4. Wellengleichung im Raum.- 17.3. Stehende harmonische Wellen; Eigenwertprobleme; Resonanz.- 17.4. Entwicklung nach trigonometrischen Funktionen.- 17.4.1. Kanal-Anlaufströmung; Fourier-Reihe.- 17.4.2. Fourier-Integral.- 17.5. Entwicklungen nach Bessel- und Legendre-Funktionen.- 17.5.1. Beispiel: Wärmeübertragung im Kreisrohr.- 17.5.2. Verbesserung des Konvergenzverhaltens.- 17.6. Zusammenfassung des Rechenganges.- 18. Singularitätenmethode.- 18.1. Einführende Beispiele.- 18.2. Überblick über wichtige Singularitäten.- 18.2.1. Ebene und räumliche, inkompressible Potentialströmungen.- 18.2.2. Quellartige Singularitäten für Unter- und Überschallströmungen.- 18.2.3. Instationäre Quellen.- 18.2.4. Dipol- und wirbelartige Singularitäten.- 18.2.5. Bewegte Singularitäten.- 18.2.6. Bemerkungen zu Singularitäten für Strömungen mit Reibung.- 18.3. Gewinnung von neuen Singularitäten.- 18.3.1. Einführung von Polarkoordinaten.- 18.3.2. Verwendung der 5-Funktion.- 18.4. Ermittlung der Belegungsdichte aus den Randbedingungen.- 18.4.1. Quellb elegung für schlanke Körper.- 18.4.2. Wirbelbelegung für angestellte und gewölbte Platten.- 18.4.3. Beliebige (insbesondere: dicke) Profile und Körper.- 18.5. Besonderheiten bei hyperbolischen Differentialgleichungen.- 18.5.1. Berücksichtigung der Abhängigkeitsgebiete.- 18.5.2. Schwierigkeiten beim Differenzieren.- 18.6. Zusammenfassung des Rechenganges bei der Methode der Singularitätenbelegung.- 19. Anwendung der Funktionentheorie.- 19.1. Beschreibung von Strömungsfeldern mit analytischen Funktionen.- 19.1.1. Komplexes Geschwindigkeitspotential.- 19.1.2. Einfache Beispiele für komplexe Potentiale.- 19.1.3. Reibungsströmungen in Stokesscher Näherung.- 19.2. Rekapitulation wichtiger Sätze über analytische Funktionen.- 19.2.1. Cauchyscher Integralsatz.- 19.2.2. Cauchysche Integralformel.- 19.2.3. Laurentsche Reihe, Residuum.- 19.2.4. Residuensatz.- 19.2.5. Poissonsche Integralformeln.- 19.3. Anwendungsbeispiele.- 19.3.1. Vorbemerkung über die Wahl der Integrationswege.- 19.3.2. Blasiussche Formeln.- 19.3.3. Potentialströmungen um dünne Profile.- 19.3.4. Reibungsströmung im Inneren eines Kreiszylinders.- 19.4. Spiegelungsmethode und Kreistheorem.- 19.5. Konforme Abbüdung.- 19.5.1. Allgemeines.- 19.5.2. Beispiele.- 19.5.3. Auffinden konformer Abbildungsfunktionen.- Literaturhinweise zu Teil D.- E: Störungsmethoden II (Singuläre Störungsprobleme).- 20. Methode der Koordinatenstörung (Analytisches Charakteristikenverfahren).- 20.1. Das Versagen der klassischen Linearisierung bei Wellenausbreitungsvorgängen.- 20.2. Konzept der Koordinatenstörung.- 20.3. Durchrechnung am Beispiel der ebenen Wellenausbreitung.- 20.3.1. Richtungs- und Verträglichkeitsbedingungen als Ausgangsgleichungen.- 20.3.2. Asymptotische Entwicklung der Richtungs- und Verträglichkeitsbedingungen.- 20.3.3. Lösungsschema.- 20.3.4. Die ungestörten Koordinaten t0, x0.- 20.3.5. Rand-und Anfangsbedingungen.- 20.3.6. Die Zustandsstörungen erster Ordnung.- 20.3.7. Die Koordinatenstörungen erster Ordnung.- 20.3.8. Die Zustandsstörungen zweiter Ordnung.- 20.3.9. Übergang zur physikalischen Ebene.- 20.4. Faltungsgebiete und Verdichtungsstöße.- 20.5. Zentrierte Expansionswellen.- 20.6. Besonderheiten bei zentralsymmetrischen Problemen und Problemen mit mehrals zwei Unabhängigen.- 20.7. Zusammenfassung des Rechenganges beim analytischen Charakteristikenverfahren.- 21. Angepaßte asymptotische Entwicklungen.- 21.1. Einführungsbeispiel: Gedämpfte Schwingung einer kleinen Masse.- 21.2. Äußere und innere Entwicklungen, primäre und sekundäre Entwicklungen.- 21.3. Anpassungsvorschriften.- 21.3.1. Überlappungsbereich und Zwischenentwicklung.- 21.3.2. Asymptotische Anpassungsvorschrift nach Van Dyke.- 21.4. Konstruktion gleichmäßig gültiger Lösungen.- 21.4.1. Additive Zusammensetzung.- 21.4.2. Multiplikative Zusammensetzung.- 21.4.3. Versagen der Zusammensetzungsregeln.- 21.5. Zusammenfassung des Rechenganges.- 21.6. Anwendungsbeispiele.- 21.6.1. Strömungen bei großen Reynoldsschen Zahlen; Grenzschichttheorie.- 21.6.2. Strömungen bei kleinen Reynoldsschen Zahlen.- 21.7. Alternative: Methode der gleichmäßig gültigen Differentialgleichungen.- 21.8. Verschiedene Komplikationen.- 21.8.1. Störparameter im Exponenten.- 21.8.2. Mehr als 2 Schichten.- 21.8.3. Mehr als 1 Störparameter.- 21.8.4. Kombination mit anderen Methoden.- 21.8.5. Versagen der Methode der angepaßten asymptotischen Entwicklungen.- 22. Methode der mehrfachen Variablen und verwandte Methoden.- 22.1. Einführungsbeispiel: Schwach gedämpfte Schwingung.- 22.1.1. Reguläre Entwicklung; Säkularterm.- 22.1.2. Gleichmäßig gültige erste Näherung.- 22.1.3. Zweite Näherung; Frequenzverschiebung.- 22.2. Verallgemeinerungen und Zusammenfassung des Rechenganges.- 22.3. Anwendung auf partielle Differentialgleichungen: Langsame Kompression eines Gases in einem Zylinder.- 22.4. Mittelungsmethoden.- 22.4.1. Methode von Krylow und Bogoljubow.- 22.4.2. Variationsmethode von Whitham.- Literaturhinweise zu Teil E.- Flußdiagramm zur Lösung partieller Differentialgleichungen mit den behandelten Methoden.- Sachwortverzeichnis.

O autorze

Wilhelm Schneider ist Professor am Institut für Strömungslehre und Wärmeübertragung der Technischen Universität Wien. Er wurde im Laufe seiner wissenschaftlichen Karriere vielfach geehrt, u.a. erhielt er die höchste Auszeichnung der Deutschen Gesellschaft für Luft- und Raumfahrt (DGLR) für seine herausragenden Leistungen in Forschung und Lehre auf dem Gesamtgebiet der Thermofluiddynamik. Besonders seine Forschungsarbeiten zu Über- und Hyperschallströmungen, zur Strahlungsgasdynamik, zu Konvektionsströmungen und zu Strömungen mit Phasenumwandlungen wurden gewürdigt.