Mathematische Hilfsmittel Des Ingenieurs

ISBN-13: 9783642950315 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 538 str.

Tatomir P. Angelitch; G. Aumann; Friedrich Wilhelm Bauer

Spis treści

F. Algebra.- F. Algebra.- § l. Grundlagen der allgemeinen Algebra.- 1.1 Mengen und Abbildungen.- 1.2 Algebraische Strukturen.- 1.3 Halbgruppen.- 1.4 Gruppen.- 1.5 Ringe.- 1.6 Teilbarkeit.- 1.7 Körper und Schiefkörper.- 1.8 Vektorräume.- 1.9 Algebren.- 1.10 Verbände.- § 2. Lineare Algebra.- 2.1 Der Rang linearer Abbildungen.- 2.2 Basistransformationen.- 2.3 Das Skalarprodukt. Hermitische, unitäre und definite lineare Abbildungen.- 2.4 Quadratische und hermitische Formen.- 2.5 Determinanten.- 2.6 Das Vektorprodukt im R3.- 2.7 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 2.8 Die Jordansche Normalform.- 2.9 Spezielle Klassen von Matrizen.- 2.10 Normierte Vektorräume.- § 3. Die Lage von Nullstellen und Eigenwerten in der komplexen Ebene.- 3.1 Nullstellen von Polynomen.- 3.2 Eigenwertabschätzungen.- 3.3 Nichtnegative Matrizen.- 3-4 M-Matrizen und Iterationsverfahren zur Gleichungsauflösung.- Literatur.- G. Geometrie und Tensorkalkül.- I. Geometrie.- § 1. Affine Geometrie.- 1.1 Lineare Transformationen.- 1.2 Eigenschaften der affinen Abbildungen.- 1.3 Orthogonale Transformationen.- 1.4 Affine Klassifikation der Kegelschnitte in der Ebene (n = 2).- 1.5 Affine Klassifikation der Flächen zweiter Ordnung im dreidimensionalen Raum (n = 3).- § 2. Projektive Geometrie.- 2.1 Homogene projektive Koordinaten und uneigentliche Elemente.- 2.2 Lineare Transformationen.- 2.3 Eigenschaften der projektiven Abbildungen.- 2.4 Projektive Erzeugung und Klassifikation der Kurven zweiter Ordnung.- 2.5 Projektive Erzeugung und Klassifikation der Flächen zweiter Ordnung.- 2.6 Linien- und Ebenenkoordinaten; Dualität.- 2.7 Beispiele zum Dualitätsgesetz.- § 3. Nomographie.- 3.1 Skalen und Doppelskalen.- 3.2 Netztafeln für Funktionen von 2 Veränderlichen.- 3.3 Geradlinige Netztafeln für Funktionen von 2 Veränderlichen.- 3.4 Skalentafeln für Funktionen von 2 Veränderlichen.- 3.5 Erläuterungen an einem Beispiel.- 3.6 Nomogramme für Funktionen von mehr als 2 Veränderlichen.- §4. Sphärische Trigonometrie.- 4.1 Dreikant und Polardreikant; sphärisches Dreieck.- 4.2 Grundformen für die Seiten und Winkel des sphärischen Dreiecks.- 4.3 Folgerungen aus den Grundgleichungen.- 4.4 Spezialisierung der Grundformeln für das rechtwinklige sphärische Dreieck.- § 5. Vektoralgebra.- 5.1 Linearkombinationen von Vektoren.- 5.2 Innenprodukt zweier Vektoren.- 5.3 Außenprodukt zweier Vektoren.- 5.4 Spatprodukt dreier Vektoren.- 5.5 Weitere Sätze der Vektorrechnung.- §6. Vektoranalysis.- 6.1 Differentialoperator grad F in einem skalaren Feld.- 6.2 Differentialoperatoren in einem Vektorfeld.- 6.3 Integralsätze.- 6.4 Wirbelfreie Vektorfelder und quellenfreie Vektorfelder.- 6.5 Anwendungen auf die Strömungslehre und Beziehungen zur Funktionentheorie.- § 7. Differentialgeometrie der Kurven.- 7.1 Ebene Kurven.- 7.2 Raumkurven.- § 8. Differentialgeometrie der Flächen.- 8.1 Darstellung einer Fläche.- 8.2 Spezielle Flächenklassen.- 8.3 Geometrie auf der Fläche (1. Fundamentalform); Tangentenebene und Normale.- 8.4 Verbiegung der Flächen.- 8.5 Einbettung der Fläche in den Raum (2. Fundamentalform).- 8.6 Krümmungseigenschaften der Flächenkurven.