Mathematische Hilfsmittel Des Ingenieurs

ISBN-13: 9783642949913 / Niemiecki / Miękka / 2012 / 500 str.

Gustav Doetsch; F. W. Sch Fke; H. Tietz

Opis

234 Originalvariable x nur ganzzahlige Werte annimmt, dann ist das Integral durch eine unendliche Summe zu ersetzen. Einige der im folgenden behandelten Transformationen gehOren zu diesen beiden Typen. Da wir nUr lineare Transformationen betrachten, wird spiiter die Eigenschaft der Linearitat nicht mehr eigens erwahnt. 2. Der Hilbertsche Raum L2 Bei einer Integraitransformation HiBt man i. aUg. als Original funktionen aUe I (x) zu, fur die das Integral existiert. Manche Eigen schaften der Transformation lassen sich aber nUr dann exakt formu lieren und beweisen, wenn man die I (x) auf engere Raume beschrankt, die durch innere, von der Transformation unabhangige Eigenschaften charakterisiert sind. In dieser Beziehung ist der Raum der quadratisch l integrablen Funktionen am wichtigsten . Dieser laBt sich auffassen als Analogon zu dem Euklidischen Raum Rn von n Dimensionen, in dem sich die Variablen der gew6hnlichen Funktionen bewegen. Der Rn ist dadurch ausgezeichnet, daB in ihm die Distanz zweier Punkte Xl = (Xll', Xl II), X2 = (X21> ., X2 n) als die positive Wurzel aus n d (Xl, X2)2 = (Xl v - X2v)2 . -1 definiert ist. Es liegt nahe, im Raum der in dem endlichen oder unend lichen IntervaU (a, b) definierten Funktionen die Distanz zweier Ele 2 mente 11, 12 durch den entsprechenden Ausdruck b d (11, 12)2 = jill (X) - 12 (X) 12 dx a zu definieren. Insbesondere ist die Distanz einer Funktion I (x) vom NuUpunkt, d. h."

Spis treści

A. Funktionentheorie.- I. Grundlagen.- § 1. Komplexe Zahlen.- § 2. Funktionen.- § 3. Geometrisches Verhalten von Abbildungen im Kleinen.- § 4. Konformität.- § 5. Komplexe Differenzierbarkeit.- § 6. Holomorphe Funktionen.- 6.1 Allgemeines.- 6.2 Potenzreihen.- 6.3 Abbildungseigenschaften.- 6.4 Integration.- § 7. Meromorphie.- § 8. Potentialtheorie.- 8.1 Vektorfelder und Potential.- 8.2 Harmonische und holomorphe Funktionen.- 8.3 Randwertprobleme.- II Elementare Funktionen.- § 1. Lineare Funktionen.- 1.1 Allgemeines.- 1.2 Fixpunkte.- 1.3 Bestimmung linearer Funktionen.- 1.4 Ortskurven.- § 2. Rationale Funktionen.- 2.1 Allgemeines.- 2.2 Hurwitz-Polynome.- 2.3 Positiv-rationale Funktionen.- § 3. Exponentialfunktion.- § 4. Elliptische Funktionen.- 4.1 Einleitung.- 4.2 Die Jacobischen Funktionen.- 4.3 Elliptische Integrale.- 4.4 Thetafunktionen.- III. Konforme Abbildungen.- § 1. Das Problem.- § 2. Einige Abbildungen.- § 3. Polygonabbildung.- § 4. Kreisnahe Gebiete.- IV. Der Einfluß des Randes.- § l. Ein Satz von DARBOUX über Taylor-Koeffizienten.- § 2. Die Technik der komplexen Integration.- § 3. Die erste Randaufgabe der Potentialtheorie.- Literatur.- B. Spezielle Funktionen.- § 1. Die Gammafunktion.- 1.1 Definition. Folgerungen.- 1.2 Charakterisierung durch Funktionalgleichungen.- 1.3 Eulersche Integrale. Betafunktion. Multiplikationstheorem.- 1.4 Binet-Integrale. Stirlingsche Reihe.- 1.5 Hankelsches Integral. Verwandtes.- § 2. Separation der Schwingungsgleichung.- 2.1 ?u in orthogonalen Koordinatensystemen. Orthogonalinvarianz.- 2.2 Separation von ?u +k2u = 0.- 2.2.1 Kartesische Koordinaten x1x2, x3.- 2.2.2 Zylinderkoordinaten ?, ?, z.- 2.2.3 Kugelkoordinaten r,?,?.