Mathematische Methoden Der Physik I: Analysis

ISBN-13: 9783540094111 / Niemiecki / Miękka / 1979 / 342 str.

Siegfried Fla1/4gge

Spis treści

I. Funktionentheorie.- §1. Grundbegriffe.- a) Differentiation. Konforme Abbildung.- b) Einfache physikalische Beispiele zur konformen Abbildung.- c) Komplexe Integrale. Cauchysche Formeln.- §2. Beispiele zur komplexen Integration.- a) Periodischer Integrand.- b) Sprungfunktion.- c) Erzeugende Funktion.- §3. Über die Diracsche Deltafunktion.- §4. Fortsetzung der allgemeinen Theorie.- a) Unendlich ferner Punkt.- b) Mehrdeutigkeit. Riemannsche Blätter.- c) Potenzreihen.- d) Allgemeine Konvergenzkriterien.- e) Darstellung einer Funktion durch ihre Pole und Nullstellen.- §5. Die Gammafunktion.- a) Elementare Beziehungen.- b) Die Betafunktion.- c) Die Produktdarstellung von Weierstrass.- d) Die logarithmische Ableitung der Gammafunktion.- e) Die Stirlingsche Formel.- f) Die Verdopplungsformel.- §6. Die hypergeometrische Reihe.- a) Lösungen der Gaußschen Differentialgleichung.- b) Die Integraldarstellung von Barnes.- c) Die Singularität bei z = 1.- d) Die konfluente Reihe.- e) Coulombfunktionen.- §7. Semikonvergente Reihen.- Aufgaben 1–25.- II. Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen.- §1. Homogene Differentialgleichungen: Grundlagen.- a) Standardformen. Wronski-Determinante.- b) Singularitäten und Potenzreihen.- §2. Inhomogene Differentialgleichungen.- §3. Randwertprobleme, Eigenwertprobleme.- a) Homogene und inhomogene Probleme.- b) Das Eigenwertproblem von Sturm und Liouville.- c) Der Alternativsatz.- d) Der Knotensatz.- e) Andere Randbedingungen.- §4. Integralgleichungen.- a) Vorbemerkungen.- b) Integralgleichungen und algebraische Gleichungen.- c) Die homogene Fredholmsche Gleichung.- d) Inhomogene Fredholmsche Gleichungen.- e) Integralgleichungen erster Art. Volterrasche Gleichungen.- §5. Lösung durch Integral transformation.- a) Erläuterung der Methode.- b) Laplace-Transformation.- c) Fourier-Transformation.- d) Eulersehe Transformation.- §6. Variationsmethoden.- a) Allgemeine Theorie.- b) Homogenes Variationsproblem.- c) Integralgleichungen und Variationsmethode.- d) Ritzsches Verfahren.- Aufgaben 1–31.- III. Spezielle Funktionen.- §1. Zylinderfunktionen.- a) Definitionen.- b) Asymptotik.- c) Ganzzahlige und halbzahlige Indices.- d) Rekursionsformeln und Integrale über Zylinderfunktionen.- e) Modifizierte Zylinderfunktionen.- f) Airysche Integrale.- g) Entwicklungen für große ?.- §2. Legendresche Funktionen.- a) Legendresche Polynome.- b) Entwicklung nach Legendreschen Polynomen.- c) Legendresche Funktionen erster Art.- d) Legendresche Funktionen zweiter Art.- e) Zugeordnete Legendresche Funktionen.- §3. Systeme orthogonal er Polynome.- a) Laguerresche Polynome.- b) Hermitesche Polynome.- c) Gegenbauersche Polynome.- d) Jacobi-Polynome.- Aufgaben 1–21.- IV. Partielle Differentialgleichungen der Physik.- §1. Einleitung.- §2. Die Helmholtzsche Differentialgleichung.- a) Die einfachsten Lösungen.- b) Kugelfunktionen.- c) Anwendung des Superpositionsprinzips.- d) Translationsinvarianz.- §3. Dreidimensionale Drehungen.- a) Beschreibung einer dreidimensionalen Drehung.- b) Die Drehoperatoren.- c) Die Transformationskoeffizienten der Kugelfunktionen.- §4. Vektorkugelfunktionen.- a) Physikalische Motivierung.- b) Eigenschaften der Vektorkugelfunktionen.- §5. Greensche Funktionen.- a) Die Poissonsche Gleichung.- b) Die inhomogenen Gleichungen von Helmholtz und Yukawa.- c) Wellengleichung der Elektrodynamik.- d) Die Klein-Gordon-Gleichung.- Aufgaben 1–12.