Mathematische Grundlagen Der Empirischen Forschung

ISBN-13: 9783540037002 / Niemiecki / Miękka / 2003 / 376 str.

Ansgar Steland

Opis

Mathematische Modelle und Methoden sind heute in den Natur- und Biowissenschaften zu einem wichtigen Bestandteil der wissenschaftlichen Arbeit und Forschung geworden. Leitfaden der vorliegenden anschaulichen und grundlegenden Einfuhrung in diesen Themenbereich sind die in den Naturwissenschaften typischen auftretenen Fragestellungen, anhand dessen die wichtigsten Konzepte entwickelt werden. Bei der Darstellung des Stoffes wird bewusst auf das aus der Mathematik stammende Definition-Satz-Beweis-Schema verzichtet und die Vermittlung der wesentlichen Ideen und Ansatze in den Vordergrund gestellt. Schwerpunkte der Stoffauswahl liegen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Analysis, die einen direkten Zugang zu den wichtigen Anwendungen ermoglichen.

Spis treści

Einfürung.- 1 Grundlagen.- 1.1 Mengenbegriff.- 1.1.1 Relationen zwischen Mengen.- 1.1.2 Das kartesische Produkt.- 1.2 Elemente der Logik.- 1.2.1 Aussagen.- 1.2.2 Quantoren.- 1.2.3 Logische Argumente.- 1.3 Zahlsysteme und elementares Rechnen.- 1.3.1 Die natürlichen Zahlen.- 1.3.2 Die ganzen Zahlen.- 1.3.3 Die rationalen Zahlen (Bruchzahlen).- 1.3.4 Die reellen Zahlen.- 1.4 Potenzen, Wurzeln.- 1.4.1 Motivation.- 1.4.2 Potenzen.- 1.4.3 Wurzeln.- 1.4.4 Lösen von Potenzgleichungen.- 1.4.5 Prozentrechnung, Rechnen mit Wachstumsraten.- 1.5 Kombinatorik.- 1.6 Reelle Zahlenfolgen.- 1.6.1 Motivation.- 1.6.2 Begriffsbildung.- 1.7 Reihen.- 1.7.1 Motivation.- 1.7.2 Summen (Endliche Reihen).- 1.7.3 Unendliche Reihen.- 1.7.4 Die (endliche)geometrische Reihe.- 1.8 Funktionen und Abbildungen.- 1.8.1 Komposition von Funktionen.- 1.8.2 Umkehrfunktion.- 1.9 Stetigkeit.- 1.9.1 Motivation.- 1.9.2 Begriffsbildung.- 1.9.3 Eigenschaften stetiger Funktionen.- 1.10 Exponentialfunktion.- 1.10.1 Definition.- 1.10.2 Eigenschaften.- 1.11 Kontinuierliches Wachstum.- 1.12 Der Logarithmus.- 1.12.1 Rechenregeln.- 2 Deskriptive Statistik.- 2.1 Grundbegriffe.- 2.2 Klassifikation von Variablen.- 2.3 Population und Stichprobe.- 2.4 Studiendesigns.- 2.4.1 Experiment versus Beobachtungsstudie.- 2.4.2 Fall-Kontroll-Design.- 2.4.3 Kohortenstudie.- 2.4.4 Querschnittsstudie versus Longitudinalstudie.- 2.4.5 Randomisierte Studien/Experimente.- 2.4.6 Vollständige Randomisierung ohne/mit Ausgleich,Schichtenbildung.- 2.4.7 Probleme bei Beobachtungsstudien.- 2.5 Datenmatrix (Datenbasis).- 2.6 Visualisierung empirischer Daten (I).- 2.6.1 Nominale Daten.- 2.6.2 Metrische Daten.