- 2.2.4 Parabolische Zylinderkoordinaten ?, ?, z.- 2.2.5 Rotationsparabolische Koordinaten ?, ?, ?.- 2.2.6 Elliptische Zylinderkoordinaten ?, ?, z.- 2.2.7 Gestreckt-rotationselliptische Koordinaten?,?,?.- 2.2.8 Abgeplattet-rotationselliptische Koordinaten ?,?,?.- 2.2.9 Parabolische Koordinaten ?, ?, ?.- 2.2.10 Kugel-Kegelkoordinaten r,?, v bzw. r,?,?.- 2.2.11 Elliptische Koordinaten ?, ?, v bzw. ?, ?, ?.- 2.3 Ein Prinzip zur Gewinnung von Integralrelationen.- § 3. Zylinderfunktionen.- 3.1 Die Bessel-Funktionen Jn(x), n ganz.- 3.2 Bessel-Funktionen beliebiger Indizes.- 3.3 Hankel-Funktionen. Neumannsche Funktion.- 3.4 Asymptotische Reihen für × ? ?.- 3.5 Halbzahlige Indizes.- 3.6 Verhalten für große v.- 3.7 Rekursionsformeln.- 3.8 Wronskische Determinanten.- 3.9 Differenzengleichungen zweiter Ordnung und Kettenbrüche.- 3.10 Additionstheorem.- 3.11 Laplace-Transformation von Bessel-Funktionen. Faltungsrelationen.- 3.12 Die Nullstellen der Bessel-Funktionen Jn(x).- 3.13 Reihen nach Bessel-Funktionen Jv+n(x) (Neumannsche Reihen).- 3.14 Reihen nach Jv+n((v +n) x). Kapteynsche Reihen.- 3.15 Modifizierte Zylinderfunktionen.- § 4. Die hypergeometrische Funktion.- 4.1 Die Riemannsche Differentialgleichung.- 4.2 Die hypergeometrische Reihe.- 4.3 Lineare Transformationen.- 4.4 Quadratische Transformationen.- 4.5 Integraldarstellungen.- 4.6 Zusammenhangsrelationen.- 4.7 Rekursionsformeln.- § 5. Kugelfunktionen.- 5.1 Darstellung durch hypergeometrische Funktionen.- 5.2 Gewinnung von Integraldarstellungen und -relationen.- 5.3 Die Legendreschen Polynome Pn(x).- 5.4 Die Funktionen $$P_n^m\left( x \right)\left( {m = 0,1,2, \ldots ;n = m,m + 1,m + 2 \ldots } \right)$$.- 5.5 Kugelflächenfunktionen. Harmonische Polynome.- 5.6 Die Funktionen $$\vartheta _n^m\left( x \right),Q_n^m\left( x \right)\left( {m = 0,1,2, \ldots ;n = m,m + 1,m + 2 \ldots } \right)$$.- 5.7 Kugelfunktionen zu beliebigen Indizes:$${\rm{\beta }}_v^\mu \left( x \right),\tilde D_v^\mu \left( x \right)$$.- 5.8 Zusammenhangsformeln.- 5.9 Die Funktionen $$D_v^\mu ,P_v^\mu ,Q_v^\mu $$.- 5.10 Wronskische Determinanten.- 5.11 Rekursionsformeln.- 5.12 Verhalten für große v oder ?.- 5.13 Differenzengleichungen zweiter Ordnung und Kettenbrüche.- 5.14 Reihen nach Kugelfunktionen.- 5.15 Gegenbauersche Polynome.- 5.16 Separation von ?u = 0 in Toruskoordinaten.- § 6. Konfluente hypergeometrische Funktionen.- 6.1 Die Kummersche Differentialgleichung. Die Funktion ? (a, c; x).- 6.2 Die Whittakersche Differentialgleichung und Funktion.- 6.3 Integraldarstellungen. Die Funktion ?;(a,c;x).- 6.4 Asymptotische Reihen (x groß). Zusammenhangsformeln.- 6.5 Rekursionsformeln.- 6.6 Wronskische Determinanten.- 6.7 Spezielle konfluente hypergeometrische Funktionen.- 6.8 Produktlösungen der Schwingungsgleichung.- § 7. Spezielle Funktionen als Lösungen der „F-Gleichung“.- 7.1 Reduktion von Differentialrekursionsformeln auf die „F-Glei-chung“.- 7.2 Liste von Lösungen der „F-Gleichung“.- 7.3 Differentialformeln.- 7.4 Existenz- und Eindeutigkeitssatz. Reihenentwicklungen.- 7.5 Integralrelationen.- § 8. Orthogonale Polynome.- 8.1 Allgemeines.- 8.2 Rekursionsformeln.- 8.3 Approximation im quadratischen Mittel.- 8.4 Nullstellen. Numerische Quadratur.- 8.5 Die klassischen Orthogonalpolynome.- 8.5.1 Jacobische oder hypergeometrische Polynome.