Mathematische Begriffe Visualisiert Mit Maple: Für Lehrer Und Dozenten

ISBN-13: 9783540421320 / Niemiecki / Twarda / 2001 / 129 str.

T. Westermann; W. Buhmann; L. Diemer

Opis

Im Buch und auf der CD-ROM werden 49 Unterrichts-/ Vorlesungsthemen dargestellt. Die elektronischen Maple-Arbeitsblatter auf der CD-ROM liefern fur Lehrer und Dozenten an Schulen und Hochschulen ein Medium mit dessen Hilfe grundlegende mathematische Begriffe veranschaulicht werden konnen. Dies erfolgt sowohl in Schaubildern, 3D-Darstellungen als auch in Animationen, die in Form von kleinen Filmen abstrakte mathematische Begriffe greifbarer und damit begreifbarer machen.
Gegenuber der ersten Auflage wurden folgende Themen neu aufgenommen: Ungleichungen, Fraktale und Chaos, Schwingungen, Richtungsfelder bei DG, Kegelschnitte und Winkelvariationen, Laufende Wellen, Normalenverteilungen, algebraische Kurven, Ortskurven, Affine Abbildungen."

Recenzje

"Das Büchlein und die CD fallen in die Kategorie: "Sehr empfehlenswert" und sind jeden Groschen des Preises wert."
Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 26, März 2000

