Mathematische Grundlagenforschung Intuitionismus Beweistheorie

ISBN-13: 9783540062981 / Niemiecki / Miękka / 1974 / 73 str.

A. Heyting

Opis

In den letzten Jahrzehntel hat sich das Interesse an der Grund legung der Mathematik immer gesteigert. Fanden frtiher die wenigen Forscher, die sich emsthaft mit dieser 'Frage beschaftigten, wenig Be achtung, heute ist die Teilnahme sowohl von mathematischer wie von philosophischer Seite fast allgemein. Zu diesem Umschwung hat sieher die CANToRSche Mengenlehre, die gleich nach ihrem Entstehen lebhafte Erorterungen tiber ihre Berechtigung hervorrief, den AnstoB gegeben, und besonders die bei riicksichtsloser Durchfiihrung ihrer Grundgedanken auftretenden Widerspriiche zogen die allgemeine Aufmerksamkeit auf sich. Doch ist die bisweUen noch geauBerte Behauptung, der Zweck -der Grundlagenforschung liege in der Beseitigung der Widersprtiche, verfehlt. In philosophischer und in mathematischer Richtung geht diese weit tiber eine solche Zielsetzung hinaus. Philosophisch untersucht man -das Wesen der mathematischen Erkenntnis, ihre Voraussetzungen und Endziele, ihr Verhaltnis zu anderen Wissensgebieten, insbesondere der Physik, und ihre Abgrenzung gegen diese dem lnhalt und der Methode nacho An diese philosophischen Erorterungen schlieBen sich umfangreiche mathematische Untersuchungen tiber den Aufbau der Mathematik aus den philosophisch gegebenen Voraussetzungen und tiber die Struktur der mathematischen Beweisftihrungen. Einzelne Teilgebiete dieser Unter suchungen entwickeln sich schon zu selbstandigen Disziplinen, die sich in ihren Methoden und Problemstellungen von der eigentlichen Grund lagenforschung unabhangig machen; ein Beispiel eines solchen neuen Zweiges der Mathematik, der sein Entstehen der Grundlagenforschung verdankt, ist die mathematischp. Logik. Allmahlich haben sich drei J. auptrichtungen gebildet, die je einer eigenen Auffassung tiber das Wesen der Mathematik entsprechen undo je zu verschieden gearteten mathematischen Untersuchungen geftihrt haben."

Spis treści

Einletung.- Erster Abschnitt. Intuitionismus.- § 1. Einleitung. Der Einfluß von POINCARÉ.- § 2. Die französischen Halbintuitionisten.- 1. Endliche Definierbarkeit.- 2. Natürliche Zahlen. Zweite Zahlklasse.- 3. Das Kontinuum. Der Abzählbarkeitsbegriff. Funktionentheorie.- 4. BORELsche Mengen.- § 3. Die erste Theorie von WEYL.- § 4. Der Standpunkt von KAUFMANN.- § 5. Der BROUWERsche Intuitionismus.- 1. Die mathematische Intuition. Mathemratik und Sprache. Mathematik und Logik.- 2. Mathematische Logik. Aussagenkalkul. Funktionenkalkul.- 3. Das Kontinuum. Wahlfolgen. Zahlenrechnen.- 4. Beispiele.- 5. Arithmetik und Algebra. Wurzelexistenz. Reihen. Differential- und Integralrechnung. Funktionentheorie.- 6. Mengenlehre. Mächtigkeitstheorie. Ordnungstheorie. Wohlordnung.- 7. Punktspezies. Topologie. Funktionenlehre. Geometrie.- Zweiter Abschnitt. Axiomatik und Beweistheorie.- § 1. Die axiomatische Methode.- 1. Wesen der Methode.- 2. Widerspruchsfreiheit. Vollständigkeit. Gleichwertige Axiomensysteme.- 3. Axiomatik der Mengenlehre. Mengentheoretische Definition der natürlichen Zahlen. Axiomatik der Arithmetik.- § 2. HILBERTs Beweistheorie.- 1. Fruhere Arbeiten HILBERTs.- 2. Grundgedanken der Beweistheorie.- 3. Metamathematik.- 4. HILBERTs formales System. Aussagenkalkul. Funktionenkalkul. Die logische ?-Funktion. Das Axiomensystem für die Analysis.- 5. Widerspruchsfreiheit. Der ACKERMANNsche Beweis. Der v. NEUMANNsche Beweis.- 6. Die Vollständigkeitsfrage. Die Allzeichenregel.- 7. Axiome für die Mengenlehre. Das Kontinuumproblem.- 8. Sinn und Tragweite der Beweistheorie.- 9. Die neue Theorie HILBERTs.- § 3. Intuitionismus und Beweistheorie.- Dritter Abschnitt. Andere Standpunkte.- § 1. Verschiedene Richtungen.- § 2. MANNOURY.- § 3. Der „Empirismus“ von PASCH.- Vierter Abschnitt. Mathematik und Naturwissenschaft.- § 1. Einleitung.- § 2. Formale Mathematik nnd Erfahrung.- § 3. Intuitionistische Mathematik und Erfahrung.- § 4. Vergleichung der beschriebenen Standpunkte.- Nachwort.- Nachwort.