Mathematikunterricht in Der Sekundarstufe II

ISBN-13: 9783528067670 / Niemiecki / Miękka / 2000 / 293 str.

Uwe-Peter Tietze; Manfred Klika; Hans Wolpers

Opis

Der Band 2 unterzieht den Unterricht in Analytischer Geometrie und Linearer Algebra einer umfassenden didaktisch-methodischen Analyse. Problem- und Anwendungsorientierung, geometrische Objektstudien und Rechnerexperimente nehmen einen wichtigen Platz ein. Es wird das Ziel verfolgt, die Inhalte des Oberstufenunterrichts zu vernetzen; dabei spielt der Themenkreis Kurven und Flachen eine besondere Rolle.

Spis treści

III Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra.- 1 Beziehungsnetze, Fundamentale Ideen und Historische Entwicklung der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra.- 1.1 Leitideen und fachwissenschaftlicher Hintergrund.- 1.1.1 Leitideen der Linearen Algebra: Überblick.- Matrizen.- Eigenwerte und Eigenvektoren.- 1.1.2 Vektorraum und Punktraum.- Exkurs 1: Begründung der Linearen Algebra aus der Geometrie.- Exkurs 2: Der Punktraum als Vektorraum — Identifizierung von Punkt und Vektor.- 1.1.3 Symmetrische Bilinearformen, Quadriken und deren Klassifikation.- Kegelschnitte.- Flächen 2. Ordnung.- 1.1.4 Lineare und affine Abbildungen und deren Klassifikation.- Die affinen Abbildungen der Ebene.- Die affinen Abbildungen des Raumes.- Die orthogonalen Abbildungen und Isometrien.- 1.1.5 Determinantenform und Determinante.- 1.1.6 Metrische Räume.- 1.1.7 Lineare Gleichungssysteme und der Gaußsche Algorithmus.- 1.1.8 Zusammenfassung: Leitideen.- Schema 1.1 Leitideen der Linearen Algebra.- Aufgaben, Wiederholung, wichtige Begriffe und Zusammenhänge.- 1.2 Zentrale Mathematisierungsmuster und bereichsspezifische Strategien.- 1.2.1 Zentrale Mathematisierungsmuster.- Aspekte des mathematischen Modellierens im Mathematikunterricht.- 1.2.1.1 Beschreibung physikalischer und technischer Phänomene mit Hilfe von Vektoren und Kurven.- 1.2.1.2 Entscheidungs- und Optimierungsprobleme in den Wirtschaftswissenschaften (Verflechtungs-, lineare Optimierungs- und Transportprobleme).- 1.2.1.3 Beschreibung von Prozessen in den Sozial-, Wirtschafts- und Naturwissenschaften (Markoff-Prozesse, Probleme der Populationsdynamik).- 1.2.1.4 Klärung von Zusammenhängen zwischen Merkmalsvariablen/Meßgrößen (regressions-, korrelations- und faktorenanalytische Fragestellungen).- 1.2.1.5 Lineare Gleichungssysteme als zentrales Mathematisierungsmuster.- Schema 1.2 Zusammenfassung: Zentrale Mathematisierungsmuster.- 1.2.2 Bereichsspezifische Strategien und Problemkontexte.- Schema 1.3 Bereichsspezifische Strategien.- 1.2.2.1 Geometrisieren algebraischer Sachverhalte und Algebraisieren geometrischer Sachverhalte.- 1.2.2.2 Zur Analogie zwischen ebenen und räumlichen Sachverhalten sowie zwischen ?2, ?3 und ?n.- 1.2.2.3 Linearitätsüberlegungen, die Darstellung und Behandlung elementar-algebraischer Sachverhalte im Matrizenkalkül sowie das Transformieren von Koordinaten.- 1.2.2.4 Strategie des Gaußschen Algorithmus.- 1.2.2.5 Mathematisches Experimentieren mit konkreten Modellen und dem Rechner .,..- Aufgaben, Wiederholung.- 1.3 Zusammenfassung: Fundamentale Ideen für den Unterricht in Analytischer Geometrie und Linearer Algebra.- Schema 1.4 Zusammenfassung: Fundamentale Ideen zur Analytischen Geometrie und Linearen Algebra im Umfeld der Schulmathematik.- Aufgaben.- 1.4 Historische Entwicklung (von G. Wittmann).- Entwicklung der klassischen Analytischen Geometrie.- Lineare Gleichungssysteme, Determinanten und Matrizen.