- 8.5.2 Gegenbauersche oder ultrasphärische Polynome.- 8.5.3 Legendresche Polynome.- 8.5.4 Tschebyscheff-Polynome erster Art.- 8.5.5 Tschebyscheff-Polynome zweiter Art.- 8.5.6 Laguerresche Polynome.- 8.5.7 Hermitesche Polynome.- § 9. Mathieusche Funktionen.- 9.1 Die Mathieusche Differentialgleichung.- 9.2 Der charakteristische Exponent v.- 9.3 Berechnung des charakteristischen Exponenten.- 9.4 Die Eigenwerte ?v(h2), am(h2), bm(h2). Die Stabilitätskarte.- 9.5 Die Funktionen mev(x; h2), cem(x; h2), sem(x; h2).- 9.6 Die modifizierten Mathieuschen Funktionen $$M_v^{\left( j \right)}\left( {x;h} \right),{\rm}_m^{\left( j \right)}\left( {x;h} \right),{\rm}_m^{\left( j \right)}\left( {x;h} \right)$$.- 9.7 Das Additionstheorem.- 9.8 Reihen nach Zylinderfunktionen. Asymptotische Reihen.- 9.9 Reihen nach Produkten von Bessel- und Zylinderfunktionen.- 9.10 Die Funktionen fem(x; h2), gem(x; h2).- 9.11 Modifizierte Mathieusche Funktionen.- 9.12 Verknüpfungsrelationen.- 9.13 Integralrelationen, Integralgleichungen.- 9.14 Asymptotische Formeln für große h2.- § 10. Sphäroidfunktionen.- 10.1 Die Sphäroiddifferentialgleichung.- 10.2 Der charakteristische Exponent v.- 10.3 Die Funktionen $$\lambda _v^\mu \left( {{y^2}} \right),\tilde Qs_v^\mu \left( {x;{y^2}} \right)\left[ {v \equiv {\textstyle{1 \over 2}}\left( {\bmod 1} \right)} \right]$$.- 10.4 Der Fall v ? ?(mod 1).- 10.5 Die Funktionen Qs, Ps, qs, ps.- 10.6 Die Funktionen $$\lambda _n^\mu \left( {{y^2}} \right),{\rm}_n^m\left( {x;{y^2}} \right){\rm{ f\ddot ur }}m = 0,1,2, \ldots ;n = m,m + 1,m + 2, \ldots $$.- 10.7 Die Funktionen $$S_v^\mu \left( {x;y} \right)$$ Asymptotische Reihen.- 10.8 Verknüpfungsrelationen.- 10.9 Ein Additionstheorem.- 10.10 Weitere Reihenentwicklungen und Integralrelationen.- Literatur.- C. Funktionaltransformationen.- I. Einleitung.- § 1. Begriff der Funktionaltransformation.- § 2. Der Hilbertsche Raum L2.- II. Fourier-Transformation.- 1. Theoretische Grundlagen der Fourier-Transformation. Spektralzerlegung von Funktionen.- § 1. Die fundamentale Bedeutung der komplexen Schwingungen für lineare Systeme. Der Frequenzgang.- § 2. Definition der Fourier-Transformation. Spektrale Darstellung allgemeiner Funktionen.- § 3. Formale Relationen. Praktische Berechnung der Fourier-Integrale.- § 4. Die Fourier-Transformation im Raum L1.- § 5. Anschauliche Beispiele von Zeitfunktionen und Spektraldichten.- § 6. Zeitfunktionen und Spektraldichten, die außerhalb eines Intervalls verschwinden. Abtasttheoreme.- § 7. Die Abbildungsgesetze der Fourier-Transformation.- § 8. Die Fourier-Transformation der schnell abnehmenden Funktionen.- § 9. Die temperierten Distributionen.- § 10. Die Fourier-Transformation der temperierten Distributionen.- § 11. Konvergenz im Raum der temperierten Distributionen.- § 12. Die Abbildungsgesetze der Fourier-Transformation von temperierten Distributionen.- § 13. Die Fourier-Transformation der Pseudofunktionen.- § 14. Über die Anwendung der Fourier-Transformation zur Lösung von Differential- und Integralgleichungen.- 2. Fiktive Filtersysteme.- § 15. Der Frequenzgang eines Systems und seine Bedeutung für die Filtertheorie. Begriff des fiktiven Filtersystems.- § 16. Der Begriff der Verzerrung. Systeme mit linearem Phasengang.- § 17. Fiktive Tiefpaßsysteme.- § 18. Fiktive Hochpaßsysteme.