- 8.7 Krümmungslinien und Asymptotenlinien.- 8.8 Geodätische Linien.- 8.9 Gaußsches Krümmungsmaß.- § 9. Anwendungen der Differentialgeometrie auf die Getriebelehre.- 9.1 Beziehungen zur ebenen und sphärischen Kinematik.- 9.2 Verzahnungen der Stirnräder und konischen Räder.- 9.3 Beziehungen zur räumlichen Kinematik (Hyperboloidräder).- § 10. Allgemeine Koordinatensysteme im Raum.- 10.1 Linienelement im Euklidischen En.- 10.2 Erläuterung an Beispielen im E3.- 10.3 Differentialoperatoren der Vektoranalysis.- II. Tensorkalkül nebst Anwendungen.- Tensoralgebra.- § 1. Punkt. Raum. Koordinatensystem. Koordinatentransformation.- § 2. Skalare. Vektoren.- § 3. Operationen mit Vektoren. Tensoren.- § 4. Äußeres Produkt von Vektoren (Multivektoren).- § 5. Verjüngung. Überschiebung. Skalarprodukt von Vektoren. Kronecker-Symbol.- § 6. Relative Tensoren (Pseudotensoren). e-Tensoren. Vektorprodukt von Vektoren.- § 7. Affine Tensoren. Orthogonale Tensoren.- § 8. Maßtensor. Maßbestimmung. Riccis alternierender Tensor.- § 9. Kurvenbogen. Vektorbetrag. Winkel zwischen zwei Richtungen.- § 10. Verschiebung der Indizes. Zugeordnete Tensoren. Physikalische Komponenten von Tensoren.- § 11. Hauptrichtungen eines Tensors zweiter Stufe. Tensorflächen.- Tensoranalysis.- § 12. Christoffel-Symbole.- § 13. Kovariante Ableitung von Tensoren.- § 14. Absolutes Differential und absolute Ableitung von Tensoren.- § 15. Beschleunigung. Bewegungsgleichungen des Massenpunktes und des Systems von Massenpunkten.- § 16. Differentialoperatoren.- § 17. Veranschaulichung von Skalar- und Vektorfeldern.- § 18. Integralsätze für Vektor- und Tensorfelder.- § 19. Wärmefeld.- § 20. Lorentz-invariante Darstellung der Grundgleichungen der Elektrodynamik.- § 21. Riemann-Christoffel-Tensor. Bianchi-Identität. Ricci-Tensor. Einstein-Tensor.- § 22. Parallelverschiebung. Geodätische Linien.- § 23. Besondere Koordinatensysteme in Riemannschen Räumen.- § 24. Krümmung von Flächen. Riemannsche Krümmung von allgemeinen Räumen.- § 25. Grundlegendes über die Verformung von Kontinua.- Literatur.- H. Interpolation und genäherte Quadratur.- H. Interpolation und genäherte Quadratur.- § 1. Interpolation, Einleitung.- § 2. Interpolation durch Polynome. Beliebige Stützstellen.- 2.1 Das Interpolationspolynom.- 2.2 Die Interpolationsformel von Lagrange.- 2.3 Die baryzentrische Formel.- 2.4 Der Algorithmus von Aitken-Neville.- 2.4.1 Erklärung.- 2.4.2 Die Variante von Neville.- 2.5 Dividierte Differenzen.- 2.6 Die Interpolationsformel von Newton.- 2.7 Interpolationsformeln für konfluente Stützstellen.- 2.7.1 Dividierte Differenzen.- 2.7.2 Interpolationsformel von Newton.- 2.7.3 Die Interpolationsformel von Neville.- 2.7.4 Interpolationsformel von Hermite.- § 3. Interpolation durch Polynome. Gleichabständige Stützstellen.- 3.1 Binomialkoeffizienten.- 3.2 Differenzenschema.- 3.2.1 Spezielle Anwendungen des Differenzenschemas.- 3.3 Interpolationsformeln für gleichabständige Stützstellen.- 3.3.1 Formel von Lagrange.- 3-3-2 Baryzentrische Formel.- 3.3.3 Die Formeln von Newton.- 3.3.4 Die Formeln von Gauss, Bessel, Everett und Stirling.- 3.5 Praktische Interpolation in einer Tafel.- 3.6 Glatte Interpolation.- 3.6.1 Allgemeine Formel.- 3.6.2 Spezielle Formeln.- § 4. Spline-Interpolation.- 4.1 Spezielle Spline-Interpolation.