Spis treści

1. Einführung.- 1.1 Systemvoraussetzungen.- 1.2 Installationshinweise.- 1.3 Allgemeine Hinweise zu den Worksheets.- 1.4 Hinweise zu den Html-Dateien.- 1.5 Datei-Struktur auf der CD-ROM.- 2. Elementare Funktionen/Funktionenklassen.- 2.1 Schaubilder von Funktionen.- Schaubild einer gebrochen-rationalen Funktion.- Darstellung einer Kurvenschar.- Auswirkung des Parameters auf eine Kurvenschar.- Dreidimensionale Darstellung einer Kurvenschar.- 2.2 Funktionenlupe.- ganzrationale Funktion — differenzierbar.- Betragsfunktion — nicht differenzierbar.- trigonometrische Funktion — nicht differenzierbar.- 2.3 Darstellung trigonometrischer Funktionen am Einheitskreis.- Sinusfunktion und Zeigerdiagramm1.- Kosinusfunktion und Zeigerdiagramm.- Tangensfunktion und Zeigerdiagramm.- Kotangensfunktion und Zeigerdiagramm.- 2.4 Überlagerung sinusförmiger Funktionen mit Zeigerdiagramm.- Zwei Funktionen mit gleicher Periode.- Drei Funktionen mit gleicher Periode.- Zwei Funktionen mit unterschiedlicher Periode.- 2.5 Superpositionsprinzip.- Superposition von Sinus und Kosinus.- Superposition von Variationen von Sinus bzw. Kosinus.- Superposition von nichttrigonometrischen Funktionen.- 2.6 Darstellung von Funktionen mit Parametern.- Die allgemeine Sinusfunktion a sin(bx + c) + d.- Die allgemeine Exponentialfunktion exp(?a×(x ? xo)2).- 2.7 Parameterkurven.- Animation für hervorgehobene Punkte einzelner Kurven.- Darstellung aller Einzelpunkte in einem Koordinatensystem.- Darstellung der Parameterkurve mit allen Einzelpunkten.- 3. Gleichungen und Ungleichungen.- 3.1 Darstellung von Funktionsgleichungen der Form f(x) = g(x).- Polynomgleichung.- Betragsgleichung.- Exponentialgleichung.- Wurzelgleichung.- Nullstellenprobleme.- 3.2 Berechnung und graphische Darstellung von Ungleichungen.- Polynomungleichung.- Ungleichungen mit Punktlösungen.- Ungleichungen ohne exakt darstellbare Lösung.- 4. Vektoren / Ebenen / Geraden.- 4.1 Graphische Darstellung von Vektoren und der Vektorrechnung.- Die Prozeduren arrow2d und arrow3d.- Darstellung von Vektoren im ?2 und ?3.- Darstellung zweier Vektoren im ?2 und ?3.- Darstellung der Addition von Vektoren.- Darstellung der Subtraktion von Vektoren.- Darstellung der Projektion eines Vektors b in Richtung a.- Darstellung des Vektorproduktes (Kreuzproduktes).- 4.2 Graphische Darstellung von Geraden und Ebenen im Raum.- Die Prozeduren arrow2d und arrow3d.- Geraden im ?2 und ?3.- Ebenen im ?3.- 5. Analytische Geometrie.- 5.1 Punkte, Geraden und Ebenen.- Ortsvektor.- Schwerpunkt eines Dreiecks.- Seitenmittenviereck.- Gegenseitige Lage zweier Geraden.- Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene.- Gegenseitige Lage zweier Ebenen.- 5.2 Kugeln und Ebenen.- Tangentialebene in einem gegebenen Kugelpunkt.- Schnitt zweier Kugeln.- 5.3 Tangentialebenen mit Bedingungen.- Tangentialebenen parallel zu einer gegebenen Ebene.- Tangentialebenen durch eine gegebene Gerade.- 5.4 Kugeln und Geraden.- Schnittpunkte einer Geraden mit einer Kugel.- Berührkreis und Tangentialkegel.- 5.5 Kegelschnitte.- Räumliche Darstellung einer Ellipse.- Räumliche Darstellung einer Parabel.- Brennpunktseigenschaft der Ellipse.- Brennpunktseigenschaft der Parabel.- Visualisierung der Gärtnerkonstruktion.- Parabel als geometrischer Ort.- Visualisierung der Leitgeraden bei der Parabel.- Visualisierung der Tangenteneigenschaft bei der Ellipse.- 5.6 Animierte Kegelschnitte.- Kegelschnitte paralleler Ebenen.- Kegelschnitte mit veränderlichem Winkel.- 5.7 Mehrstufige Prozesse.- Iterierung eines Markovprozesses.- Stabiler Zustand des Systems.- Graphische Darstellung des Markovprozesses.- 6. Lineare Algebra.- 6.1 Darstellung linearer Abbildungen im ?2.- Demonstration mit vorgegebener Matrix.- Parallelstreckung.- Zentrische Streckung.- Euler-Affinität.- Scherung.- Scherstreckung.- Abbildung ohne Eigenwerte.- 7. Komplexe Zahlen.- 7.1 Graphische Darstellung komplexer Zahlen.- Darstellung einer Zahl in der komplexen Zahlenebene.- Darstellung der komplex konjugierten Zahl.- 7.2 Graphische Darstellung komplexer Rechenoperationen.- Addition zweier komplexer Zahlen.- Subtraktion zweier komplexer Zahlen.- Multiplikation zweier komplexer Zahlen.- Division zweier komplexer Zahlen.- Die n-te Potenz einer komplexen Zahl.- Die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl.- 8. Differential- und Integralrechnung.- 8.1 Folgen.- Schneeflockenkurve.- Folgen in Maple.- Graphische Darstellungen und Wertetabellen.- Systembefehl rsolve.- Grenzwert einer Folge.- Konvergenz.- Fibonacci-Folge.- 8.2 Graphisches Differenzieren.- Sekanten.- Tangenten.- Graphisches Differenzieren.- 8.3 Kurvendiskussion.- Definitionslücken.- Ableitungen.- Nullstellen.- Horizontalstellen.- Extremstellen.- Wendestellen.- Tangente an Schaubild.- Normale in einem Kurvenpunkt.- Wertetabelle.- Näherungslösung einer Gleichung.- Schaubild.- Polstellen.- Asymptoten.- 8.4 Ortskurven.- Animation von Einzelbildern hervorgehobener Punkte.- Gemeinsame Darstellung aller Einzelbilder.- Darstellung der Ortslinie.- 8.5 Fehlervisualisierung bei der Unter- und Obersumme.- Visualisierung des Fehlers bei der Obersumme.