- § 19. Fiktive Bandpaßsysteme.- 3. Die Fourier-Transformation im Raum L2 und die einseitige Fourier-Transformation.- § 20. Die Fourier-Plancherel-Transformation.- § 21. Die einseitige Fourier-Transformation und die Hilbert-Transformation.- § 22. Realistische Systeme.- § 23. Realistische Filtersysteme.- III. Laplace-Transformation.- 1. Theoretische Grundlagen der Laplace-Transformation.- § 1. Übergang von der Fourier- zur Laplace-Transformation. Konvergenzeigenschaften des Laplace-Integrals.- § 2. Die Laplace-Transformierte als analytische Funktion.- § 3. Die Umkehrung der Laplace-Transformation. Bestimmung der Originalfunktion zu einer rationalen Funktion durch Partialbruch-zerlegung.- § 4. Die Abbildungsgesetze der Laplace-Transformation.- § 5. Die Laplace-Transformation der Distributionen.- § 6. Die Abbildungsgesetze der Laplace-Transformation von Distributionen.- § 7. Die Laplace-Transformation der Pseudofunktionen.- § 8. Die einseitige Fourier-Transformierte als Randfunktion der Laplace-Transformierten.- § 9. Die Stieltjes-Transformation.- 2. Gewöhnliche Differentialgleichungen.- § 10. Die inhomogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit verschwindenden Anfangswerten. Übertragungsfunktion und Gewichtsfunktion.- § 11. Die homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit beliebigen Anfangswerten. Die Eigenschwingungen.- § 12. Erregung durch eine Distribution.- § 13. Die Antworten auf spezielle Erregungen.- § 14. Systeme von simultanen Differentialgleichungen; der Normalfall (beliebige Anfangsbedingungen erfüllbar).- § 15. Der anomale Fall des Systems mit erfüllbaren Anfangsbedingungen. Sprungfähige Ausgangsfunktionen.- § 16. Der anomale Fall des Systems mit nicht-erfüllbaren Anfangsbedingungen. Lösung durch Distributionen.- § 17. Vergleich der Methode mit dem in der Technik üblichen Eliminationsverfahren.- 3. Analyse und Synthese von elektrischen Netzwerken.- § 18. Analyse von Zweipolen.- § 19. Synthese von Zweipolen. Reactanzfunktionen und ihre Realisierung.- § 20. Analyse allgemeiner Netzwerke. Das Netzwerk als 2 m-Pol.- § 21. Analyse und Synthese von Vierpolen.- § 22. Graphische Darstellung der Systemgleichungen durch Blockdiagramm und Signalflußdiagramm.- § 23. Graphische Darstellung des Frequenzgangs: Ortskurve, Frequenzcharakteristiken, Bode-Diagramm, Nichols-Diagramm.- 4. Partielle Differentialgleichungen.- § 24. Allgemeine Richtlinien für die Behandlung von partiellen Differentialgleichungen mit Laplace-Transformation.- § 25. Das Gleichungssystem einer elektrischen Doppelleitung mit verteilten Konstanten.- 5. Berechnung der Originalfunktion zu gegebener Bildfunktion durch Reihenentwicklung.- § 26. Entwicklungen in Potenzreihen.- §27. Entwicklung der Originalfunktion nach Laguerreschen Orthogonalfunktionen.- § 28. Entwicklung der zu einer meromorphen Bildfunktion gehörigen Originalfunktion nach Exponentialfunktionen.- § 29. Ein allgemeiner Entwicklungssatz.- 6. Das asymptotische Verhalten der Bildfunktion und der Originalfunktion.- § 30. Allgemeiner Begriff der asymptotischen Darstellung und asymptotischen Entwicklung von Funktionen.- § 31. Der Anfangswertsatz und der Endwertsatz.- § 32. Asymptotische Entwicklung der Bildfunktion für s ? ?.- § 33. Asymptotische Entwicklung eines verallgemeinerten Laplace-Inte-grals. Methode der Sattelpunkte.