- 4.1.1 Erklärung.- 4.1.2 ALGOL-Programm.- 4.1.3 Varianten zur speziellen Spline-Interpolation.- 4.2 Allgemeine Spline-Interpolation.- 4.3 Glättende Spline-Interpolation.- 4.3.1 Erklärung.- 4.3.2 Konstruktion der glättenden Spline-Funktion nach Reinsch.- 4.3.3 ALGOL-Programm.- § 5. Interpolation durch rationale Funktionen.- 5.1 Erklärung.- 5.2 Inverse und reziproke Differenzen.- 5.2.1 Inverse Differenzen.- 5.2.2 Reziproke Differenzen.- 5.3 Die Interpolationsformel von Thiele.- 5.4 Die Interpolationsformen von Stoer.- 5.4.1 Der erste Algorithmus.- 5.4.2 Der zweite Algorithmus.- § 6. Interpolation bei Funktionen mehrerer Veränderlicher.- 6.1 Allgemeines.- 6.2 Vollständige und gesättigte Polynome, Silhouette und assoziiertes Gitter, Lösbarkeit der Interpolationsaufgabe.- 6.3 Interpolation bei rechteckigem assoziierten Gitter.- 6.3.1 Interpolationsformel von Lagrange.- 6.3.2 Interpolation durch Zurückführung auf eine unabhängige Variable.- 6.3.3 Interpolationsformel von Newton..- 6.4 Interpolation bei allgemeiner Lage der Stützpunkte.- § 7. Numerische Quadratur.- 7.1 Die Trapezformel.- 7.2 Quadratur durch Trapezsummenextrapolation.- 7.2.1 Das allgemeine Verfahren.- 7.2.2 Berechnung von Schranken für das bestimmte Integral.- 7.2.3 Spezielle Extrapolationsformeln.- 7.3 Die Quadraturformeln von Newton und Cotes.- 7.4 Hermitesche Quadraturformeln.- 7.5 Quadratur der Binomialkoeffizienten.- 7.6 Zentrale Quadraturformeln.- 7.6.1 Integration der Besselschen Formel.- 7.6.2 Integration der Stirlingschen Formel.- 7.7 Periphere Quadraturformeln für das Verfahren von Adams.- 7.8 Iterierte Quadratur.- 7.9 Numerische Quadratur nach Gauss.- Schlußbemerkungen und Literaturhinweise.- I. Approximation von Funktionen.- I. Theoretische Grundlagen.- § 1. Einführung.- 1.1 Zweck der Approximationstheorie.- 1.2 Das Beispiel der Fourier-Analyse.- 1.3 Das Beispiel des Weierstraßschen Approximationssatzes.- § 2. Das allgemeine Approximationsproblem.- 2.1 Die Grundaufgabe AP(g, F, p).- 2.2 Klassenprobleme.- § 3. Globale und lokalisierte Approximation.- 3.1 Globale Approximation.- 3.2 Lokalisierte Approximation.- 3.3 Beispiel des Übergangs von einem globalen zu einem lokalisierten Problem.- 3.4 Beispiel einer Diskretisierung.- § 4. Approximation gemäß Normen und Seminormen.- 4.1 Normen und Seminormen.- 4.2 Allgemeine Eigenschaften eines A P gemäß einer Seminorm.- 4.3 Die Lösung des AP(g,F,p) mit der G- bzw. T-Norm.- 4.4 Der Differentialkorrekturalgorithmus zur Berechnung von D für die T-Norm.- 4.5 Approximation bei glatter Norm.- §5. Schranken für den Defekt D(g,F,p).- 5.1 Einschließungen von D(g,F,p).- 5.2 Untere Schranken von D mittels linearer Funktionale.- 5.3 Vergleichsfaktoren.- § 6. Beliebig genaue Approximationen.- 6.1 Das Kriterium von Korovkin.- 6.2 Approximationsbasen.- 6.3 Der Stonesche Approximationssatz.- § 7. Approximation von Funktionen mehrerer Veränderlicher durch Funktionen weniger Veränderlicher.- 7.1 T-Norm-Approximationen.- 7.2 G-Norm-Approximationen.- Literatur.- II. Darstellung von Funktionen in Rechenautomaten.- § l. Einleitung.- § 2. Entwicklung von Funktionen nach Tschebyscheff-Polynomen.- 2.1 Kritik der Polynomdarstellung, Bedeutung der Tschebyscheff-Entwicklung.- 2.2 Eigenschaften der Tschebyscheff-Polynome.- 2.3 Rechnen mit T-Entwicklungen.