- 2.7 Quantifizierung der Gestalt empirischer Verteilungen.- 2.7.1 Lagemaße.- 2.7.2 Mittlerer Winkel.- 2.8 Streuung.- 2.8.1 Nominale/ordinale Merkmale: Wiener-Shannon.- 2.8.2 Stichprobenvarianz und Standardabweichung.- 2.9 Quantile.- 2.10 Schiefe versus Symmetrie.- 2.11 Der Boxplot.- 2.12 QQ-Plot (Quantildiagramm).- 3 Differential- und Integralrechnung.- 3.1 Motivation.- 3.2 Differenzierbarkeit.- 3.2.1 Erste Anwendungen.- 3.2.2 Ableitungsregeln.- 3.3 Höhere Ableitungen.- 3.4 Taylor-Entwicklung.- 3.5 Optimierung von Funktionen.- 3.5.1 Notwendiges Kriterium.- 3.5.2 Monotoniekriterium.- 3.5.3 Hinreichendes Kriterium 1.Ordnung für Extrema.- 3.6 Krümmungsverhalten.- 3.6.1 Motivation.- 3.6.2 Konkav und konvex.- 3.6.3 Hinreichendes Kriterium 2.Ordnung für Extrema.- 3.6.4 Wendepunkte.- 3.7 Statistische Anwendungen der Optimierung.- 3.8 Partielle Ableitung.- 3.8.1 Optimierung.- 3.9 Motivation und Definition des Integrals.- 3.10 Hauptsatz der Integralrechnung.- 3.11 Integrationsregeln.- 3.11.1 Partielle Integration.- 3.11.2 Substitutionsregel.- 3.12 Integration empirischer Verlaufskurven.- 4 Wahrscheinlichkeitsrechnung.- 4.1 Grundbegriffe.- 4.1.1 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit.- 4.1.2 Chancen (Odds).- 4.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten.- 4.1.4 Unabhängigkeit.- 4.1.5 Der Satz von Bayes.- 4.1.6 Zufallsvariablen und Zufallsstichproben.- 4.1.7 Bivariate diskrete Zufallsvariable.- 4.1.8 Bivariate stetige Zufallsvariable.- 4.1.9 Verteilungsfunktion, Quantilsfunktion und Überlebensfunktion.- 4.1.10 Erwartungswert und Varianz.- 4.2 Verteilungsmodelle.- 4.2.1 Binomialverteilung.- 4.2.2 Die geometrische Verteilung.- 4.2.3 Multinomialverteilung.- 4.2.4 Poissonverteilung.- 4.2.5 Exponentialverteilung.- 4.2.6 Logistische Verteilung.- 4.2.7 Normalverteilung.- 4.2.8 ?2-Verteilung.- 4.2.9 t-Verteilung.- 4.2.10 F-Verteilung.- 4.2.11 Cauchy-Verteilung.- 4.2.12 Von-Mises-Verteilung.- 4.3 Grenzwertsätze und ihre Anwendung.- 4.3.1 Das Gesetz der großen Zahl.- 4.3.2 Der Zentrale Grenzwertsatz.- 5 Schließende Statistik.- 5.1 Das Likelihood-Prinzip.- 5.1.1 Die Likelihood einer Zufallsstichprobe.- 5.2 Güute statistischer Schätzer.- 5.3 Konfidenzintervalle.- 5.3.1 Konfidenzintervall für ?.- 5.3.2 Konfidenzintervall für p.- 5.4 Experimente, Wahrscheinlichkeit und Entscheidungsverfahren.- 5.5 1-Stichproben-Tests.- 5.5.1 Motivation.- 5.5.2 Stichproben-Modell.- 5.5.3 Gauß- und t-Test.- 5.5.4 Vorzeichentest und Binomialtest.- 5.5.5 Robustifizierter t-Tests.- 5.6 2-Stichproben-Tests.- 5.6.1 Verbundene Stichproben.