- § 34. Asymptotische Entwicklung der Originalfunktion, wenn die Bildfunktion als Singularitäten nur Pole hat..- § 35. Asymptotische Entwicklung der Originalfunktion, wenn die Bildfunktion an der singulären Stelle mit größtem Realteil mehrdeutig ist.- § 36. Anwendungsbeispiel: Der stationäre Zustand einer Doppelleitung bei sinusartiger Eingangsspannung.- IV. Zweiseitige Laplace-Transformation und M ellin-Transformation.- 1. Zweiseitige Laplace-Transformation.- § 1. Definition und Konvergenzeigenschaften der zweiseitigen Laplace-Transformation.- § 2. Die Umkehrung der zweiseitigen Laplace-Transformation.- § 3 Die Abbildungsgesetze der zweiseitigen Laplace-Transformation.- § 4. Über die Lösung von Differential- und Integralgleichungen vermittels zweiseitiger Laplace-Transformation.- 2. Mellin-Transformation.- § 5. Die Mellin-Transformation und ihre Umkehrung.- § 6. Die Abbildungsgesetze der Mellin-Transformation.- § 7. Lösung von Differentialgleichungen mit Potenzkoeffizienten vermittels Mellin- und Hankel-Transformation.- V. Zweidimensionale Laplace-Transformation.- § 1. Definition und Konvergenzeigenschaften der zweidimensionalen Laplace-Transformation. Holomorphie der Bildfunktion.- § 2. Die Abbildungsgesetze der zweidimensionalen Laplace-Transformation.- § 3. Lösung von partiellen Differentialgleichungen vermittels zweidimensionaler Laplace-Transformation.- VI. ?-Transformation.- 1. Theoretische Grundlagen der ?-Transformation.- § 1. Definition und Konvergenzeigenschaften der ?-Transformation.- § 2. Die Umkehrung der ?-Transformation.- § 3. Die Abbildungsgesetze der ?-Transformation.- § 4. Das asymptotische Verhalten der Originalfolge und der Bildfunktion.- 2. Differenzengleichungen.- § 5. Die allgemeine Differenzengleichung.- § 6. Die Differenzengleichung zweiter Ordnung.- § 7. Ein System von Differenzengleichungen. Der elektrische Kettenleiter aus gleichen Vierpolen.- 3. Impulselemente und impulsgesteuerte Systeme.- § 8. L- und ?-Transformation der von einem Impulselement gelieferten Werte.- § 9. Impulsgesteuerte Systeme (Abtastsysteme).- VII. Endliche Transformationen.- 1. Endliche Fourier-Transformation.- § 1. Endliche Exponentialtransformation.- § 2. Endliche sin- und cos-Transformation.- § 3. Randwertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen.- § 4. Vergleich mit der klassischen Methode der Fourier-Reihen.- § 5. Andere Randwerte als die von der Transformation geforderten.- § 6. Ein Randwertproblem für ein System von simultanen Differentialgleichungen (mehradriges Kabel).- § 7. Ein Randwertproblem für eine partielle Differentialgleichung.- 2. Endliche Laplace-Transformation.- § 8. Die Abbildungsgesetze der endlichen Laplace-Transformation.- § 9. Randwertprobleme für eine gewöhnliche Differentialgleichung.- 3. Endliche Transformationen, die spezielle Differentialoperatoren eliminieren.- § 10. Endliche Hankel-Transformation.- § 11. Legendre-Transformation.- Distributionstheorie.- Der Begriff der Funktion in neuer Auffassung.- Das durch eine Funktion bestimmte Funktional.- Die allgemeine Distribution.- Die Derivierten einer Distribution.- Der Träger einer Distribution.- Multiplikation einer Distribution mit einer Funktion.- Faltung zweier Distributionen.- Pseudofunktionen.- Literatur.- Tabellen.