- Die Entwicklung früher geometrischer Kalküle: Leibniz, Möbius, Bellavitis.- Von den komplexen Zahlen zu Hamiltons Quaternionenkalkül.- Entwicklung der Vektoranalysis aus dem Quaternionenkalkül.- Ursprünge der Vektorraumtheorie bei Grassmann.- Erste Axiomatisierungen der Vektorraumstruktur durch Peano und Weyl.- Etablierung des axiomatischen Vektorraumbegriffs durch die Funktionalanalysis.- Beiträge der Körpertheorie zur Entwicklung der Linearen Algebra.- Entwicklung der Linearen Algebra im 20. Jahrhundert.- Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.- 2 Allgemeine Didaktische Fragen Zur Analytischen Geometrie und Linearen Algebra.- 2.1 Fachdidaktische Entwicklungen und Strömungen.- 2.1.1 Die Analytische Geometrie in der Traditionellen Mathematik.- 2.1.1.1 Koordinatengeometrie und die Lehre von den Kegelschnitten.- 2.1.1.2 Vektorielle Analytische Geometrie.- Aufgabeninseln und Routineaufgaben.- Lineare Gleichungssysteme und Determinanten in älteren Schulbüchern.- 2.1.2 Die Lineare Algebra der Neuen Mathematik.- 2.1.3 Die anwendungsorientierte Lineare Algebra.- Exkurs: Matrizen und Motivation.- Grenzen außermathematischer Motivierung.- 2.1.4 Die didaktische und schulpraktische Auseinandersetzung mit der Linearen Algebra.- 2.1.4.1 Eine Auseinandersetzung mit den Begründungsargumenten der Linearen Algebra in der Neuen Mathematik.- Exkurs: Abstrahierende oder charakterisierende Axiomatik — ein schulrelevanter Gegensatz?.- 2.1.4.2 Schulpraktische Konsequenzen: eine Lehrplanänderung von 1983.- 2.1.4.3 n-Tupel und ihre geometrische Interpretation.- 2.1.4.4 Art und Umfang geometrischer Fragestellungen.- 2.1.4.5 Zurück zur vektoriellen Analytischen Geometrie? - Ein Vergleich neuerer Schulbücher..- 2.1.5 Problemorientierung, Rechner und experimenteller Unterricht, gebietsübergreifende Ansätze.- 2.1.5.1 Der Rechner und mathematisches Experimentieren.- 2.1.5.2 Zurück zu den Kegelschnitten?.- 2.1.5.3 Problemorientierung, Objektstudien und experimentelles Arbeiten.- 2.1.5.4 Gebietsübergreifende Ansätze.- Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.- 2.2 Das Curriculum aus Sicht des Lehrers.- 2.2.1 Schulbücher im Urteil der Lehrer.- 2.2.2 Interviews.- 2.3 Schülerkonzepte und epistemologische Probleme (von G. Wittmann).- 2.3.1 Vektorbegriff.- Vektor als Pfeilklasse bzw. Verschiebung.- Vektor als n-Tupel reeller Zahlen.- 2.3.2 Parametergleichung einer Gerade.- 2.3.3 Aufgaben in der Analytischen Geometrie.- 2.3.4 Vektorraum als Strukturbegriff.- Aufgaben.- 2.4 Zur Rechtfertigung und Realisierung eines veränderten Unterrichts in Analytischer Geometrie und Linearer Algebra.- 2.4.1 Neue Formen des Unterrichtens, Veränderungen in der Unterrichtskultur und in den Zielen.- 2.4.2 Offene Probleme und das „Öffnen“ von Schulbuchaufgaben.- 2.4.3 Sprache und Verstehen.- 2.4.4 Rechnereinsatz.- 2.4.5 Inhalte.- Grund- und Leistungskurs.- Perspektiven.- Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.- 3 Didaktische Behandlung von Einzelthemen.- 3.1 Punkte, Geraden, Ebenen sowie Vektoren und lineare Gleichungssysteme.- 3.1.1 Vektoren und Punkte.- Schema 3.1 Schulrelevante Interpretationen des Vektorbegriffs.- 3.1.2 Geraden, Ebenen und lineare Gleichungssysteme.- Geraden und Ebenen in der Koordinatengeometrie.- Lineare Gleichungssysteme und lineare mathematische Modelle.- 3.1.3 Konvexe Mengen, lineares Optimieren.- Lineares Optimieren.- 3.1.4 Exkurse zur Vertiefung des theoretischen Aspekts von Mathematik.