- Visualisierung des Fehlers bei der Untersumme.- 8.6 Grenzwert von Unter- und Obersumme.- 8.7 Rechnerischer Ansatz zur Bestimmung der Fläche.- Darstellung der Funktion und Einteilung in Teilintervalle.- Visualisierung eines Teilintervalls.- Rechnerische Abschätzung der Fläche.- 8.8 Entdeckung des Hauptsatzes.- Visualisierung der Approximation durch Mittenrechtecke.- Flächenabschätzung bei festen Intervallgrenzen.- Flächenabschätzung bei variabler rechter Grenze.- 8.9 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- Visualisierung des Fundamentalsatzes.- 8.10 Rotationskörper.- Graphische Darstellung eines Drehkörpers um die x-Achse.- 8.11 Darstellung der Konvergenz der Taylorreihe.- 9. Iterationsverfahren.- 9.1 Einschließungsverfahren.- Graphische Darstellung des Bisektionsverfahrens.- Graphische Darstellung des Pegasusverfahrens.- 9.2 Iterationsverfahren.- Graphische Darstellung des Newtonverfahrens.- Graphische Darstellung der regula falsi.- 9.3 Iterationsverfahren — Von Newton zu Feigenbaum.- Newtonverfahren.- Graphische Darstellung des Newtonverfahrens.- Allgemeines Iterationsverfahren.- Graphische Darstellung des allgemeinen Verfahrens.- Lang zeitverhalten und Zeitreihe.- Feigenbaumdiagramm.- 9.4 Näherung von Pi über Vielecke.- Graphische Darstellung der einbeschriebenen Vielecke.- Graphische Darstellung der umbeschriebenen Vielecke.- Berechnungen.- Herleitung.- 10. Funktionen mit mehreren Variablen.- 10.1 Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen.- Graphische Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen.- Partielle Ableitungen einer Funktion mit zwei Variablen.- Graphische Darstellung der Tangentialebene.- Gradient.- 10.2 Darstellung der Konvergenz zweidimensionaler Taylorreihen.- 10.3 Ausgleichsrechnung.- Berechnung der Regressionsgeraden.- Bestimmung des Ausgleichspolynoms.- Interpolationspolynom.- 11. Vektoranalysis.- 11.1 Gradient.- Begriffserläuterung und Berechnung des Gradienten.- Darstellung einer Funktion mit zwei Variablen.- Gradient einer Funktion von zwei Variablen.- Gradient einer Funktion von drei Variablen.- Beispiele aus der Physik.- 11.2 Divergenz.- Begriffserläuterung und Berechnung der Divergenz.- Allgemeine Rechenvorschrift für die Divergenz.- Beispiele aus der Physik.- 11.3 Rotation.- Begriffserläuterung und Berechnung der Rotation.- Allgemeine Rechenvorschrift für die Rotation.- Darstellung der Rotation einer Funktion mit zwei Variablen.- Hagen-Poiseuillesches Gesetz.- 12. Wachstums- und Zerfallsprozesse.- 12.1 Simulation dynamischer Systeme.- Lineares Wachstum.- Exponentielles (natürliches) Wachstum.- Exponentiell beschränktes Wachstum.- Logistisches Wachstum.- Bedeutung des Zeitintervalls.- Bedeutung des Wachstumsfaktors.- 13. Differentialgleichungen.- 13.1 Numerische Integrationsverfahren.- Euler-Verfahren.- Modifiziertes Euler- Verfahren.- Verfahren von Heun.- Runge-Kutta-Verfahren 4- Ordnung.- Vergleich der vier Verfahren.- Grenzen numerischer Verfahren.- 13.2 Richtungsfeld einer Differentialgleichung.- Lösung bei verschiedenen Anfangsbedingungen.- Richtungsfelder.- Richtungsfeld mit Lösungskurven.- 14. Sinusfunktionen in der Physik.- 14.1 Eindimensionale Überlagerung von Sinusschwingungen.- Maximale Verstärkung.- Auslöschung.- Schwebung.- Allgemeiner Fall.- 14.2 Senkrechte Überlagerung von Schwingungen (Lissajous).- Überlagerung ohne Phasenverschiebung.- Phasenverschiebung ?/2.- Gleiche Amplituden und Frequenzverhältnis 1:1 bzw. 1:2.- Gleiche Amplituden und Frequenzverhältnis 1:3.- Schwebung.- Verschiedene Amplituden, beliebiges Frequenzverhältnis.- 15. Stochastik.- 15.1 Binomialverteilung, Testen von Hypothesen.- Berechnen und Erzeugen von B(n,p).- Summenverteilung.- Werte aus einem Intervall für k.- Umkehrung der Summenverteilung.- Histogramme, Stabdiagramme, Polygonzüge.- Animation zur Bedeutung von p bzw. n.- Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung.- Testen von Hypothesen.- 15.2 Normalverteilung.- Binomialverteilung für große n.- Gaußfunktion Ø.- Gaußsche Integralfunktion ?.- Erwartungswert, Standardabweichung, Varianz.- Allgemeine Normalverteilung.- 16. Fraktale.- 16.1 Begriffe und Definitionen.- Fraktal, fraktale Geometrie.- Selbstähnlichkeit.- Koch-Kurve.- Sierpinski-Dreieck.- Alternative Konstruktion des Sierpinski-Dreiecks.- Gebrochene Dimension.- 16.2 Iterierte Abbildungen.- Definition der Mandelbrot-Menge.- Definition der Julia-Menge.- 16.3 Die Mandelbrot-Menge.- Bildergalerie der Mandelbrot-Mengen.- 16.4 Die Julia-Menge.- Zusammenhängende Julia-Mengen.- Bildergalerie der Julia-Mengen.- Der Cantor-Staub.- 17. Einführung in die Beschreibung chaotischer Systeme.- 17.1 Vom Masse-Feder-Schwinger zum chaotischen Oszillator.- Feder-Masse-Schwinger ohne Reibung.- Feder-Masse-Schwing er mit Dämpfung.- Feder-Masse-Schwinger mit Reibung und Fremderregung.- Duffing-Gleichung.- 17.2 Beschreibung von Chaos.- Logistische Gleichung.- Sensitivität.- Mischungseigenschaft, ergodische Bahn.- Ergodische Bahn bei r = 4.- Attraktor bei r = 2; Verhalten bei r = 3.- 2-periodischer Zyklus bei r = 3.1.- 4er Zyklus bei r = 3.5.- Feigenbaum-Diagramm.- 17.3 Anwendung der Begriffe auf den Duffing-Oszillator.