- 2.3.1 Formale Operationen mit T-Entwicklungen.- 2.3.2 Numerische Auswertung der T-Entwicklung.- 2.4 Berechnung der Tschebyscheff-Koeffizienten.- 2.4.1 Allgemeine Verfahren.- 2.4.2 Berechnung mittels Laurent-Reihen.- 2.4.3 Rekursive Berechnung von T-Koeffizienten.- 2.4.4 Verzeichnis von berechneten T-Koeffizienten.- 2.5 Ö konomisieren einer Potenzreihe.- 2.6 Beziehungen zur Tschebyscheff-Approximation.- § 3. Approximation singulärer Funktionen.- 3.1 Intervalle unendlicher Länge.- 3.2 Hilfsfunktionen.- § 4. Kettenbrüche.- 4.1 Einführung.- 4.2 Die Äquivalenztransformation und Kontraktion von Kettenbrüchen.- 4.3 Konvergenzkriterien für Kettenbrüche.- 4.4 Die Konvergenz von Funktionskettenbrüchen.- 4.5 Darstellung von Funktionen durch Kettenbrüche.- 4.5.1 Korrespondierende Kettenbrüche.- 4.5.2 Der QD-Algorithmus von Rutishauser.- 4.5.3 Der ?-Algorithmus.- 4.5.4 Der ?-Algorithmus von Wynn.- § 5. Die Bartky-Transformation zur Berechnung elliptischer und verwandter Integrale.- 5.1 Allgemeine Transformationsformeln.- 5.2 Spezielle Algorithmen.- 5.2.1 Das vollständige elliptische Integral 1. Gattung.- 5.2.2 Das allgemeine vollständige elliptische Integral.- 5.2.3 Weitere spezielle Rekursionsformeln.- 5-3 Die allgemeinen Quadraturformeln.- 5.3.1 ALGOL-Programm.- § 6. Berechnung periodischer Funktionen und numerische Fourier-Analyse.- 6.1 Erklärung.- 6.2 Der Algorithmus von Goertzel.- 6.3 Der Algorithmus von Cooley und Tukey.- 6.3.1 Erklärung.- 6.3-2 ALGOL-Programme.- § 7. Berechnung von Zylinderfunktionen aus linearen Rekursionsformeln.- 7.1 Einleitung.- 7.2 Berechnung der Bessel- und Neumann-Funktionen.- 7.2.1 Berechnung von Yv(x).- 7.2.2 Berechnung von Jv(x).- 7.3 Berechnung der modifizierten Bessel-Funktionen.- 7.3.1 Berechnung von Kv(x).- 7.3.2 Berechnung von Iv(x).- Literatur.- J. Lineare und nichtlineare Optimierung.- J. Lineare und nichtlineare Optimierung.- Die lineare Optimierung.- § 1. Problemstellung, Bezeichnungen und Definitionen.- § 2. Mathematische Grundlagen der linearen Optimierungstheorie.- 2.1 Über Punktmengen und konvexe Mengen.- 2.2 Der zulässige Bereich und die zulässigen Lösungen in der linearen Optimierung.- § 3. Austausch schritte bei den dualen Restriktionssystemen.- § 4. Die Simplexmethode.- § 5. Die Degeneration.- § 6. Dualität und duale Simplexmethode.- § 7. Die ganzzahlige lineare Optimierung.- § 8. Der Duoplexalgorithmus.- Nichtlineare Optimierung.- § 9. Ausblick in die nichtlineare Optimierung.- § 10. Das Verfahren von Beale für die quadratische Optimierung.- Literatur.- K. Rechenanlagen.- § 1. Modelle und Algorithmen.- 1.1 Konkrete und abstrakte Modelle.- 1.2 Analytische und numerische Rechenmethoden.- 1.3 Algorithmen und Programme.- 1.4 Algorithmen für die Matrixmultiplikation als Beispiel.- § 2. Mechanisierung der Datenverarbeitung.- 2.1 Die arithmetischen Operationen.- 2.2 Datentransport und Speicherung.- 2.3 Zähl- und Vergleichsoperationen.- 2.4 Speicherplatzidenitifizierung.- 2.5 Das automatische Datenverarbeitungssystem.- 2.6 Das Programm für die Matrixmultiplikation als Beispiel.- 2.7 Mechanisierung der Programmsteuerung.- § 3. Programmiersprachen.- 3.1 Der Begriff des Programms und seine Konsequenzen.- 3.2 Maschinensprachen.- 3.3 Möglichkeiten der Sprachumsetzung.- 3.4 Problemorientierte Programmiersprachen.- Literatur.- Verzeichnis spezieller Symbole.