- 5.6.2 Unverbundene Stichproben (2-Stichproben t-Test).- 5.6.3 Wilcoxon-Test.- 5.6.4 2-Stichproben Binomialtest.- 5.7 Korrelation und Regression.- 5.7.1 Kovarianz und Korrelation.- 5.7.2 Test auf Korrelation.- 5.7.3 Rangkorrelation nach Spearman.- 5.7.4 Grenzen der Korrelationsrechnung.- 5.7.5 Lineares Regressionsmodell.- 5.7.6 Test der Regressionskoeffizienten.- 5.7.7 Grenzen der Regressionsrechnung.- 5.8 Analyse von Kontingenztafeln.- 5.8.1 ?-Kontingenzkoeffizient für 2 x 2-Tafeln.- 5.8.2 Vergleich diskreter Verteilungen.- 5.8.3 Test auf Assoziation (Unabhängigkeitstest,Kreuzklassifikation).- 5.8.4 Test auf Trend.- 5.8.5 Dreidimensionale Kontingenztafeln.- 5.9 Anpassungstests.- 5.9.1 Quantildiagramm.- 5.9.2 Kolmogorov-Smirnov-Test.- 5.9.3 Korrelationstests und Shapiro-Wilk-Test.- 5.9.4 ?2-Anpassungstest.- 5.10 Multiples Testen.- 5.10.1 Bonferroni-Prozedur.- 5.10.2 Bonferroni-Holm-Prozedur.- 5.11 Varianzanalyse.- 5.11.1 Einfaktorielle Varianzanalyse.- 5.11.2 Multiple Paarvergleiche.- 5.11.3 Randomisiertes Blockdesign.- 5.11.4 Zweifaktorielle Varianzanalyse.- 5.12 Nichtparametrische Varianzanalyse.- 5.12.1 Kruskal-Wallis-Test (Einfaktorielles Design).- 5.12.2 Friedman-Test (Blockdesign).- 5.13 Multiple lineare Regression.- 5.14 Logistische Regression.- 6 Populationsdynamik.- 6.1 Biologischer Hintergrund.- 6.2 Diskrete Populationsdynamik.- 6.2.1 Grundbegriffe.- 6.2.2 Exponentielles Wachstum.- 6.2.3 Proportionale Abnahme bei konstanter Zufuhr.- 6.2.4 Lösung.- 6.2.5 Ergänzung: Ein Modell mit verzögerten Variablen.- 6.2.6 Logistisches Wachstum.- 6.2.7 Stabilität von Gleichgewichten.- 6.3 Stetige Populationsdynamik.- 6.3.1 Motivation.- 6.3.2 Grundbegriffe.- 6.3.3 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koefizienten.- 6.3.4 Lineare DGLs 1. Ordnung.- 6.3.5 Lineare DGLs 2. Ordnung.- 6.3.6 Logistisches Entwicklungsgesetz.- 6.3.7 Enzymkinetik: Michaelis-Menten-Theorie.- 7 Elemente der linearen Algebra.- 7.1 Motivation.- 7.2 Vektoren.- 7.3 Geraden und Ebenen.- 7.4 Längenmessung: Die Norm.- 7.5 Winkelmessung: Das Skalarprodukt.- 7.5.1 Skalarprodukt.- 7.5.2 Winkel.- 7.6 Matrizen und Gleichungssysteme.- 7.6.1 Motivation.- 7.6.2 Matrizen und Vektoren.- 7.6.3 Matrizenmultiplikation.- 7.6.4 Lösung von Gleichungssystemen.- 7.6.5 Wann ist ein Gleichungssystem lösbar?.- 7.6.6 Inverse Matrix.- 7.6.7 Drehungen.- 7.7 Entwicklungsmodelle in diskreter Zeit.- 7.7.1 Motivation.- 7.7.2 Gleichgewicht.- 7.7.3 Lösungsfolgen.- 7.8 Entwicklungsmodelle in stetiger Zeit.- 7.8.1 Lineare Systeme.- 7.8.2 Periodische Systeme.- A.1 Normalverteilung.- A.5 Studentisierte Spannweite.