- Problemorientierte Entdeckung der Vektorraumstruktur.- Exaktifizierungen und Erweiterungen.- Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.- 3.2 Länge, Abstand, Winkelmaß und Skalarprodukt.- 3.2.1 Zur Einführung des Skalarprodukts.- Didaktische Überlegungen.- Innermathematische Anwendungen des Skalarprodukts.- 3.2.2 Fachliche Erweiterungen und Vertiefungen.- Vektorprodukt und Spatprodukt.- Exkurs: Allgemeine Fragen der Längen- und Abstandsmessung.- Drei Exkurse zum theoretischen Aspekt von Mathematik.- 3.2.3 Die Korrelation als Skalarprodukt und andere Anwendungen.- Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.- 3.3 Abbildungen, Matrizen und Determinanten.- 3.3.1 Lineare und affine Abbildungen.- Unterschiedliche didaktische Ansätze.- Projektionen.- Objekt- und Computerstudien.- Didaktische Wertung und Einordnung.- 3.3.2 Matrizen und lineare mathematische Modelle.- Lineare mathematische Modelle.- 3.3.3 Determinanten.- Schema 3.2 Analogien bei Determinanten.- Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.- 3.4 Exemplarische Curriculumelemente.- Schema 3.3 Exemplarische Curriculumelemente.- 4 Beispiele Für Einen Problem- und Anwendungsorientierten Unterricht: Kurven und Flächen.- Lehrverfahren eines problemorientierten Unterrichts.- Merkmale eines experimentellen Unterrichts.- Eine übergreifende Idee für den Geometrieunterricht: der geometrische Ort.- Schema 4.1 Geometrische Örter.- Einfuhrung zum Thema Kurven.- 4.1 Kegelschnitte als spezielle Kurven.- 4.1.1 Die Kegelschnitte als Gegenstand der ebenen Geometrie.- Ellipse.- Hyperbel.- Parabel.- Tangente, Normale und Polare.- 4.1.2 Kegelschnitte als Gegenstand der räumlichen Geometrie — ein Exkurs.- Kegelschnitt als projektives Bild eines Kreises.- Kegelschnitt als Schnitt eines Doppelkegels mit einer Ebene, algebraisch betrachtet.- 4.1.3 Kegelschnitte in Alltag und Anwendung.- 4.1.4 Didaktische Wertung und Einordnung.- Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.- 4.2 Allgemeine Kurven in der Ebene und im Raum.- Kurven in kartesischen Koordinaten.- Zum Kurvenbegriff.- Kurven in Polarkoordinaten.- 4.2.1 Betrachtung der Eigenschaften von Kurven.- Die dynamische Sichtweise von Kurven.- Richtung, Bogenlänge und Krümmung.- Ausblick auf die Behandlung räumlicher Kurven.- 4.2.2 Objektstudien zum Kreis.- 4.2.3 Objektstudien zu Spiralen.- 4.2.4 Generierung von Kurven.- 4.2.5 Didaktische Einordnung und Bewertung.- Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.- 4.3 Flächen und Funktionen mehrerer Veränderlicher (von P. Schroth und U.-P. Tietze).- 4.3.1 Flächen zweiter Ordnung.- 4.3.2 Funktionen zweier Veränderlicher.- 4.3.3 Exkurs: Regelflächen.- Wiederholung, Aufgaben, Anregungen zur Diskussion.- Stichwortverzeichnis.

O autorze

Prof. Dr. U.-P. Tietze (TU Braunschweig).
Dr. M. Klika und Dr. H. Wolpers (Universität Hildesheim) sind im Fachbereich Erziehungswissenschaften, Abteilung "Mathematik und ihre Didaktik" tätig.

Blurb

Der Band 2 des Werkes Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II unterzieht den Unterricht in Analytischer Geometrie und Linearer Algebra einer umfassenden didaktisch-methodischen Analyse. Problem- und Anwendungsorientierung, geometrische Objektstudien und Rechnerexperimente nehmen einen wichtigen Platz ein. Es wird das Ziel verfolgt, die Inhalte des Oberstufenunterrichts zu vernetzen; dabei spielt der Themenkreis Kurven und Flächen eine besondere Rolle.
Das Werk wendet sich an Fachdidaktiker, Studenten des gymnasialen Lehramts, Referendare und Lehrer.